B2.3 Utiliser des stratégies de calcul mental pour augmenter et diminuer un nombre naturel de 1 %, 5 %, 10 %, 25 %, 50 % et 100 %, et expliquer les stratégies utilisées.
Habileté : utiliser des stratégies de calcul mental pour augmenter et diminuer un nombre naturel de 1 %, 5 %, 10 %, 25 %, 50 % et 100 %
Représentation mentale
Les élèves doivent être capables de se créer une représentation mentale d’un pourcentage, comme ils le font pour les nombres décimaux. La nature même du pourcentage leur permet de visualiser plus facilement une quantité, car il s’agit toujours d’un rapport avec 100. Il faut aussi bien comprendre qu’un pourcentage est une autre façon de représenter une quantité.
Exemple
Image Une grille de cent unités possède 12 unités rouges et le reste
en blanc. Sous la grille il est écrit : douze pourcent égale zéro virgule douze égale douze sur cent.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 37.
Repères
Les représentations mentales utilisées par les élèves sont renforcées par l’utilisation de repères. De façon générale, un repère est un élément de référence. Les repères utilisés pour l’étude des nombres décimaux et des pourcentages ressemblent à ceux employés pour l’étude des fractions. En créant des liens entre les nombres décimaux, les pourcentages et les repères fractionnaires, les élèves approfondissent leur sens du nombre.
Le tableau ci-après présente quelques repères qui devraient faire partie du bagage des élèves.
Repères pour les fractions, les pourcentages et les nombres décimaux
| Fraction | Pourcentage | Nombre décimal | Exemple de représentation mentale |
|---|---|---|---|
| 1 % | 0,01 |  |
|
| 5 % | 0,05 |  |
|
| 10 % | 0,1 |  |
|
| 15 % | 0,15 |  |
|
| 25 % | 0,25 |  |
|
| 50 % | 0,5
|
 |
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 39.
Calcul mental
La vie quotidienne présente de nombreuses occasions d’effectuer des opérations sur les pourcentages. Par exemple, la taxe de vente provinciale sur les achats et les données sportives font appel aux pourcentages. L’habileté à estimer et l’habileté à calculer mentalement sont des caractéristiques du sens du nombre et du sens des opérations. Diverses stratégies de calcul mental peuvent être utilisées dont l’arrondissement, la décomposition et l’utilisation de repères. Voici quelques exemples de leur utilisation en situation de calcul mental.
Décomposition et arrondissement à l’aide des repères
Exemple 1
Abdul achète une salade et un jus pour son dîner. Le coût est 9 $ plus 13 % de taxe de vente provinciale. Approximativement combien coûtera le dîner d’Abdul?
Afin de connaître le coût approximatif de son dîner, Abdul peut :
- Arrondir au dollar près (10 $).
- Le coût total augmentera, car la taxe est ajoutée au montant du dîner.
- Arrondir au pourcentage repère supérieur près (15 %); l’élève peut décomposer le 15 %= 10 % et 5 % et ensuite calculer les montants 10 % de 10 $ + 5 % de 10 $ (moitié du 10 %) = 1 $ + 0,50 $ =1,50.
- Additionner le coût et la taxe (10 $ + 1,50 $ = 11,50 $).
*Arrondir le coût ainsi que la taxe de vente provinciale permet à Abdul de connaître le total approximatif de son dîner.
Exemple 2
Une gérante achète une machine en rabais de 25 %. La machine coûte 184 $. Combien d’argent la gérante épargnera-t-elle?
Le coût total diminuera, car il y a un rabais.
Décomposer 184
Équivalence :
Calcul
25 % de 100 $ est 25 $
25 % de 80 $ est 20 $
25 % de 4 $ est 1 $
La gérante épargnera 25 $ + $ 20 + $ 1 = 46 $.
Décomposition
Dans cette vidéo, les élèves réfléchissent, partagent et développent différentes stratégies de calcul mental en lien avec le calcul de pourcentages.
