E1.5 Décrire et effectuer des translations, des réflexions et des rotations jusqu'à 180° dans une grille, et prédire les résultats de ces transformations.
HABILETÉ : DÉCRIRE ET EFFECTUER DES TRANSLATIONS
Les élèves peuvent décrire et effectuer des translations horizontales, verticales ou obliques définies à l'aide d'une flèche. Cette flèche peut être placée sur la figure ou à l'extérieur de celle-ci. La direction de la flèche correspond à la direction de la translation et sa longueur correspond à la grandeur du déplacement.
Pour décrire et effectuer la translation, les élèves doivent déterminer la grandeur du déplacement horizontal et celle du déplacement vertical qui sont représentés à l'aide de la flèche. La flèche ci-dessus, par exemple, définit la translation (4G, 2H), soit un déplacement de 4 unités vers la gauche et de 2 unités vers le haut.
image
Une grille de dix colonnes et dix rangées. Du côté droit de la grille, il y a une figure. Seul le point « a » est
identifié. Il y a une flèche oblique à la diagonale de la figure, pointant vers la gauche. La flèche forme un
triangle rectangle. À la gauche du triangle est écrit: deux unités vers le haut. Sous le triangle est écrit: quatre
unités vers la gauche. Sous la grille est écrit: (parenthèse ouvrante), quatre « g », deux « h », (parenthèse
fermante).
Dans une translation, tous les points de la figure initiale subissent le même déplacement, c'est-à-dire que tous les points de la figure initiale sont déplacés dans la même direction et sont équidistants des points correspondants de l'image.
image Une grille de dix colonnes et dix rangées. Il y a deux figures placées obliquement sur la
grille. Dans la première est écrit figure initiale; dans la seconde est écrit image. Le point « a » est identifié
sur la figure initiale, et le point « a » apostrophe est identifié sur l’image. Il y a une flèche oblique à la
diagonale des figures, pointant vers la gauche.Sous la grille est écrit: Chaque point de la figure initiale a subi
une translation de quatre unités vers la gauche et de deux unités vers de haut.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 29-30.
HABILETÉ : DÉCRIRE ET EFFECTUER DES RÉFLEXIONS
Pour décrire et effectuer une réflexion, il faut comprendre que tous les points de la figure initiale et les points correspondants de l'image sont à égale distance de l'axe de réflexion. La réflexion entraîne un changement de la position et de l'orientation originales d'une forme, mais l'image réfléchie est congruente à l'originale. En d'autres termes, l'image réfléchie a la même taille et la même forme, mais elle sera orientée dans une autre direction, et se trouvera dans une autre position. Il est important de noter que l'axe de réflexion peut être tracé dans n'importe quelle direction par rapport à la forme originale - horizontalement, verticalement ou en diagonale, selon n'importe quel angle.
Dans cet exemple, les points A, B et C sont exactement à la même distance de l'axe de réflexion que les points A', B et C'.
image Un quadrilatère formé d’un rectangle et de deux triangles congrus, de côté opposé. Un axe de
réflexion passe à travers le centre de la figure. D’un côté, les points « a », « b », et « c » sont identifiés; de
l’autre côté, les points « a » apostrophe, « b » apostrophe, et « c » apostrophe sont identifiés.
Source : A Guide to Effective Teaching of Mathematics in Grades 4 to 6, p. 35.
Les élèves effectuent des réflexions de figures simples et complexes (par exemple, pour créer des frises et des dallages) sur du papier à points et du papier quadrillé, à l'aide d'un Mira, de papier calque ou d'un logiciel ou d'une application de géométrie dynamique.
image Il y a trois grilles: la première représente une réflexion
verticale, la deuxième représente une réflexion horizontale, et la troisième représente une réflexion oblique. Dans
la première grille, deux quadrilatères congrus sont d’un côté chacun d’une ligne horizontale, nommée l’axe de
réflexion. Le premier quadrilatère est la figure initiale; le deuxième quadrilatère est l’image. Dans la deuxième
grille, deux quadrilatères congrus sont d’un côté chacun d’une ligne verticale, nommée l’axe de réflexion. Le
premier quadrilatère est la figure initiale; le deuxième quadrilatère est l’image.Dans la troisième grille, deux
quadrilatères congrus sont d’un côté chacun d’une ligne oblique, nommé l’axe de réflexion. Le premier quadrilatère
est la figure initiale; le deuxième quadrilatère est l’image.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 31.
