E2.5 Utiliser les relations entre l'aire des rectangles, des parallélogrammes et des triangles afin de développer des formules pour l'aire d'un parallélogramme et d'un triangle, et résoudre des problèmes connexes.
HABILETÉ : UTILISER LES RELATIONS ENTRE LES AIRES DES RECTANGLES, DES PARALLÉLOGRAMMES ET DES TRIANGLES AFIN DE DÉVELOPPER DES FORMULES POUR L'AIRE D'UN PARALLÉLOGRAMME ET L'AIRE D'UN TRIANGLE
Relations entre des attributs
L'exploration des relations entre des attributs permet aux élèves de développer une meilleure compréhension des formules usuelles utilisées pour déterminer l'aire de certaines figures planes ou le volume de certains solides, et de les appliquer en toute connaissance de cause dans diverses situations de résolution de problèmes.
Relations entre les attributs longueur et aire
Le personnel enseignant doit présenter aux élèves des activités de mesure qui leur permettent d'établir une relation entre les dimensions (base et hauteur) de certaines figures planes (rectangle, parallélogramme et triangle) et leur aire. Les élèves doivent construire les concepts de « hauteur » et de « base » par l'intermédiaire d'activités qui les aident à comprendre que n'importe lequel des côtés d'une figure peut être la base et que, pour chaque base, il y a une « hauteur » correspondante.
Rectangle
Les élèves devraient commencer par établir la relation entre les dimensions d'un rectangle et son aire. Elles et ils pourront ensuite utiliser cette relation pour établir les dimensions du parallélogramme et celles du triangle. Lorsqu'il est question de rectangles, il est aussi question de carrés, puisque tous les carrés font partie de l'ensemble des rectangles.
Exemple
Le personnel enseignant remet aux élèves une série de rectangles, ainsi que le transparent d'une grille quadrillée en centimètres carrés. Les élèves posent le transparent sur chaque rectangle, déterminent la mesure de la base, de la hauteur et de l'aire de la figure et notent les résultats dans un tableau.
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Rectangle |
Base |
Hauteur |
Aire |
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Bleu |
6 cm |
1 cm |
6 cm2 |
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Jaune |
4 cm |
3 cm |
12 cm2 |
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Rouge |
2,5 cm |
4 cm |
10 cm2 |
Au moment de l'échange mathématique, le personnel enseignant fait ressortir les différentes stratégies qu'ont utilisées les élèves pour déterminer l'aire.
- J'ai placé le transparent sur le rectangle et j'ai dénombré les carrés qui recouvrent sa surface.
- L'aire de chaque rectangle est comme une disposition rectangulaire. J'ai dénombré les carrés dans une rangée et j'ai multiplié par le nombre de rangées. Dans le rectangle jaune, par exemple, il y a 3 rangées de 4 carrés chacune. J'ai dénombré les carrés dans une colonne et j'ai multiplié par le nombre de colonnes. Dans le rectangle rouge, par exemple, il y a 2,5 colonnes de 4 carrés chacune.
Le personnel enseignant incite ensuite les élèves à formuler une généralisation relative à la relation qui existe
entre les dimensions d'un rectangle et son aire. La formulation se fait d'abord en mots (l'aire du rectangle est
égale au produit de la mesure de sa base et de sa hauteur), puis à l'aide de symboles mathématiques (A =
b × h).
La formule de l'aire d'un rectangle est l'une des premières qu'apprennent les élèves. Elle se présente généralement sous la forme A = L × l et se lit « l'aire est égale à la longueur multipliée par la largeur ». Si l'on pense à d'autres formules d'aire, il existe une expression équivalente, mais dont le concept sous-jacent est plus unificateur. Il s'agit de la formule A = b × h, qui se lit « l'aire est égale à la base multipliée par la hauteur ». Cette formulation en fonction de la base et de la hauteur peut être généralisée à tous les parallélogrammes et facilite l'élaboration de formules de l'aire d'un triangle et [celui]d'un trapèze (J. Van de Walle et L. H. Lovin, L'enseignement des mathématiques : L'élève au centre de son apprentissage, tome 3, 2008, p. 274, cités dans Ministère de l'Éducation de l'Ontario, Guide d'enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année – Mesure, 2010, p. 72).
