B2.5 Additionner et soustraire des fractions, y compris en générant des fractions équivalentes, dans divers contextes.
Habileté : additionner et soustraire des fractions avec et sans dénominateurs communs, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés
Faire le lien entre les opérations sur les nombres naturels et celles sur les fractions
Les élèves ont déjà acquis une compréhension solide de l’addition et de la soustraction. Il est important de faire des liens entre les opérations sur les nombres naturels et celles sur les fractions. Par exemple, l’addition de 3 huitièmes et de 2 huitièmes est la même que celle de 3 bonbons et de 2 bonbons. Seule la notation est différente et plus complexe.
Valoriser les procédures informelles pour développer des stratégies
Il est important de valoriser les procédures informelles, car elles contribuent au développement du sens du nombre et
du sens des opérations. Dans des situations qui impliquent des opérations, plusieurs élèves font appel à des
algorithmes personnels plutôt qu’aux procédures. Par exemple, l’élève qui a un bon sens du nombre pourrait aborder
l’addition de
Nature des opérations fondamentales
L’application d’une opération sur des nombres a pour effet de réorganiser les quantités en jeu. Il est très important que les élèves comprennent cette facette de la quantité lorsqu’elles et ils utilisent l’une ou l’autre des 4 opérations. Les élèves du cycle moyen ont eu l’occasion d’apprendre cette relation par rapport aux 4 opérations sur les nombres naturels. Dans l’addition, 2 quantités sont mises ensemble pour former une nouvelle quantité. Dans une soustraction, on enlève une quantité d’une autre. On peut aussi reconnaître que l’on cherche une quantité par laquelle 2 quantités données diffèrent.
Il faut beaucoup de temps pour construire un sens des opérations sur les fractions, car il faut réfléchir aux numérateurs, aux dénominateurs et aux touts en cause. Il faut donner aux élèves l’occasion de travailler avec des modèles concrets et semi-concrets et de développer un sens de l’ordre de grandeur des résultats avant de passer aux opérations mettant en cause les représentations symboliques.
À partir de la 6e année, les élèves voient l’addition et la soustraction de fractions avec et sans dénominateurs communs.
Pour l’addition et soustraction avec des fractions ayant un même dénominateur, il s’agit essentiellement de l’addition et de la soustraction d’objets ou de quantités de même nature.
Par exemple, dans
Effectuer l’addition de fractions devient plus complexe lorsque les fractions ont des dénominateurs différents, puisque les morceaux n’ont pas la même taille et ne sont pas de même nature.
La soustraction se traite de la même façon. Par exemple, si j’enlève 3 billes d’un sac qui en contient 5, il en
reste 2. De même, si je soustrais 3 un huitième de 5 un huitième, il reste 2 un huitième
(
L’addition de 2 nombres naturels a pour effet d’augmenter les 2 quantités initiales, tandis que la soustraction de 2 nombres naturels a pour effet de diminuer la quantité initiale. Il est important que les élèves comprennent qu’il en est de même pour l’addition et la soustraction de fractions.
Cela leur permet de comprendre l’invraisemblance de certaines réponses obtenues à partir de procédures erronées. Par
exemple, l’élève qui, pour calculer
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 75-77.
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Explorer les opérations à l’aide de plusieurs modèles
Il est important pour les élèves d’apprendre les concepts liés aux fractions dans diverses situations à l’aide d’une variété de modèles tels que des modèles de surface, des modèles de longueur et des modèles d’ensemble. Il en est de même pour l’apprentissage des opérations sur les fractions.
Lorsqu’on travaille avec les fractions, le plus important et parfois le plus difficile, c’est de bien représenter le
tout. Avec du matériel concret ou semi-concret, l’effet visuel de l’addition et de la soustraction est renforcé. En
puisant dans leurs expériences avec les nombres naturels et en se forgeant un sens de l’opération, les élèves
peuvent reconnaître, par exemple, que l’ajout de 2 tiers (
.

