B2.1 Utiliser les propriétés et la priorité des opérations et les relations entre les opérations pour résoudre des problèmes comportant des nombres rationnels, des rapports, des taux et des pourcentages, y compris des problèmes à plusieurs étapes et à plusieurs opérations.
Habileté : utiliser les propriétés des opérations
La plupart des contenus mathématiques liés au domaine Nombres, de la 7e à la 10e année, peuvent être abordés en misant sur l’objectif de développer la pensée algébrique. Au lieu de demander aux élèves de mémoriser des règles pour effectuer des opérations sur différents nombres, il est plus efficace de « […] les amener à dépasser ces cas particuliers et arriver à penser à la généralisation mathématique sous-jacente (Beatty et Bruce, 2012; ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2005) » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2013, p. 6). L’objectif est d’amener les élèves à observer et à analyser une situation, ainsi qu’à établir diverses relations en vue de formuler une généralisation. La compréhension des propriétés telles que la commutativité, l’associativité et la distributivité en Nombres est un préalable à la simplification d’expressions algébriques et à la résolution d’équations. Simplifier et résoudre des équations exigent aussi une bonne compréhension du sens d’une situation d’égalité et du sens du symbole égal.
Explorer les diverses propriétés des opérations, c’est examiner les relations entre les nombres, c’est-à-dire analyser des situations dans lesquelles le changement d’une quantité a un effet sur une autre quantité.
Commutativité de l’addition et de la multiplication
Lorsque deux nombres sont additionnés ou multipliés, l’égalité demeure vraie même si l’ordre des nombres est changé.
L’élève qui fait cette généralisation comprend la propriété de commutativité. Cette compréhension l’aide à simplifier des expressions algébriques et à résoudre des équations parce qu’elle ou il peut établir un lien avec une connaissance antérieure. Toutefois, l’élève qui ne comprend pas la propriété de commutativité effectuera l’addition ou la multiplication au lieu de comparer les termes de chaque côté du signe égal.
ADDITION | MULTIPLICATION |
---|---|
|
|
QUESTIONNEMENT
Que remarques-tu au sujet de l’ordre des termes?
Crois-tu que le changement de l’ordre des termes modifie la solution? Comment peux-tu le justifier?
Est-ce que les égalités dans les exemples a) sont vraies? Comment le sais-tu?
Comment as-tu déterminé la valeur de y dans les exemples b)?
As-tu pensé à une stratégie pour vérifier ta réponse?
Dans les deux exemples c), comment as-tu utilisé la propriété de commutativité pour simplifier les expressions?
Associativité
Lorsque les nombres sont additionnés ou multipliés, il est possible de les regrouper de diverses façons sans changer le résultat de l’opération; l’égalité demeure vraie. L’élève qui fait cette généralisation comprend la propriété d’associativité soit, que l’ordre des nombres est respecté, mais que les parenthèses sont déplacées. Comprendre cette propriété lui permet de simplifier des expressions algébriques et de résoudre des équations.
ADDITION | MULTIPLICATION |
---|---|
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|
QUESTIONNEMENT
Que compares-tu lorsque tu observes l’égalité?
Comment peux-tu expliquer les regroupements?
Que remarques-tu au sujet de l’ordre des termes?
Crois-tu que les changements liés aux regroupements modifient la solution? Comment peux-tu le justifier?
Distributivité
La distributivité de la multiplication sur l’addition ou sur la soustraction est une propriété qui transforme un produit de sommes ou de différences à une somme ou à une différence de produits. L’élève qui fait cette généralisation comprend qu’il est possible de répartir les termes de différente façon, c’est-à-dire de décomposer les nombres et d’obtenir le même résultat.
Le problème ci-dessous est un exemple typique de ce qui peut être présenté à l’élève pour l’amener à comprendre la propriété de distributivité de la multiplication.
Exemple
Une salle de spectacle contient 16 rangées de 34 sièges. Combien de sièges y a-t-il dans la salle de spectacle?
L’utilisation du contexte d’une salle de spectacle n’est pas un hasard. C’est un contexte propice à l’exploration d’un modèle d’aire appelé disposition rectangulaire.
Une séquence d’enseignement bien orchestrée amène l’élève à utiliser une disposition rectangulaire réalisée :
- à l’aide de matériel concret (par exemple, matériel de base dix, carreaux algébriques);

- à l’aide de matériel semi-concret (par exemple, papier quadrillé)

- à l’aide d’une représentation plus abstraite (par exemple, disposition rectangulaire ouverte).