Description de la vidéo
[Vidéodescription]
Devant sa classe, auprès d'un grand tableau blanc, un enseignant s'adresse à ses élèves.
[Enseignant]
Bonjour, les élèves. Là, ce que je vais vous demander de faire, c'est un calcul mental. Vous allez trouver la valeur en dollars de 13 % de nos 300 $.
[Vidéodescription]
L'enseignant pointe les nombres qu'il a écrits au tableau au moyen de son marqueur noir.
[Enseignant]
Pour vous aider, vous vous appuyez avec votre calcul mental, je vais utiliser la table de valeurs.
[Vidéodescription]
L'enseignant trace une croix au tableau. Il écrit un symbole de pourcentage dans le coin haut et droit de la croix, et un symbole de dollars dans le coin en haut à gauche. Ensuite, il écrit 13 % en bas à droite de la croix et 300 $ en bas à gauche.
[Enseignant]
Pourcentage, dollars, ici, puisqu'on parle de 300 $, et on veut trouver quelle est la valeur de 13 %. Je vais laisser ça comme ça. Je vais vous donner quelques instants pour faire le calcul mental, ensuite on va en discuter.
Lorsque tu as une idée, tu pourrais mettre ton pouce juste devant toi, ça m'indique que tu as une idée. Parle avec un partenaire, quelqu'un à côté de toi, pour partager ce que tu as calculé, ce que tu étais en train de calculer, puis il y a une réponse si tu es arrivé à ça.
[discussion inaudible d'élèves]
[Enseignant]
Merci beaucoup. Là, j'ai eu la chance un peu de vous écouter, puis je vais inviter quelques personnes à partager leurs stratégies.
[Étudiante 1]
J'ai pris le 300 et j'ai divisé par 100, vu que le 300, c'est 100 %.
[Enseignant]
OK. On va écrire ton raisonnement en même temps. Divisé par 100, tu as dit?
[Étudiante 1]
Oui.
[Enseignant]
Et tu as dit quelque chose d'intéressant aussi : « Ça représente le 100 % », important d'avoir en tête.
[Vidéodescription]
Au marqueur rouge, l'enseignant écrit 100 % dans la colonne des pourcentages, au-dessus de 13 %. Il ajoute un flèche courbe pointant vers le bas qui indique « divisé par 100 ». Du côté gauche, il fait la même chose avec 300 $ : il ajoute une flèche courbe pointant vers le bas qui indique « divisé par 100 », au bout de laquelle il écrit le chiffre 3.
[Enseignant]
Divisé par 100. Donc, 3 représente combien en pourcentage?
[Étudiante 1]
C’est 1 %. Ensuite, j'ai fait 3 x 13 qui, je pense, donne 40. Je ne suis pas sûre à 100 %.
[Enseignant]
OK. Fois 13, j’assume que tu as fait 1 % x 13 ici pour arriver à 13 %. OK. Je sais que ce n'est pas 40. Je sais que c'est 39.
[Étudiante 1]
OK. J'étais proche.
[Enseignant]
Oui. 3 x 3, c'est 9, donc c'est pour ça qu'on arrive... Je suis plus intéressé à la stratégie, donc je trouve ça intéressant que tu aies réfléchi à 1 % pour ensuite trouver ton 13 %. 1 % de 300, c'est 3 x 13, 39 %. Intéressant. OK. Merci beaucoup. Là, je sais que tu as fait quelque chose de différent pour arriver à la même réponse, parce que je t'ai entendu. Pourrais-tu partager ta stratégie avec nous?
[Étudiant 1]
Oui. OK. C'était très similaire, mais j'ai utilisé le 10 %.
[Vidéodescription]
L'enseignant trace un nouveau petit tableau en forme de croix avec le montant du côté gauche et le pourcentage du côté droit. Il ajoute les chiffres de la stratégie au fur et à mesure.
[Enseignant]
OK. La fraction repère ici?
