GEEM - Habiletés et connaissances

B1.4 Utiliser les fractions, les nombres décimaux et les pourcentages, y compris des pourcentages de plus de 100 % et de moins de 1 %, de manière interchangeable et avec souplesse pour résoudre divers problèmes.

Habileté : décrire les relations et représenter les équivalences entre des fractions, des nombres décimaux jusqu’aux millièmes et des pourcentages, à l’aide d’outils et de schémas appropriés, dans divers contextes

Pour bien développer le sens du nombre, il est important que les élèves se forment des images des quantités représentées par les nombres. Dans le cas des nombres décimaux, les lire correctement permet de s’en faire une meilleure représentation mentale et de faire appel à leurs connaissances des fractions (par exemple, 0,75 se lit « soixante-quinze centièmes » et non pas « zéro virgule soixante-quinze »). Il faut inciter les élèves à utiliser plusieurs modèles pour favoriser la création de diverses représentations mentales et ainsi pour décrire les relations entre les fractions et les nombres décimaux.

Exemple

Lors de la représentation de nombres décimaux à l’aide de modèles, il y a une adaptation à faire, car ces mêmes modèles étaient utilisés jusqu’alors pour représenter d’autres concepts (par exemple, la languette représentait une dizaine de cubes). Les élèves doivent comprendre que l’unité a changé. Dans le premier des deux exemples précédents, c’est l’objet au complet qui représente l’unité (le tout); dans le deuxième, c’est le grand carré au complet qui représente l’unité (le tout).

Les élèves doivent aussi se former une représentation mentale de nombres décimaux supérieurs à un. À la lecture d’un tel nombre décimal, elles et ils doivent se représenter mentalement la quantité qu’il représente en interprétant les deux parties qui le composent : la partie entière et la partie décimale. Par exemple, elles et ils doivent reconnaître que le nombre 8,24 représente 8 entiers et une partie d’un autre entier identique. Elles et ils peuvent alors visualiser une quantité entre 8 et 9.

Exemple

L’image montre deux ensembles de quatre jetons blancs et un quart de jeton. Une droite numérique n’est chiffrée que d’un huit et d’un neuf. Une flèche pointe à droite du huit.

Avec le temps, les élèves sont en mesure de se représenter mentalement la quantité en tenant compte du contexte. Par exemple, dans une situation où il est question d’un article qui coûte 197,98 $, l’élève qui reconnaît que 197,98 $ représente un peu plus que 197 $ peut ensuite visualiser ou concevoir que, dans ce contexte, le montant de 197,98 $ peut être représenté approximativement par 10 billets de 20 $.

Les élèves doivent être capables de se créer une représentation mentale d’un pourcentage, comme elles et ils le font pour les nombres décimaux. La nature même du pourcentage leur permet de visualiser plus facilement une quantité, car il s’agit toujours d’un rapport avec 100. Il faut aussi bien comprendre qu’un pourcentage est une autre façon de représenter une quantité.

Exemple

Une grille de cent unités possède 12 unités rouges et le reste en blanc. Sous la grille il est écrit : douze pourcent égale zéro virgule douze égale douze sur cent.

Il est important de reconnaître l’égalité entre les diverses représentations des nombres ou des expressions numériques. Dans le cadre des nombres décimaux, les élèves doivent reconnaître l’égalité entre un nombre décimal, la fraction décimale correspondante et le pourcentage.

Les élèves doivent comprendre que puisque la notation décimale n’est qu’une autre façon de représenter une fraction décimale, il est alors possible d’établir une relation d’égalité entre les deux notations (par exemple, 0,3 = $\frac{3}{10}$ ). En reconnaissant cette égalité, elles et ils sont en mesure d’associer une valeur de position à chacune des décimales qui composent un nombre décimal, soit successivement les dixièmes, les centièmes, les millièmes et ainsi de suite.

Exemple

Les élèves qui n’ont pas compris cette association sont parfois portés à représenter une fraction telle que $\frac{2}{5}$ par 0,2 ou 0,25. La description ci-après décrit des comportements observables d’élèves ayant acquis une compréhension conceptuelle des nombres et du lien entre leurs différentes représentations.