HABILETÉ : DÉCRIRE ET EFFECTUER DES ROTATIONS JUSQU'À 180° DANS UNE GRILLE
Pour décrire et effectuer une rotation, il faut être en mesure de comprendre et aussi d'indiquer :
- l'emplacement du centre de rotation, c'est-à-dire le point autour duquel tourne une forme (par exemple, le centre de rotation peut être un point sur le contour de la figure, à l'intérieur de la figure ou à l'extérieur de la figure);
- la mesure de la rotation (par exemple, un quart de tour ou 90°, ou un demi-tour ou 180°);
- le sens de la rotation (par exemple, dans le sens des aiguilles d'une montre, dans le sens contraire des aiguilles d'une montre).
Les élèves doivent comprendre ce que représente une rotation d'un quart de tour, d'un demi-tour et de trois quarts de tour dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Il est important de leur présenter diverses activités kinesthésiques qui les aideront à développer cette compréhension.
L'utilisation de l'horloge (par exemple, une horloge en carton comportant deux aiguilles fixées à l'aide d'une attache parisienne) est aussi une stratégie efficace pour aider les élèves à développer le sens des fractions de tour. Le personnel enseignant demande aux élèves de placer les aiguilles à 12. Pour représenter une rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, les élèves doivent déplacer l'aiguille des minutes à 3. L'aiguille des heures représente donc la direction initiale alors que celle des minutes représente la direction après la rotation.
Les élèves peuvent faire le lien entre la fraction de tour de rotation de la grande aiguille d'une horloge, le nombre de minutes et le nombre de degrés. Une rotation d'un quart de tour de la grande aiguille, par exemple, correspond à 15 minutes ou à 90°.
Note : Sur une véritable horloge, cette correspondance n'est pas tout à fait exacte, puisque l'aiguille des heures se déplace légèrement lorsque l'aiguille des minutes effectue une rotation d'un quart de tour.
Il importe encore une fois de varier la direction initiale des aiguilles. Le personnel enseignant, par exemple, peut placer les deux aiguilles de l'horloge à 2 et demander aux élèves d'effectuer une rotation d'un demi-tour dans le sens des aiguilles d'une montre. Ces dernières et ces derniers peuvent alors utiliser le fait qu'une rotation d'un demi-tour de la grande aiguille correspond à 180° ou à 30 minutes pour déterminer que l'aiguille des minutes doit être placée à 8.
Une fois que les élèves ont développé leur compréhension des fractions de tour, à l'aide de matériel concret, elles et ils sont en mesure de les représenter sur des cercles tracés sur du papier.
image
Il y a quatre cercles, chaque divisé en quart. Au-dessus du premier cercle est écrit: un quart de tour dans le sens
des aiguilles d’une montre. Il y a une flèche arrondie vers le bas dans le premier quart. Au-dessus du deuxième
cercle est écrit: un demi-tour dans le sens des aiguilles d’une montre. Il y a une flèche arrondie passant à travers
du premier et deuxième quart.Au-dessus du troisième cercle est écrit: un quart de tour dans le sens contraire des
aiguilles d’une montre. Il y a une flèche arrondie vers le bas dans le quatrième quart.Au-dessus du quatrième cercle
est écrit: un demi-tour dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Il y a une flèche arrondie passant à
travers du quatrième et troisième quart.
Les élèves doivent effectuer des rotations de figures en utilisant un des sommets de la figure comme centre de rotation. L'utilisation de divers outils (par exemple, papier calque, papier millimétré de coordonnées polaires, équerre, logiciel) pour effectuer la rotation selon la fraction de tour spécifiée aide les élèves à mieux comprendre cette transformation. Les élèves effectuent aussi des rotations dont le centre est situé sur le contour ou à l'intérieur de la figure et des rotations dont le centre est situé à l'extérieur de la figure.
