B2.8 Multiplier et diviser des fractions par d’autres fractions, à l’aide d’outils, dans divers contextes.
Habileté : multiplier et diviser des fractions par d’autres fractions, à l’aide d’outils, dans divers contextes
Multiplication
Lorsqu’on multiplie des fractions, il y a une certaine progression à suivre. Au cycle moyen, les élèves ont déjà un
bagage de connaissances sur la multiplication. En effet, depuis le cycle primaire, elles et ils explorent des
concepts reliés à la multiplication à l’aide de matériel concret, de la calculatrice, d’illustrations et de
symboles. En 4e année, la multiplication de fractions est limitée à la multiplication d’une fraction
unitaire par un nombre naturel. Ce type de multiplication peut être compris en le reliant à l’addition répétée.
Ainsi, les élèves saisissent facilement que
Exemple
De combien de cartons l’élève qui doit distribuer un demi-carton à 4 camarades aura-t-elle ou il besoin?
En comprenant la situation, les élèves reconnaissent qu’il y a multiplication d’une quantité, soit
D’autres peuvent penser à la représentation abstraite suivante : « Il faut 4 fois un demi-carton. Je
sais que

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 86-87.
Cependant, il est plus difficile de donner un sens à la multiplication d’un nombre naturel par une fraction (par
exemple,
Exemple
Dans une salle de classe de 6e année,
S’il y a 24 élèves dans la salle de classe, combien d’élèves portent une tuque?
- Multiplication effectuée à l’aide d’une droite numérique double
Pour trouver
Je représente les 24 élèves sous la droite et la moitié de 24 sur le haut de la droite.

Il y a 12 élèves qui portent une tuque.
- Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire
Je décompose 24 en

Il y a 12 élèves qui portent une tuque.
En 6e année, en examinant le concept de multiplication d’un nombre naturel par une fraction propre,
elles et ils apprendront que la fraction d’un ensemble (
Exemple
Dans un champ de forme rectangulaire dont l’aire est de 100 m2, M. Longpré a semé des concombres
sur
Source : Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et Sens du nombre/Mesure, 6e année, Module 2, Série 2, p. 309.
- Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire
J’ai décomposé 100 en
J’ai additionné les produits partiels pour arriver à 40.

L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m2.
- Multiplication effectuée à l’aide d’un algorithme personnel
J’ai décomposé
À l’aide de l’associativité, j’ai multiplié
J’ai multiplié
Multiplier par
J’obtiens 40.
L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m2.
Multiplication d’une fraction par une fraction
En 7e année, l’élève multiplie et divise des fractions par d’autres fractions. Ainsi, l’enseignante ou l’enseignant doit amener les élèves à comprendre le sens des opérations et à les représenter visuellement en utilisant diverses représentations.
L’élève qui résout des problèmes utilise du matériel de manipulation et des illustrations pour représenter les fractions et pour simuler l’action qui se dégage de l’énoncé. C’est en partant de ces représentations visuelles qu’elle ou il construit le sens des opérations (×, ÷).
Source : inspiré de Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et Sens du nombre/Mesure, 8e année, Module 1, Série 2, p. 143-144.
La vidéo suivante montre la multiplication d’une fraction par une fraction à l’aide d’un modèle de surface, ainsi que l’algorithme représentant la situation.
Description de la vidéo
[Narrateur]
Pour répondre à la question, il reste un demi d'un gâteau, et Carole a mangé 3/4 de ce restant. Quelle fraction du gâteau dans son ensemble a-t-elle mangée? Il est possible d'utiliser la stratégie du modèle de l'aire. Le premier dénominateur est deux, donc on sépare un rectangle en deux et on colorie une des parties pour représenter le numérateur. Le deuxième dénominateur est quatre, donc on sépare le rectangle en quatre dans l'autre sens.
[Vidéodescription]
Le rectangle est séparé en deux parties égsles, et chacune d'elle est séparée en quatre parties égales. Il est colorié en rouge sur toute la moitié gauche. Au-dessus de cette partie, il est écrit un demi. À gauche du rectangle, il est écrit trois quarts.
[Narrateur]
On colorie trois des quatre parties pour représenter le numérateur. Les parties coloriées avec les deux couleurs nous indiquent le montant mangé, c'est-à-dire le numérateur de notre réponse.
[Vidéodescription]
Sur le côté gauche du rectangle, les parties sont numérotées : 1, 2, 3, 4.
[Narrateur]
Pour trouver le dénominateur de notre réponse, on compte le nombre de parties en tout.
[Vidéodescription]
Sur le côté droit du rectangle, les parties sont numérotées : 5, 6, 7, 8. Au-dessus du rectangle, il est écrit trois huitièmes. Sous le rectangle, il est écrit : « Carole aurait alors mangé trois huitièmes du gâteau dans son ensemble.
[Narrateur]
Les étapes de l'algorithme sont : Multiplier les numérateurs, et ensuite, les dénominateurs, pour obtenir 3/8.
[Vidéodescription]
Un demi fois trois quarts égale trois huitièmes.
[Narrateur]
On voit encore que Carole a mangé 3/8 du gâteau dans son ensemble.
[Fin de la vidéodescription]
Voici d’autres exemples de multiplication de fractions, soient la multiplication sans fractionnement et la multiplication avec fractionnement.
Multiplication sans fractionnement
- Multiplication effectuée à l’aide du modèle de surface
L’élève peut utiliser le modèle de surface, soit le rectangle ou le carré pour multiplier une fraction par une autre fraction.
Exemple
Puisque je cherche

Ensuite, je divise horizontalement le même rectangle en 4 parties égales et je colorie 1 partie, ce qui
correspond à