Mesure de la longueur, le diamètre, la circonférence, le périmètre et l’aire
Description de la vidéo
[Vidéodescription]
Un terrain de soccer vert gazon est montré avec une prise de vue d'en haut.
[Animatrice]
Alors que le périmètre est lié au contour d'une figure, l'aire est liée à la surface de celle-ci.
[Vidéodescription]
La surface entière du terrain se fait recouvrir de vert plus pâle, tandis que le mot « aire » apparaît au-dessus du terrain. Celui-ci retrouve ensuite sa couleur vert gazon.
[Animatrice]
Calculer l'aire revient donc à trouver le nombre d'unités carrées qui couvrent la surface.
[Vidéodescription]
Le terrain se transforme en carte de crédit, qui, elle, se recouvre de cinq rangées de neuf carrés.
[Animatrice]
Ces unités carrées sont disposées de façon rectangulaire dans un espace à deux dimensions.
[Vidéodescription]
La carte de crédit se tourne brièvement sur le côté pour montrer sa minceur et sa nature bidimensionnelle.
[Animatrice]
Chaque rangée a le même nombre d'unités carrées qui correspond à la mesure de la longueur. C'est la même chose pour chaque colonne dont le nombre d'unités carrées correspond à la mesure de la largeur.
[Vidéodescription]
Les rangées s'encadrent de gris foncé tandis que les colonnes s'encadrent de gris pâle.
[Animatrice]
On détermine donc l'aire à l'aide de la formule « aire est égale à longueur fois largeur », ou encore « aire est égale à base fois hauteur ».
[Vidéodescription]
Dans un premier temps, une flèche rouge verticale à double sens se déploie à droite du rectangle, en respectant sa dimension et en indiquant « hauteur ». Au-dessus du rectangle apparaît la formule « A = L x l ». Dans un deuxième temps, le mot « hauteur » se fait substituer par le mot « largeur », et la formule devient : « A = b x h ».
[Animatrice]
L'aire du rectangle est donc égale à 5 rangées de 9 carrés, ou 9 colonnes de 5 carrés, ce qui, dans les deux cas, est égal à 45 centimètres carrés. Ainsi, on a besoin de 45 carrés de 1 centimètre pour recouvrir la surface du rectangle.
[Vidéodescription]
Les rangées s'encadrent de gris foncé tandis que les colonnes s'encadrent de gris pâle. Ensuite, chaque carré s'encadre individuellement de gris foncé. Sous le rectangle apparaissent les formules « A = 9 cm x 5 cm » et « A = 45 cm² ».
Ensuite, l'image se transforme en longue nappe rectangulaire à carreaux rouges et blancs. Elle se fait recouvrir de vert tandis que le mot « aire » apparaît au-dessus.
[Animatrice]
Soulignons que l'aire d'une figure ou d'un solide est toujours conservée, mais pas son périmètre. Par exemple, l'aire d'un rectangle de 25 centimètres par 10 centimètres est 250 centimètres carrés, tandis que son périmètre mesure 70 centimètres.
[Vidéodescription]
Dans un premier temps, on indique 10 centimètres à droite du rectangle et 25 centimètre sous le rectangle. En-dessous apparaissent les formules « A = b x h », « A = 25 cm x 10 cm », et « A = 250 cm² ». Dans un deuxième temps, on ajoute les mesures de 25 centimètres au-dessus du rectangle et de 10 centimètres à gauche. Sous le rectangle, les formules sont : « P = c + c + c + c », « P = 25 cm + 10 cm + 25 cm + 10 cm », et « P = 70 cm ».
[Animatrice]
Si l'on coupe le rectangle en deux et que l'on déplace les morceaux, son aire demeure la même.