Exemple
Rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, dont le centre de rotation est situé :
- sur un sommet de la figure;
image Il y a deux figures qui se chevauchent. La première figure
est horizontale et est marquée d’un point « a ». La seconde figure est verticale et est marquée d’un point «
k ». Le point ou les figures se croisent est marqué d’un point de rotation à 90 degrés, dans laquelle une
flèche courbée vers le bas dans le premier quadrant. - sur le contour de la figure ou à l'intérieur de la figure;
- à l'extérieur de la figure;
image
Il y a deux exemples de figures qui se chevauchent. Dans le premier exemple, la première
figure est horizontale et est marquée d’un point « a ». La seconde figure est verticale et est marquée d’un
point « a » apostrophe. Le point ou les figures se croisent est marqué d’un point de rotation à 90 degrés, dans
laquelle une flèche courbée vers le bas dans le premier quadrant.Dans le deuxième exemple, la première figure
est horizontale et est marquée d’un point « a ». La seconde figure est verticale à l’intérieur de la première
figure et est marquée d’un point « a » apostrophe. Le point ou les figures se croisent est marqué d’un point de
rotation à 90 degrés, dans laquelle une flèche courbée vers le bas dans le premier quadrant.
image Il y a deux figures. La première figure est horizontale et est marquée d’un point « a ». La
seconde figure est verticale et est marquée d’un point « a » apostrophe. Le point ou les figures se croisent est
marqué d’un point de rotation à 90 degrés, dans laquelle une flèche courbée vers le bas dans le premier
quadrant.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 32-35.
Dans la vidéo suivante, un élève modèle la façon d’effectuer une rotation d’un quart de tour ou 90° dans le sens horaire à l’aide du papier-calque.
Description de la vidéo
[Vidéodescription]
Devant une salle de classe, une enseignante se trouve auprès d'un chevalet, sur lequel est apposé une feuille qui contient l'illustration d'un parallélogramme rouge.
[Enseignante]
Regardez bien ce que je vais faire. Je vais placer le parallélogramme vert sur le parallélogramme rouge, comme ceci.
[Vidéodescription]
Elle place un papier transparent qui contient l'illustration d'un parallélogramme vert, qui se superpose parfaitement au parallélogramme rouge.
[Enseignante]
Par la suite, je vais venir piquer une punaise sur son contour.
[Vidéodescription]
Elle pique la punaise au sommet inférieur gauche.
[Enseignante]
Maintenant, observe bien le déplacement que je vais effectuer. Qui peut me dire quelle transformation géométrique je viens d'effectuer? David.
[David]
Tu as fait une rotation.
[Enseignante]
C'est très bien. J'ai effectué une rotation. Maintenant, qui pourrait me préciser la rotation que je viens d'effectuer? Philippe.>/p>
[Philippe]
Tu fais une rotation de 90 degrés dans le sens des aiguilles d'une montre.
[Enseignante]
Très bien, Philippe. Maintenant, qui pourrait me dire comment est-ce qu'on appelle le parallélogramme rouge quand je fais une rotation? Charlotte.
Charlotte
On l'appelle la figure initiale.
[Enseignante]
C'est la figure initiale. Très bien.
[Vidéodescription]
L'enseignante appose l'expression « figure initiale » sur le parallélogramme rouge.
[Enseignante]
Maintenant, le parallélogramme vert, qu'est-ce qu'il représente? Catherine.
[Catherine]
L'image.
[Enseignante]
Excellent, Catherine. On l'appelle l'image.
[Vidéodescription]
L'enseignante appose le mot « image » sur le parallélogramme vert.
[Enseignante]
Finalement, ma punaise, qu'est-ce qu'elle représente dans une rotation? Mathieu.
[Mathieu]
C'est le sens de rotation.
[Enseignante]
C'est excellent, Mathieu. C'est le centre de rotation.
[Vidéodescription]
Un moment après, le chevalet contient un encadré textuel rouge sur un papier calque, au-dessus d'un quadrilatère jaune qui est apposé à la feuille d'en dessous.