Compréhension conceptuelle des nombres

Nombre : 0,3

Comportements observables :

L’élève peut en faire la lecture (trois dixièmes).
L’élève peut écrire le nombre en notation fractionnaire, soit $\frac{3}{10}$ .
L’élève peut représenter le nombre à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

Un long rectangle mince est divisé en dix parties égales. Les trois premières sont rouges tandis que les sept autres sont blanches.

Nombre : $\frac{16}{100}$

Comportements observables :

L’élève peut en faire la lecture (seize centièmes).
L’élève peut écrire le nombre en notation décimale, soit 0,16.
L’élève peut représenter le nombre à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

Une grille de cent unités de points montre 16 points rouges et les autres en bleu marine.

Nombre : $\frac{2}{7}$

Comportements observables :

L’élève peut en faire la lecture (deux septièmes).
L’élève sait que la fraction $\frac{2}{7}$ n’est pas représentée par 0,2 puisqu’elle ou il sait que $0, 2 = \frac{2}{10}$ .

Pour établir la relation d’égalité entre une fraction dont le dénominateur n’est pas une puissance de dix (par exemple, $\frac{1}{4}$ ) et le nombre décimal correspondant, il est nécessaire de recourir au concept de fractions équivalentes. Par exemple, les élèves peuvent utiliser des bandes d’égales longueurs telles qu’illustrées ci-dessous pour constater que $\frac{1}{4}$ se situe entre $\frac{2}{10}$ et $\frac{3}{10}$ .

Elles et ils peuvent ensuite subdiviser les dixièmes en dix parties égales, créant ainsi cent parties égales, soit des centièmes du tout et reconnaître que $\frac{25}{100}$ est une fraction équivalente à $\frac{1}{4}$ .

Puisque $\frac{25}{100} = 0, 25$ , elles et ils peuvent conclure que la fraction $\frac{1}{4}$ peut aussi être représentée en notation décimale par 0,25 ( $\frac{1}{4} = \frac{25}{100} = 0, 25$ ).

Ce genre d’exemple permet aux élèves de reconnaître que toutes les fractions qui peuvent être exprimées par une fraction décimale équivalente peuvent être représentées par un nombre décimal. C’est le cas notamment des fractions exprimées en demis, en quarts, en cinquièmes et en vingtièmes comme le démontre le tableau suivant.

Fraction	Fraction décimale équivalente	Nombre décimal
$\frac{1}{2}$	$\frac{5}{10}$	0,5
$\frac{3}{4}$	$\frac{75}{100}$	0,75
$\frac{2}{5}$	$\frac{4}{10}$	0,4
$\frac{7}{20}$	$\frac{35}{100}$	0,35

Note : Certaines fractions (par exemple, $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{7}$ , $\frac{5}{11}$ ) ne peuvent être représentées par une fraction décimale équivalente. Ces fractions ne sont donc pas des nombres décimaux. Elles peuvent cependant être exprimées par des nombres à virgule ayant une partie décimale périodique (par exemple, $\frac{2}{3} = 0, \overset{―}{6}$ ; $\frac{3}{7} = 0, \overset{―}{428 571}$ ; $\frac{5}{11} = 0, \overset{―}{45}$ ) en divisant le numérateur par le dénominateur.

On sait qu’un nombre décimal représente une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (par exemple, $0, 3 = \frac{3}{10}$ ; $0, 47 = \frac{47}{100}$ ). Le concept de pourcentage étant intimement lié au concept de fraction, il n’y a qu’un pas à faire pour relier le pourcentage, le nombre décimal et la fraction décimale. À la fin du cycle moyen, les élèves qui ont acquis un bon sens du nombre peuvent passer d’une notation à une autre sans difficulté.

Exemple

Pour aider les élèves à développer cette habileté, il faut régulièrement les inviter à exprimer leurs réponses en utilisant une autre notation. Par exemple, le personnel enseignant peut inciter l’élève qui a répondu que $\frac{3}{4}$ des jeunes de la classe ont les cheveux noirs à exprimer aussi cette réponse en notation décimale (0,75) et en pourcentage (75 %).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 46-51.