Or, il n’est pas toujours clair pour les élèves que l’addition se fait par rapport au numérateur. Dans une situation
où il reste 3 huitièmes (

Les élèves progressent vers des problèmes comportant des fractions avec dénominateurs différents. Les élèves peuvent néanmoins explorer ce type de problème dans un contexte à l’aide de représentations concrètes et semi-concrètes.
Par exemple, Alexis et son frère Mycolas ont chacun une barre tendre. Les barres sont identiques. Alexis a mangé le
tiers (

Cette situation est représentée à l’aide d’un modèle de surface. La forme rectangulaire est plutôt naturelle, puisqu’elle ressemble à une barre tendre. Cependant, il ne faut pas négliger d’autres représentations, comme le modèle de longueur.
L’exemple suivant porte sur la distance et fait appel aux nombres fractionnaires :
Dans le cadre d’un entraînement pour une course, William doit parcourir au moins
Puisque la situation traite d’une mesure linéaire, les élèves peuvent avoir recours à un modèle de longueur tel que
la droite numérique. Il s’agit d’abord de situer

ensuite de soustraire 3 de

puis de soustraire la partie fractionnaire, soit

Ainsi, on peut conclure que William doit parcourir
Bien que le modèle de longueur représente fidèlement la situation, les élèves pourraient représenter l’opération en utilisant un modèle de surface comme illustré ci-dessous.

Cette situation peut aussi être résolue en décomposant
Maintenant, on peut soustraire
Les élèves doivent aussi explorer des situations comprenant des fractions impropres. Par exemple, l’opération

Ce modèle permet d’exprimer le résultat sous la forme
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 92-94.
Voici différents types de problèmes relatifs à l’addition et à la soustraction (problèmes d’ajout, problèmes de retrait, problèmes de comparaison et problèmes de réunion).
Exemples
Problèmes d’ajout
Mila a mangé
Représentation à l’aide de bandes fractionnaires

Source : problème modifié de Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 78.
La fourmi rouge mesure
- Quelle fraction impropre représente la longueur en centimètres de la suite d’insectes?
- Quelle est cette longueur en mètres?
Pour additionner les fractions, il faut les représenter à l’aide d’un dénominateur commun. Alors, pour la longueur de la cigale, je trouve une fraction équivalente qui a le même dénominateur que les autres fractions.


Sa longueur est
Source : adapté de L'@telier - Ressources pédagogiques en ligne (atelier.on.ca)
Problème de comparaison
Mila a pris
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 78.
Pour soustraire les fractions, il faut les représenter à l’aide d’un dénominateur commun. Alors, pour la quantité
d’eau de Mila, je trouve la fraction équivalente qui a le même dénominateur que l’autre fraction. Je sais que


Il y a une différence de
Calcul mental
Dans la vie quotidienne, les élèves font souvent face à des situations impliquant des opérations sur les fractions, par exemple, les soldes d’un magasin lorsque les articles sont offerts à moitié prix, ou la manchette du journal qui indique que le nombre d’inscriptions dans un programme collégial a augmenté de 1 tiers. Dans de telles situations, il faut souvent effectuer un calcul mental. Selon le contexte, on cherche soit une estimation, soit une réponse exacte.
Un calcul mental repose sur l’utilisation des relations entre les nombres et entre les opérations. Il exige une
certaine flexibilité de raisonnement en ce qui a trait aux calculs à effectuer. Au cours d’un calcul mental, les
nombres sont souvent décomposés (par exemple,
Exemples

Je sais que
La fraction
Il est évident que pour pouvoir effectuer mentalement une opération avec des fractions, les élèves doivent avoir une bonne compréhension des fractions, des opérations et des opérations sur les fractions.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 87.
Connaissance : dénominateur
Nombre de parties équivalentes par lequel le tout est divisé.
Par exemple, le tout est une longueur.
Le dénominateur « 3 » de la fraction

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34.
Connaissance : numérateur
Nombre de parties équivalentes du tout dont se compose la fraction.
Par exemple, le tout est une longueur.
Le numérateur « 2 » de la fraction

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34.
Connaissance : fractions équivalentes
Reconnaître l’égalité de 2 fractions, c’est reconnaître que les 2 fractions représentent la même quantité. Selon Van De Walle et Folk (2005, p. 236 et 237), il faut faire la distinction entre le concept de fractions équivalentes et l’algorithme qui permet de déterminer des fractions équivalentes.
Concept : 2 fractions sont équivalentes si elles représentent la même quantité.
Algorithme : Pour obtenir une fraction équivalente à une fraction quelconque, il faut multiplier ou diviser son numérateur et son dénominateur par le même nombre (différent de 0).
Déterminer des fractions équivalentes, c’est déterminer des fractions qui représentent la même quantité. On cherche
alors un nombre de « petites parties » d’un tout qui correspondent à un nombre particulier de
« grandes parties » du même tout. Par exemple, si on cherche le nombre de seizièmes qui correspond à un
quart (

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 50-51.