[Enseignante]
Maintenant, on va voir une technique que tu as déjà vue auparavant. C'est une technique pour effectuer une rotation à l'aide du papier calque, lorsque le centre de rotation est sur le contour de la figure. Avant de faire la rotation, on va voir ensemble quels sont les éléments essentiels pour effectuer une rotation. Qui pourrait me dire quels sont les éléments nécessaires pour effectuer une rotation? Catherine.
[Catherine]
Tu auras besoin d'une figure initiale.
[Enseignante]
Une figure initiale.
[Catherine]
Un centre de rotation.
[Vidéodescription]
Au fil des termes énoncés, au grand tableau vert, l'enseignante soulève des bandes rouges sous lesquelles se cachent les termes en question et, ce faisant, les révèle à la classe.
[Enseignante]
Un centre de rotation clairement indiqué.
[Catherine]
Le sens contraire ou le sens des aiguilles d'une montre.
[Enseignante]
Le sens de la rotation.
[Catherine]
La grandeur, alors le nombre de tours ou le nombre de degrés.
[Enseignante]
La grandeur de l'angle de la rotation, mais tu as raison aussi de parler de tour lorsqu'on parle de grandeur de la rotation. C'est excellent, Catherine. Regarde sur mon chevalet. On retrouve ici une figure plane. Qui pourrait me donner le nom de cette figure plane là? Julien.
[Julien]
C'est un trapèze.
[Enseignante]
C'est un trapèze. Excellent, Julien. Maintenant, j'aimerais ça que tu viennes effectuer la rotation qui est décrite ici sur la fiche. Tu peux venir me voir ici.
[Vidéodescription]
Julien se lève et rejoint l'enseignante. Il lit l'encadré sur le chevalet.
[Julien]
C'est une rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre autour d'un centre de rotation sur le contour de la figure.
[Enseignante]
Très bien. Quelle est la première étape?
[Julien]
Je dois nommer les sommets de la figure initiale.
[Enseignante]
Pour ce faire, je vais t'aider, puis je vais lever le papier calque.
[Vidéodescription]
Elle s'exécute, ce qui enlève l'encadré textuel et laisse toute la place au trapèze. Julien prend un crayon sur le rebord du chevalet et écrit la lettre « A » au-dessus du sommet en haut à gauche du trapèze. Ensuite, il nomme les autres sommets en allant en sens horaire.
[Julien]
A, B, C et D.
[Enseignante]
C'est bien. Maintenant, qu'est-ce que tu vas faire?
[Julien]
Je dois tracer des droites perpendiculaires qui passent par le centre de rotation.
[Vidéodescription]
Il utilise une équerre.
[Enseignante]
Julien, pourquoi est-ce que tu viens de faire ces droites-là?
[Julien]
Ils me servent de repères.
[Enseignante]
Elles te servent de repères. Comment est-ce qu'elles te servent de repères?
[Julien]
Il y a un angle de 90 degrés entre chaque segment.
[Enseignante]
Comment ça va t'aider pour faire ta rotation?
[Julien]
Si tu tournes de 90 degrés, cette droite va venir ici. Celle-ci ici, celle-ci ici et celle-ci ici.
[Enseignante]
Très bien. Ensuite, pour ta rotation, qu'est-ce que tu dois faire?
[Julien]
Je dois calquer la figure sur du papier calque.
[Enseignante]
Je vais remettre le papier calque.
[Vidéodescription]
Parce qu'il peut voir à travers le papier calque, Julien trace une réplique exacte du trapèze qui se trouve en dessous, en utilisant l'équerre.
[Julien]
Puis, les segments de droite perpendiculaires. Je nomme les sommets A, B, C et D.
[Enseignante]
La prochaine étape?
[Julien]
Je place la punaise sur le sens de rotation, puis il faut tourner la figure initiale d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre.
[Enseignante]
OK. Je vais t'aider pour faire ça, puis tu vas devoir me dire quand arrêter la rotation.
[Vidéodescription]
Elle soulève légèrement le papier calque pour se saisir de l'image du trapèze en dessous, qu'elle décolle de la feuille.