La fraction qui représente
La fraction
- Multiplication effectuée à l’aide d’une représentation symbolique
L’élève multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Source : inspiré de Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Numération et Sens du nombre/Mesure, 8e année, Module 1, Série 2, p. 253-254.
- Multiplication effectuée en trouvant le PPCM
Le plus petit commun multiple (PPCM) de 4 et 3 est 12.
Je divise un rectangle en 12 parties égales et je représente
Ensuite, je trouve

Alors,
Multiplication avec fractionnement
- Multiplication effectuée à l’aide du modèle de surface
Puisque je cherche

Ensuite, je peux décomposer
Je divise horizontalement le même rectangle en 4 parties égales et je colorie tout d’abord 1 partie, ce qui
correspond à

Je cherche
Division
Lorsqu’on divise des fractions, il y a une certaine progression à suivre. L’exploration de la division, comme celle des autres opérations, doit miser sur les représentations concrètes et semi-concrètes et non sur les algorithmes. Les élèves peuvent alors réactiver leurs connaissances antérieures et saisir le sens de l’opération. Afin de comprendre une division, il est essentiel d’examiner le sens de la division et la nature des nombres qui la composent. Une division a le sens de partage lorsqu’on cherche la taille des groupes; elle a le sens de groupement lorsqu’on cherche le nombre de groupes.
Ainsi, en 5e année, la division d’un nombre naturel par une fraction unitaire (par exemple,

Par exemple, si on a 2 réglisses et que l’on veut remettre à chaque enfant

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 80-82.
Dans le cas d’une division d’un nombre naturel par une fraction, la division prend généralement le sens de groupement. Ainsi, l’analogie de la soustraction répétée est de mise puisqu’il s’agit de séparer des parties.
Par exemple, dans la division de 2 par
En 6e année, l’élève divise un nombre naturel par une fraction propre.
Exemple
Modèle de surface
Afin de créer un dallage, chaque équipe a besoin de l’équivalent des

Modèle de longueur
Une enseignante a une corde de 6 m et veut la couper en sections de

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 100-102.
En 7e année, l’élève divise des fractions par d’autres fractions.
Division d’une fraction par une fraction
La vidéo suivante montre la division d’une fraction par une autre fraction à l’aide d’un modèle de surface et d’un algorithme.
Description de la vidéo
[Intervenant]
Réfléchis à la question suivante : Anne a 2/3 d'une tasse de cacao. Sa recette de gâteau en requiert 1/6 d'une tasse. Si Anne a un surplus de tous les autres ingrédients, combien de gâteaux peut-elle préparer ? On doit donc trouver combien de 1/6 il y a dans 2/3.
[Vidéodescription]
Sous la division deux tiers divisé par un sixième, il y a deux rectangles égaux placés l'un sous l'autre. Le premier rectangle est séparé en trois parties égales. Les deux premières parties sont pourpres et possèdent la mention un tiers, tandis que la troisième est blanche. Le deuxième rectangle est séparé en six parties égales. La première partie est jaune et possède la mention un sixième, tandis que les cinq autres parties sont blanches.
[Intervenant]
Chaque tiers compte 2/6. Alors, il y a quatre sixièmes dans 2/3.
[Vidéodescription]
Les deux premières parties du premier rectangle se font séparer en deux. Elles se font numéroter 1, 2, 3, 4. Les lignes séparatrices se prolongent entre les parties du rectangle des sixièmes pour illustrer l'équivalence.
[Intervenant]
2/3 ÷ 1/6 = 4. Si Anne a un surplus de tous les autres ingrédients, elle peut préparer quatre gâteaux. Pour diviser deux fractions à l'aide d'un algorithme, on n'a qu'à multiplier la première fraction par la fraction inverse de la seconde. 2/3 ÷ 1/6 correspond à 2/3 x 6/1. 2/3 x 6/1 donne 12/3.
[Vidéodescription]
Six rectangles illustrant deux tiers sont placés l'un sous l'autre. Chaque partie pourpre se fait numéroter, ce qui donne : 1 et 2 pour le premier rectangle, 3 et 4 pour le deuxième rectangle, et ainsi de suite jusqu'à 11 et 12 pour le sixième rectangle.
[Intervenant]
Chaque groupe de 3/3 correspond à un entier.
[Vidéodescription]
Les parties pourpres se font regrouper en ensemble de trois. Ces ensembles sont numérotés : 1, 2, 3, 4.
[Intervenant]
Il y a quatre entiers, donc 2/3 × 6 = 4.
[Fin de la vidéodescription]
Voici d’autres exemples de division de fractions, soient la division sans fractionnement et la division avec fractionnement.
Division sans fractionnement
Exemple
- Division effectuée à l’aide du modèle de surface
Je représente

Il y a 5 un sixième dans
- Division effectuée à l’aide d’une représentation symbolique
Étant donné que le dividende et le diviseur ont un dénominateur commun, je peux diviser les numérateurs et diviser les dénominateurs.
Division avec fractionnement
Exemple
- Division effectuée à l’aide d’une droite numérique
Je représente
En sachant que

Sur la droite numérique ici-haut, je peux voir qu’il y a un groupe de
- Division effectuée à l’aide d’un dénominateur commun
Connaissance : fraction
Le mot fraction vient du latin fractio qui veut dire « rupture ». Une partie d’un objet brisé peut donc représenter une fraction, car c’est une partie d’un tout. Toutefois, pour déterminer une fraction d’un objet divisé en plusieurs parties, il faut que les parties soient équivalentes.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 33.
Connaissance : notation fractionnaire
La notation fractionnaire
Par exemple :
- J’ai donné 1 quart (
) de mon sandwich à Alex.

- 1 quart (
) de mes billes sont bleues.

Or, la notation fractionnaire peut être aussi associée à d’autres concepts tels que la division, le rapport et l’opérateur.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 36.