La stratégie liée au concept d’aire qui consiste à faire des sommes de produits partiels aide l’élève à généraliser et à découvrir la propriété de distributivité de la multiplication sur l’addition.
Cet apprentissage a son utilité à différents cycles, car la disposition rectangulaire peut s’appliquer à la multiplication dans d’autres systèmes de nombres (par exemple, fractions, nombres décimaux), ainsi qu’à des situations algébriques.
MULTIPLICATION DE FRACTIONS | MULTIPLICATION D’EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES |
---|---|
Calcule |
Simplifie |
![]() ![]() |
![]() ![]() |
|
|
Il est important que l’élève explore parallèlement si les propriétés de commutativité, d’associativité et de distributivité s’appliquent à la soustraction et à la division. L’associativité et la commutativité ne s’appliquent pas à la soustraction ni à la division. La distributivité ne s’applique pas à la division.
SOUSTRACTION | DIVISION
|
|
---|---|---|
ASSOCIATIVITÉ |
|
|
COMMUTATIVITÉ |
|
|
DISTRIBUTIVITÉ |
|
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 18-22.
Généralisations algébriques
L’élève devrait maîtriser les généralisations algébriques ci-dessous relatives aux propriétés des nombres réels.
Commutativité :
Pour tous les a et b éléments de ℝ (nombres réels),
Pour tous les a et b éléments de ℝ (nombres réels),
Associativité :
Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels),
Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels),
Distributivité :
Pour tous les a, b et c éléments de ℝ (nombres réels),
Élément neutre :
Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels),
Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels),
Élément absorbant :
Pour tous les a éléments de ℝ (nombres réels),
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7e à la 10e année, p. 24-25.
Habileté : utiliser la priorité des opérations
La priorité des opérations peut survenir dans un contexte de résolution de problèmes ou dans des opérations présentées sous forme d’expressions numériques sans contexte.
En classe, il est plus important de miser sur le sens des expressions en contexte de résolution de problèmes que sur l’habileté à évaluer des expressions comportant de multiples opérations.
Les opérations en contexte de résolution de problèmes
Pour résoudre un problème comportant une série d’opérations, l’ordre à suivre est dicté par le sens du problème.
Exemple 1
Simon a 3 enveloppes contenant 5 timbres chacune et sa sœur Annabelle a 7 enveloppes contenant 4 timbres chacune. Ils décident de regrouper tous leurs timbres pour former une plus grosse collection. Combien de timbres compte leur collection commune?
Pour résoudre ce problème logiquement, les élèves doivent d’abord déterminer le nombre de timbres dans la collection
de Simon (
Pour représenter toutes ces opérations en une seule expression numérique, on pourrait écrire
Donc, la collection commune contient 43 timbres.
Dans l’exemple suivant, il est possible de résoudre le problème en donnant la priorité à l’addition sur la multiplication.
Exemple 2
Alphonse commande 12 recueils de bandes dessinées vendus au prix de 7 $ chacun. Il y a des frais de livraison de 2 $ par recueil. Combien lui coûtent les 12 recueils?
Les élèves peuvent d’abord déterminer le prix de chaque recueil
Ainsi, les parenthèses permettent de regrouper certains éléments d’une expression numérique et de préciser que ces éléments doivent être traités en priorité.
Les opérations sous forme d’expressions numériques
Idéalement, les expressions numériques devraient être présentées dans un contexte qui permet d’établir la priorité
des opérations. Il arrive cependant qu’on doive évaluer une expression numérique hors contexte. Telles que présentées
précédemment, les parenthèses aident à prioriser les opérations à effectuer, comme dans les expressions numériques
On pourrait aussi décider de donner la priorité à l’addition sur la multiplication :
Devant une expression numérique de ce genre, certaines règles ont été établies afin de lever toute ambiguïté et d’uniformiser son traitement. Une de ces règles stipule que les multiplications et les divisions s’effectuent avant les additions et les soustractions. Dans ce contexte, la façon convenue d’évaluer l’expression précédente est :
L’acronyme PEDMAS est souvent présenté aux élèves pour les aider à retenir l’ensemble des règles qui définissent la priorité des opérations. Le « P » représente les parenthèses qu’il faut traiter en premier. Le « E » désigne les exposants qui sont évalués ensuite. Le « D » et le « M » représentent la division et la multiplication, opérations à effectuer selon l’ordre dans lequel elles paraissent. Enfin, l’addition et la soustraction correspondent aux lettres « A » et « S ». Ces deux dernières opérations sont effectuées en dernier lieu selon l’ordre dans lequel elles paraissent. La priorité des opérations est au programme de 6e année, mais il peut arriver que les élèves des autres années abordent ces règles de façon informelle. Ce n’est qu’au cycle intermédiaire qu’interviennent les exposants. En classe, il est plus important de miser sur le sens des expressions en contexte de résolution de problèmes que sur l’habileté à évaluer des expressions comportant de multiples opérations.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 108-110.
Certaines calculatrices respectent la priorité des opérations, alors que d’autres ne le font pas (par exemple, si on
appuie sur les touches
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 120
Habileté : utiliser les relations entre les opérations
Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Au cycle primaire, les élèves ont établi des liens entre les opérations à travers diverses activités. Par exemple, elles et ils savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, elles et ils développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.
- La multiplication peut être associée à une addition répétée.
- La division peut être associée à une soustraction répétée.
Les opérations fondamentales, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont intimement reliées malgré leurs différences apparentes. Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elles et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles.
L’addition et la soustraction
Dans l’addition ou la soustraction, des quantités sont ajoutées, retirées, unies ou comparées. Pour que les élèves comprennent les liens entre les quantités dans chacun de ces cas, il est important qu’elles et ils soient confrontés à divers types de problèmes. Le tableau ci-après présente une variété de problèmes relatifs à l’addition et à la soustraction.
L’addition et la soustraction ne sont que des opérations qui surviennent dans des problèmes. Il faut donc éviter de parler de « problèmes de soustraction » ou « problèmes d’addition », car c’est la compréhension de la situation, ainsi que la compréhension des opérations qui font choisir la stratégie de résolution de problèmes à adopter, en l’occurrence le choix de l’addition ou de la soustraction. Donc, les élèves doivent analyser le problème, choisir une stratégie et l’appliquer, tout comme le font les adultes. Dans ce contexte, le rôle du personnel enseignant est d’aider les élèves dans leur analyse et dans leur compréhension des opérations.
Il est important de noter que les problèmes présentés dans le tableau semblent similaires en raison de leur contexte. Or pour les élèves, chaque situation représente un problème particulier. C’est en maîtrisant ces divers types de problèmes que les élèves acquièrent une maîtrise de l’addition et de la soustraction.
Types de problèmes relatifs à l'addition et la soustraction