[Vidéodescription]
Les deux moitiés de la nappe se placent bout à bout, formant un long rectangle mince. À gauche, il est écrit « 5 cm »; en haut, il est écrit « 25 cm » et « 25 cm »; à droite, il est écrit « 5 cm »; et en bas, il est écrit « 25 cm » et « 25 cm ». Dans la moitié de gauche et dans la moitié de droite, il est écrit « A = 125 cm² ».
[Animatrice]
Toutefois, son périmètre mesure maintenant 110 centimètres.
[Vidéodescription]
Dans le rectangle, les deux formules de l'aire, « A = 125 cm² », s'effacent et se font remplacer par une seule occurence de la formule « P = 110 cm ».
[Animatrice]
De cette façon, lorsqu'une figure est coupée en deux parties distinctes, l'aire est égale à la somme de l'aire des deux parties. C'est la conservation de l'aire.
[Vidéodescription]
La formule du périmètre disparait du rectangle et les deux formules de l'aire reviennent. En dessous du rectangle apparaissent les formules « A = 125 cm² + 125 cm² », et « A = 250 cm² (conservation) ».
[Animatrice]
Toutefois, le périmètre change en fonction de la nouvelle figure. C'est l'additivité du périmètre.
[Vidéodescription]
Sous les formules de l'aire apparaissent les formules du périmètre : « P = 25 cm + 25 cm + 5cm + 25 cm + 25 cm + 5 cm », « P = 110 cm (additivité) ».
Tout s'efface. Maintenant apparaît au centre de l'écran un symbole plus. Au-dessus et en dessous de lui, il y a quatre petits traits horizontaux alignés. À gauche et à droite de lui, il y a quatre petits traits verticaux alignés. Cela prend la forme d'un grand plus. Sur les traits du haut se trace un triangle rouge. Et sur les traits du bas se trace une espèce d'ovale très difforme.
[Animatrice]
L'aire est la mesure de la surface que délimitent les figures.
[Vidéodescription]
Le petit plus et les traits s'effacent, tandis que les deux formes se remplissent de rouge et que s'y superpose un grand quadrillé 10 par 10.
[Animatrice]
Trouver l'aire revient à additionner le nombre de carrés qui recouvrent cette surface.
[Vidéodescription]
Les formes se métamorphosent. Le triangle devient un polygone à huit côtés, tandis que l'ovale diffome change tout en demeurant difforme.
[Animatrice]
L'unité de mesure est à deux dimensions. Il s'agit du carré unité. Par exemple, le centimètre carré ou le mètre carré.
[Vidéodescription]
Les formes rouges disparaissent du quadrillé et se font remplacer respectivement par un parallélogramme et un rectangle bleus. À droite du quadrillé apparaissent les formules « A = 5 cm² » et « P = 10 cm » pour le parallélogramme, et « A = 6 cm² » et « P = 10 cm » pour le rectangle.
[Animatrice]
L'aire d'une figure est conservée, qu'elle soit transformée ou décomposée, contrairement au périmètre, qui change.
[Vidéodescription]
Le parallélogramme se transforme en rectangle mesurant 1 par 5. Les formules qui l'accompagnent sont : « A = 5 cm² », « A = 5 cm² (conservation) », « P = 10 cm », et « P = 12 cm (additivité) ». Le rectangle, lui, se transforme en rectangle de 1 par 6. Les formules qui l'accompagnent sont : « A = 6 cm² », « A = 6 cm² (conservation », « P = 10 cm », et « P = 14 cm (additivité) ».
[Fin de la vidéodescription]
Parallélogramme
Lorsque les élèves ont bien compris la façon de déterminer l'aire d'un rectangle, ainsi que le sens de la formule
usuelle correspondante (A = b × h), elles et ils peuvent utiliser ces connaissances pour
établir la relation entre les dimensions d'un parallélogramme et son aire.
La plupart des étapes de passage de la formule d'aire d'une figure à une autre sont des démarches de découverte, de construction, permettant l'induction : à partir de ce qu'[elle ou] il connaît, l'enfant combine, recherche et construit la formule d'aire qu'[elle ou] il ne connaît pas (X. Roegiers, Les mathématiques à l'école primaire, tome 2, 2000, p. 134, cité dans Ministère de l'Éducation de l'Ontario, Guide d'enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année – Mesure, 2010, p. 175).