Certains nombres décimaux, lorsqu’ils sont convertis en pourcentage, donnent un pourcentage entier ou un pourcentage avec une partie décimale (par exemple, 0,15 = 15 %; 0,642 = 64,2 %; 3,425 = 342,5 %).

Les pourcentages peuvent être des nombres naturels (par exemple, 32 %, 168 %) ou des nombres décimaux (par exemple, 0,5 %; 43,6 %; 108,75 %).

Il existe trois types de situations où interviennent des pourcentages : déterminer le pourcentage qu’une quantité représente par rapport à un tout; trouver le pourcentage d’un nombre; et trouver un nombre alors que le pourcentage qu’il représente est donné.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Les élèves croient souvent, à tort, qu’un pourcentage ne peut dépasser 100 (100 %). Or, certaines situations de la vie courante mènent à des pourcentages supérieurs à 100 %. Pour bien comprendre, ces situations peuvent être explorées au moyen de représentations concrètes ou semi-concrètes où les quantités sont mises en relation avec le tout. On peut aussi utiliser la notation fractionnaire ou décimale.

Exemple

À la suite d’une augmentation de 25 %, on peut affirmer que la nouvelle quantité représente 125 % de la quantité initiale.

Ainsi, la nouvelle quantité représente $\frac{125}{100}$ (cent vingt-cinq centièmes) de la quantité initiale ou 125 % de la quantité initiale. Cependant, une augmentation de 125 % signifie que 125 % du tout est ajouté à la quantité initiale. La nouvelle quantité représente alors $\frac{225}{100}$ (deux cent vingt-cinq centièmes) de la quantité initiale ou 225 % de la quantité initiale.

Connaissance : pourcentage

Le pourcentage est une façon particulière de présenter une fraction. Il est souvent employé dans la vie courante. Une expression numérique comme 30 % (qui se lit « trente pour cent ») est en réalité une autre notation du nombre trente centièmes, soit $\frac{30}{100}$ ou 0,30. Afin de faciliter la compréhension du concept de pourcentage, il faut d’abord amener les élèves à établir le lien entre le pourcentage et la fraction dont le dénominateur est 100, et ce, à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

À côté de l’équation trente pourcent égale trente sur cent, il y a une grille de cent unités où les trois premières rangées de dix carrés sont rouges, et le reste est blanc.

Les élèves doivent aussi réaliser qu’un pourcentage représente un rapport à 100 (par exemple, 30 % représente le rapport 30 :100). Il est important de souligner qu’un résultat exprimé en pourcentage ne signifie pas que la quantité en question est nécessairement composée de 100 parties, comme expliqué dans le tableau suivant.

Lien entre le pourcentage et la quantité 100

Représentation	Pourcentage	Notes pédagogiques
	75 % des cercles sont verts.	Même si 75 % des cercles sont verts, cela ne veut pas dire qu’il y a 100 cercles dans l’ensemble. Cependant, s’il y avait 100 cercles, il y aurait 75 cercles verts. De plus, la fraction des cercles qui sont verts est équivalente à $\frac{75}{100}$ (par exemple, $\frac{3}{4} = \frac{75}{100}$ et $\frac{150}{200} = \frac{75}{100}$ ).
Image Un rectangle de 50 mètres par 80 mètres est découpé en deux parties égales sur la largeur : une partie verte et une partie blanche. Ces deux dernières mesurent respectivement 2 000 mètres carrés ainsi que 50 mètres par 40 mètres.	50 % du terrain est recouvert de pelouse.	Même si 50 % du terrain est recouvert de pelouse, on ne peut pas affirmer que le terrain a une aire de 100 m². Mais on peut affirmer que pour chaque 100 m² de terrain, 50 m² sont recouverts de pelouse. Ainsi, $\frac{2 000}{4 000} = \frac{1}{2} = \frac{50}{100} = 50$ .

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 35.