[Ensegnante]
Je tourne dans le sens des aiguilles d'une montre. Tu me dis quand arrêter.
[Julien]
OK.
[Enseignante]
Maintenant, qu'est-ce que tu dois faire?
[Julien]
Je dois tracer l'image.
[Enseignante]
Tu vas tracer l'image.
[Vidéodescription]
Julien s'aide de l'équerre pour tracer sur le papier calque le trapèze pivoté qu'il peut voir au-travers.
[Enseignante]
Très bien. Ensuite?
[Julien]
Je nomme les sommets A prime, B prime, C prime et D.
[Enseignante]
Est-ce qu'il y en a parmi vous qui ont remarqué quelque chose de particulier lorsque Julien a nommé ses sommets? Les sommets de son image? Patrick.
[Patrick]
J'ai remarqué qu'il n'a pas nommé le sommet D avec un prime, parce que c'est le centre de rotation et ça n'a pas bougé.
[Enseignante]
Excellent, Patrick. Julien, si au lieu d'avoir fait une rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, j'avais décidé de te demander de faire, par exemple, une rotation d'un demi-tour dans le sens des aiguilles d'une montre... Est-ce que tu pourrais m'indiquer dans quelle région est-ce que je devrais retrouver mon image?
[Julien]
Elle serait un quart de tour plus loin. À peu près ici.
[Enseignante]
C'est très bien, merci. Est-ce qu'il y a des gens ici qui ont des questions?
[Classe]
Non.
[Enseignante]
Merci, Julien.
[Fin de la vidéodescription]
Dans la vidéo suivante, l’élève modèle la façon d’effectuer une rotation d’un quart de tour dans le sens horaire en traçant deux segments de droite perpendiculaire sur le centre de rotation.
Description de la vidéo
[Vidéodescription]
Devant une salle de classe se trouvent une enseignante et un étudiant auprès d'un chevalet.
[Enseignante]
Ici, sur le chevalet, j'ai un pentagone qui est tracé sur un papier quadrillé. Patrick, j'aimerais que tu me lises quelle est la rotation qu'on te demande de faire ici.
[Patrick]
C'est une rotation de 3/4 de tour dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, autour d'un centre de rotation à l'extérieur de la figure.
[Enseignante]
Maintenant, est-ce qu'il y aurait une autre rotation qui ferait en sorte que l'image arriverait exactement au même endroit?
[Patrick]
Oui. Je peux faire une rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre.
[Enseignante]
C'est bien. Tu peux te mettre à l'œuvre? Tu peux nous montrer qu'est-ce que tu vas faire, comment tu vas t'y prendre pour faire la rotation?
[Vidéodescription]
Patrick prend un crayon sur le rebord du chevalet et se met à écrire des lettres auprès des sommets du pentagone sur le papier quadrillé.
[Patrick]
Je vais nommer mes sommets : A, B, C, D et E.
[Enseignante]
Ensuite?
[Patrick]
Je trace deux lignes perpendiculaires qui passent par le centre de rotation.
[Vidéodescription]
Patrick se munit d'une équerre avec laquelle il trace ses lignes sur le papier quadrillé.
[Enseignante]
Est-ce que tout le monde voit le centre de rotation et les deux segments ici?
[Classe]
Oui.
[Enseignante]
Excellent. Maintenant, qu'est-ce que tu vas faire?
[Patrick]
Je vais effectuer la rotation en comptant le nombre de points. Le point A et du centre : un, deux, trois, quatre, cinq vers le haut et un deux trois vers la gauche. Si on fait une rotation d'un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, ça va arriver à un, deux, trois, quatre, cinq vers la droite et un, deux, trois vers le haut. Ça, c'est mon point A prime. Maintenant, pour faire le segment CD qui est à deux unités, le segment horizontal qui va être deux unités sur le segment vertical C prime. Maintenant, je dois relier tous mes points ensemble et voilà mon image.
[Vidéodescription]
En reliant ses points, Patrick trace un deuxième pentagone à droite du premier.