Exemple
Le personnel enseignant groupe les élèves en équipes de deux. Il remet à chaque équipe un parallélogramme, dont la mesure de la base et celle de la hauteur correspondent à des valeurs entières (par exemple, base de 4 cm et hauteur de 5 cm), ainsi que le transparent d'une grille quadrillée en centimètres carrés. Elle ou il demande aux élèves si elles et ils peuvent trouver une façon de déterminer l'aire du parallélogramme.
Au moment de l'échange mathématique, le personnel enseignant fait ressortir les différentes stratégies qu'ont
utilisées les élèves pour déterminer l'aire.
Exemple :
- Nous avons placé le transparent sur le rectangle et nous avons dénombré les carrés entiers. Puis, nous avons
remarqué que, pour chaque rangée, la partie de carré à gauche combinée à la partie de carré à droite donnait un
carré entier. Nous avons donc pu déterminer que l'aire du parallélogramme est égale à
20 cm2.
-
Nous avons remarqué que si nous tracions un triangle à droite, à l'intérieur du parallélogramme, que nous le
découpions et le déplacions à gauche, nous obtenions un rectangle dont la base mesure 4 cm et la hauteur mesure
5 cm. Puisque l'aire du rectangle est égale à 20 cm2 (A = b × h),
c'est aussi l'aire du parallélogramme.
Le personnel enseignant amène ensuite les élèves à formuler une généralisation concernant la relation entre les dimensions d'un parallélogramme et son aire, en leur posant des questions telles que :
- Quelle est la mesure de la base du parallélogramme? (La base du parallélogramme mesure 4 cm.)
- Quelle est la mesure de la hauteur du parallélogramme? Comment le savez-vous? (La hauteur du parallélogramme mesure 5 cm. C'est ce que nous obtenons lorsque nous plaçons le parallélogramme verticalement sur la table et lorsque nous mesurons sa hauteur à l'aide d'une règle.)
Note : Plusieurs élèves ont tendance à associer la hauteur du parallélogramme à la mesure de son côté oblique. Elles et ils auront besoin d'examiner différentes situations avant de bien comprendre que la hauteur d'une figure correspond à la distance perpendiculaire entre sa base et son sommet.
image Il y a un parallélogramme. Une ligne pointillée verticale passe au centre du parallélogramme et une ligne pointillée horizontale passe à la base. À côté de la ligne verticale est écrit: hauteur. Sous la ligne horizontale est écrit: base. Le point ou la ligne verticale et horizontale se rencontre est marqué par un carré.
- Quelle relation y a-t-il entre ces deux mesures et l'aire du parallélogramme? (Si nous multiplions ces deux mesures, nous obtenons la mesure de l'aire du parallélogramme.)
- Pensez-vous que cette relation est vraie pour tous les parallélogrammes? Pourquoi? (Oui, parce que la stratégie utilisée pour déterminer l'aire du parallélogramme est la même pour n'importe quel parallélogramme et mène à la même conclusion.)
- Pouvez-vous décrire, en mots et à l'aide de symboles mathématiques, la relation entre les dimensions d'un parallélogramme et son aire? (L'aire d'un parallélogramme est égale au produit de la mesure de sa base et de sa hauteur, soit A = b × h.)
- Comment expliquez-vous que cette relation soit identique à celle d'un rectangle? (Il est possible de transformer un parallélogramme en un rectangle de façon que les deux figures aient la même base et la même hauteur. Ces deux figures ont donc la même aire.)
Note : Le personnel enseignant profite de cette situation pour rappeler aux élèves que tous les rectangles sont
des parallélogrammes.
Le personnel enseignant peut ensuite présenter aux élèves la figure ci-dessous et leur demander :
- Que pouvez-vous dire au sujet de l'aire du parallélogramme vert, de l'aire du parallélogramme orangé et de l'aire du parallélogramme bleu? (Les trois parallélogrammes ont la même aire, puisque les trois ont la même base et la même hauteur.)