Les problèmes d’ajout et de retrait sont perçus par les élèves comme des situations actives, plus faciles à modéliser et à « voir », car la quantité initiale augmente ou diminue. Les problèmes de réunion, cependant, supposent une situation statique, car aucune action ou aucun changement ne se produit, ce qui les rend plus abstraits et plus difficiles à comprendre.
Les problèmes de comparaison, quant à eux, traitent de la relation entre deux quantités en les opposant : il n’y a donc pas d’action, mais une comparaison d’une quantité à une autre.
Puisque les élèves sont exposés régulièrement à des problèmes dont la quantité finale est recherchée, elles et ils
les résolvent plus aisément. Cependant, elles et ils ont plus de mal à résoudre les problèmes dont la variable est la
quantité initiale, la quantité ajoutée ou la quantité retirée. Ces problèmes aident à développer une compréhension
plus solide des opérations d’addition et de soustraction et des liens entre les opérations. Par exemple, dans le cas
des problèmes d’ajout dont la valeur inconnue est la quantité initiale, les élèves voient plus facilement les
avantages de l’addition (par exemple,
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 81-84.
La multiplication et la division
Pour comprendre la multiplication et la division, il faut reconnaître les trois types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale (par exemple, 8 fleurs), le nombre de groupes égaux (par exemple, 4 pots) et la taille de chaque groupe (par exemple, 2 fleurs par pot).