[Enseignante]
C'est très bien maintenant. Patrick, je vais te demander de vérifier la rotation que tu viens d'effectuer à l'aide du papier calque.
[Vidéodescription]
Un pentagone de la même taille est tracé sur le papier calque.
[Patrick]
J'ai placé cette figure sur ma figure initiale. Je vais mettre une punaise dans le centre de rotation. Je vais terminer de tourner ma figure.
[Enseignante]
Tourne ta figure, et...?
[Patrick]
Il arrive exactement à la même place que l'image.
[Enseignante]
OK. Excellent. Est-ce que tout le monde voit ça?
[Classe]
Oui.
[Enseignante]
Est-ce que vous avez des questions?
[Classe]
Non.
[Enseignante]
Très bien, Patrick.
[Fin de la vidéodescription]
HABILETÉ : PRÉDIRE LES RÉSULTATS DES TRANSFORMATIONS
Au cours du cycle moyen, les élèves prédisent le résultat d'une transformation et décrivent ce qui arrivera à l'objet lorsque la transformation sera effectuée. Grâce à des recherches guidées, les élèves seront finalement capables d'observer l'orientation initiale d'un objet et le résultat d'une transformation et de décrire la transformation effectuée sans avoir à la voir.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34.
CONNAISSANCE : TRANSFORMATION
Les transformations contribuent au développement du sens de l'espace et de l'habileté à visualiser des déplacements d'objets dans un espace bidimensionnel ou tridimensionnel. Le déplacement de formes géométriques peut être décrit à l'aide de diverses transformations, comme la translation, la réflexion et la rotation.
image
Il y a trois grilles. La première représente une translation, la deuxième représente une réflexion, et la troisième
représente une rotation. Dans la première grille, il y a deux lettres « f » dont les points « a » de la première
figure « f » et le « a » apostrophe de la seconde figure « f » sont liés par une ligne pointillée. Il y a une
deuxième ligne pointillée de la même longueur à la base de la figure. Sous les figures, il y a une flèche oblique
vers la droite. Sous la grille il est écrit: translation (parenthèse ouvrante), quatre « d », quatre « b »
(parenthèse fermante).Dans la deuxième grille, il y a deux figures « f » liées par deux lignes pointillées de
longueur différentes. Les figures sont d’un côté chaque d’une ligne horizontale, soit l’axe de réflexion. Sous la
grille est écrit: Réflexion par rapport à un axe horizontal.Dans la troisième grille, il y a deux figures « f »,
dont une est inversée, liés par deux lignes pointillées de longueur différentes qui s’entrecroisent à un centre de
rotation. Sous la grille est écrit: rotation de 180 degrés ou un demi-tour dans le sens des aiguilles d’une
montre.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 37.
CONNAISSANCE : TRANSLATION
La translation est définie par sa grandeur et sa direction (représentées symboliquement par des coordonnées ou par une flèche). Elle représente un déplacement linéaire, horizontal, vertical ou oblique. La figure initiale et l'image sont congruentes. La distance est constante entre chaque point de la figure initiale et chaque point correspondant de l'image. L'orientation de l'image est la même que l'orientation de la figure initiale.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 36.
CONNAISSANCE : RÉFLEXION
Une réflexion est un déplacement réflexif perpendiculaire à un axe de réflexion. Chaque point sur la figure initiale et le point correspondant sur l’image sont à la même distance de l’axe de réflexion. La figure initiale et l’image sont congruentes, mais l’orientation de l’image est différente de l’orientation de la figure initiale.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 36.
CONNAISSANCE : ROTATION
Une rotation est une transformation qui déplace chaque point d'une forme ou d'une figure autour d'un point fixe, appelé centre de rotation. Une rotation crée une image qui est congruente à la forme d'origine. Toutefois, l’orientation de l’image est différente de l’orientation de la figure initiale.
Le centre de rotation peut se retrouver n'importe où sur le plan, soit à l'extérieur de la figure, soit à l'intérieur.
Lorsque le centre de rotation se retrouve sur un sommet de la figure, la figure initiale et son image partageront ce point.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 36.