Triangle
Lorsque les élèves ont bien compris la façon de déterminer l'aire d'un rectangle et l'aire d'un parallélogramme, ainsi que le sens de la formule A = b × h, elles et ils peuvent utiliser ces connaissances pour établir la relation entre les dimensions d'un triangle et son aire.
Exemple
Le personnel enseignant demande aux élèves de dessiner deux paires de triangles congruents, de les découper et d'assembler chaque paire de façon à former un parallélogramme. Si l'une des paires de triangles est composée de triangles rectangles, le parallélogramme formé sera un rectangle.
Le personnel enseignant incite ensuite les élèves à établir la relation entre les dimensions du triangle et son aire en leur posant des questions telles que :
- Quelle relation y a-t-il entre la hauteur et la base d'un des triangles, et la hauteur et la base du parallélogramme correspondant? (Le triangle et le parallélogramme correspondant ont la même base et la même hauteur.)
- Comment est-il possible d'utiliser cette relation pour déterminer l'aire d'un triangle? (Nous pouvons d'abord déterminer l'aire du parallélogramme. Ensuite, nous remarquons qu'il faut deux triangles congruents pour former le parallélogramme. Alors, l'aire de chaque triangle doit être égale à la moitié de l'aire du parallélogramme.)
- Pouvez-vous décrire, en mots et à l'aide de symboles mathématiques, la relation entre les dimensions d'un
triangle et son aire? (L'aire du triangle est égale à la moitié du produit de la mesure de sa base et de sa
hauteur, soit
Dans la vidéo suivante, les élèves calculent l’aire d’un triangle à l’aide du découpage d’un rectangle.
Description de la vidéo
[Vidéodescription]
Dans une salle de classe, auprès d'un chevalet, deux élèves et une professeure font une présentation devant les autres élèves.
[Enseignante]
Kariane et Kundera vont nous expliquer ce qu'ils ont découvert sur l'aire de la surface d'un triangle.
[Vidéodescription]
L'enseignante se retire. Kariane montre à l'auditoire un rectangle en carton jaune quadrillé de 10 par 5.
[Kariane]
On a pris le rectangle que madame nous avait remis. On a tracé une diagonale et on l'a découpé en deux triangles congruents.
[Vidéodescription]
En s'aidant d'une règle, Kariane trace une diagonale sur le rectangle. Elle montre le rectangle à la classe avant de le découper en deux avec des ciseaux. Ensuite, elle montre les deux triangles à la classe, puis les superpose pour montrer qu'ils sont bel et bien congruents.
Sur le chevalet, Kundera pointe un rectangle jaune quadrillé identique à celui que Kariane vient de découper.
[Kundera]
On sait déjà qu'on trouve l'aire d'un rectangle en multipliant sa base fois sa hauteur. Si ces deux triangles sont congruents, ça veut dire que l'aire de la surface correspond à celle du rectangle divisé en deux.
[Vidéodescription]
Sous le rectangle apposé au chevalet, Kundera place les deux triangles de façon à reformer le rectangle original. Les deux rectangles sont de grosseur égale.
[Kariane]
Pour trouver l'aire de la surface de ce triangle, on fait base fois hauteur divisé par 2 ou 6 unités fois 5 unités divisé par 2. L'aire de sa surface est donc de 50 divisé par 2 ou de 25 unités carrées.
[Enseignante]
Très bien, Kariane et Kundera. Levez la main, ceux et celles qui sont d'accord avec ce que Kariane et Kundera viennent de nous dire. Très bien, baissez votre main. Vous pouvez aller vous assoir. Merci.
[Fin de la vidéodescription]
Le personnel enseignant peut ensuite présenter aux élèves la figure ci-dessous et leur demander :
- Que pouvez-vous dire au sujet de l'aire du triangle rouge, de l'aire du triangle violet et de l'aire du triangle bleu? (Les trois triangles ont la même aire, puisque les trois ont la même base et la même hauteur.)
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 70-76.