Dans les problèmes présentés aux élèves, on associe trop souvent la division à un seul sens, soit le partage. Le sens de groupement est habituellement négligé. La division a un sens de partage lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus (par exemple, 3 élèves veulent se partager équitablement 15 pommes et on cherche le nombre de pommes que chacun recevra).

La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille des groupes) sont connus (par exemple, on a 15 pommes et on veut les placer dans des sacs, 3 pommes par sac; on cherche le nombre de sacs qu’il faut).

Il est essentiel de traiter des deux types de problèmes, puisqu’ils sont la base de l’intégration d’autres concepts mathématiques. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’elles et ils aient l’occasion d’en résoudre de divers types, tout en employant une variété de stratégies.
Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 84-86.
Effet des opérations
Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou
diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu. Suivre l’effet des opérations sur les nombres
permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération. Par exemple, si
on soustrait 8 de 160, on remarquera peu d’effet, car la différence entre 160 et 152 est relativement petite.
Cependant, si on divise 160 par 8, l’effet produit est grand, car le quotient obtenu, soit 20, est beaucoup
plus petit que 160. On peut aussi comparer l’effet produit par une addition à celui produit par une multiplication.
Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Par exemple, lorsque le
nombre 160 est multiplié par 8, on obtient 1 280, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 168. Les
gens qui possèdent un bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les
élèves en apprentissage sont souvent impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication. Une mise en garde
s’impose : il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou
les fractions peuvent avoir des effets différents que ceux sur les nombres naturels. Dans certains cas, l’effet peut
même être l’inverse. En effet, si on multiplie un nombre naturel par un autre nombre naturel, le produit est plus
grand que les deux facteurs (par exemple, si on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus grand que 6
et 3), alors que si on multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit qu’un des deux
facteurs (par exemple, si on multiplie
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90-91.
Habileté : résoudre des problèmes nécessitant plus d’une opération
Que ce soit un problème comportant une opération ou plus d’une opération, les élèves doivent prendre des décisions et faire des choix en fonction du contexte. Une approche axée sur la résolution de problèmes les initiera à cette réflexion. Devant un problème, il faut d’abord l’analyser afin d’en déterminer les données et de comprendre qu’un calcul doit être effectué. Ensuite, il faut savoir si, selon le contexte, on cherche une réponse approximative ou une réponse exacte. Dans les deux cas, selon le contexte et les nombres en cause, il faut ensuite déterminer si le calcul sera effectué mentalement, par écrit ou à l’aide d’une calculatrice. Enfin, le calcul désiré est effectué.
Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 117.
Connaissance : nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction. Tous les nombres à virgule sauf ceux dont la partie décimale est infinie sont des nombres rationnels. Les nombres décimaux dont la partie décimale est infinie sont des nombres irrationnels.
Partie décimale | Explication | Exemple |
---|---|---|
Partie décimale finie |
La partie décimale contient un nombre fini de chiffres. Note : Les nombres dont la partie décimale est finie peuvent être représentés par des fractions décimales. |
|
Partie décimale infinie et périodique | La partie décimale contient un nombre infini de chiffres dont une partie (la période) se répète
indéfiniment. La période est indiquée par un trait horizontal placé au-dessus du chiffre ou du groupe de
chiffres répété.
Note : Les nombres dont la partie décimale est infinie et périodique peuvent tous être représentés par des fractions. |
|
Partie décimale infinie et non périodique | La partie décimale contient un nombre infini de chiffres, sans période.
Note : Les nombres dont la partie décimale est infinie et non périodique ne peuvent pas être représentés par des fractions. |
Connaissance : propriétés des opérations
Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause.
Les propriétés des opérations sont :
- La commutativité : (
) - L’associativité :
- La distributivité :
- L’élément neutre :
, ; , ; - L’élément absorbant :
, .
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Connaissance : la commutativité
Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, 27 + 63 = 63 + 27 et 8 × 6 = 6 × 8.
Généralisation :
Connaissance : l’associativité
L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur.
Généralisation :
Connaissance : la distributivité
La multiplication est distributive sur l’addition et sur la soustraction.
La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. Par exemple,
-
on peut multiplier
et arriver au même résultat que si on avait effectué (3 × 5) + (3 × 6); -
on peut multiplier
en faisant .
Généralisation :
Connaissance : élément absorbant
Dans une multiplication, le 0 a pour effet d’« absorber » l’autre facteur. Ainsi, peu importe le nombre
multiplié par 0, le produit sera toujours 0 (par exemple,
Généralisation :
Connaissance : élément neutre
Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet pour une opération donnée. Ainsi, le
nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple,
Généralisation :
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102-107.
Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
Le sens des opérations fait appel à la capacité de représenter des situations avec des symboles et des nombres. Comprendre la signification des opérations, et les relations entre elles, permet de choisir l’opération qui représente le mieux une situation et permet de résoudre le plus efficacement le problème, compte tenu des outils disponibles.
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.
- La multiplication peut être associée à une addition répétée.
- La division peut être associée à une soustraction répétée.
Connaissance : rapport
Relation entre deux grandeurs exprimées sous la forme du quotient des nombres qui les caractérisent.

Par exemple, dans l’ensemble de 5 billes ci-dessus,
- il y a un rapport de 2 à 3 (
ou 2 : 3) entre le nombre de billes blanches et le nombre de billes noires. (rapport partie : partie) - il y a un rapport de 2 à 5 (
ou 2 : 5) entre le nombre de billes blanches et le nombre total de billes. Ceci peut être interprété comme des billes sont blanches. (rapport partie : tout)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 55.
Connaissance : taux
Un taux décrit la relation entre 2 quantités exprimées avec des unités différentes (par exemple, des objets avec des dollars ou des kilomètres avec des heures).
Source : En avant, les maths!, 4e année, CM, Nombres, p. 2.
Connaissance : pourcentage
Le pourcentage est une façon particulière de présenter une fraction. Il est souvent employé dans la vie courante. Une
expression numérique comme 30 % (qui se lit « trente pour cent ») est en réalité une autre notation du
nombre trente centièmes, soit
Exemple

Les élèves doivent aussi réaliser qu’un pourcentage représente un rapport à 100 (par exemple, 30 % représente le rapport 30 : 100). Il est important de souligner qu’un résultat exprimé en pourcentage ne signifie pas que la quantité en question est nécessairement composée de 100 parties, comme expliqué dans le tableau suivant.
Lien entre le pourcentage et la quantité 100
Représentation | Pourcentage | Notes pédagogiques |
---|---|---|
![]() ![]() |
75 % des cercles sont verts. | Même si 75 % des cercles sont verts, cela ne veut pas dire qu’il y a 100 cercles dans
l’ensemble. Cependant, s’il y avait 100 cercles, il y aurait 75 cercles verts. De plus, la fraction
des cercles qui sont verts est équivalente à |
![]() |
50 % du terrain est recouvert de pelouse. | Même si 50 % du terrain est recouvert de pelouse, on ne peut pas affirmer que le terrain a une aire de
100 m2. Mais on peut affirmer que pour chaque 100 m2 de terrain,
50 m2 sont recouverts de pelouse. Ainsi, |
Source : Guide
d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la
6e année, p. 34-35.