[Étudiant 1]
Oui. Puis, j'ai aussi utilisé le 1 % de l'autre tableau.
[Enseignant]
D'accord.
[Étudiant 1]
Puis, je l'ai triplé pour avoir le 13 % en tout. Après ça, j'ai triplé le 1 % pour avoir 3 %, puis 9.
[Enseignant]
J'assume que tu étais en train de réfléchir à 1 % x 3?
[Étudiant 1]
Oui.
[Enseignant]
Donc, 3 x 3 de cette façon ici. Tu as parlé d'utiliser ce pourcentage avec cette information ici?
[Étudiant 1]
Oui.
[Enseignant]
D'accord. 30 + 9, 39, qui est la même réponse que quand on a utilisé l'autre stratégie. Je vais mentionner ça encore, parce que c'est important, malgré le fait que, peut-être qu'on n'y pense pas, mais c'est des choses qu'on fait. 3 x 3, on n'a pas besoin d’y réfléchir trop, c'est un fait numérique. Un fait numérique de multiplication. Encore, je le vois comme un outil qu'on utilise, puis on n'a pas besoin trop d'y réfléchir. Donc, ça facilite notre travail quand on doit faire d'autres genres de calculs qui sont peut-être un peu plus complexes.
L'importance de ces faits numériques de base et de nos, comme on l’a mentionné déjà, les fractions repères. Peu importe la stratégie qu'on utilise, elle peut être efficace et précise aussi. Ce qu'on va faire maintenant : on va représenter 13 % de 300 en utilisant le matériel de manipulation. Travaillez en petits groupes de deux. La discussion va être très importante.
[discussions de fond]
[Vidéodescription]
Alors que les élèves discutent ensemble, l'enseignant s'approche pour les accompagner dans leur raisonnement.
[Enseignant]
Les élèves, ce qu'on va faire, c'est on va parler un peu des stratégies, puis des représentations que vous avez faites. Lorsque vous étiez au travail, j'ai eu la chance de jaser, puis de regarder un peu. Une chose que j'ai trouvée intéressante : il y a deux élèves qui ont utilisé une stratégie semblable, la même stratégie, mais deux représentations différentes. Je vais t'inviter à nous partager ta stratégie.
[Étudiante 2]
Ces trois plaques égal à 300 $, ce qui est égal à 100 %. J'ai pris 300 $, j'ai divisé par 100 pour avoir 3 $, ce qui vaut 1 %. Après, j'ai fait 3 $ x 3, ce qui est le total de 9 $. Après, j'ai fait la même chose pour le 1 %.
[Enseignant]
Pour le 1 % ici?
[Étudiante 2]
Oui.
[Enseignant]
D'accord.
[Étudiante 2]
Après, j'ai pris le 30 $ de 10 %, parce que ça, c'est égal à ça. Après, j'ai ajouté le 30 $ plus le 9, ce qui a égalé à 39 $.
[Enseignant]
Excellent. Merci beaucoup pour ta stratégie. Est-ce que tu pourrais présenter la tienne, s'il te plaît?
[Étudiant 1]
Oui. C'est très similaire à l'autre stratégie. J'ai les trois centaines, puis je les ai divisées en 10 %, qui est représenté ici par les trois dizaines, le 30. Après ça, j'ai représenté les trois 1 % par trois unités.
[Enseignant]
Trois groupes d'unités là?
[Étudiant 1]
Oui, trois groupes d'unités de 3, ce qui donne 9, puis j'ai ajouté les deux ensembles pour le tout, 39 $ est égal à 13 %.
[Enseignant]
Excellent. Merci beaucoup. Ce qu'on va faire maintenant...
[Fin de la vidéodescription]
Utilisation de repères
Exemple
Au cours des 10 dernières années, la polyvalente a une diminution de 30 % au niveau des inscriptions d’élèves. Il y avait 800 élèves d’inscrits. Combien d’élèves sont présentement inscrits?
Une diminution amène une soustraction; le nombre d’élèves sera plus bas.
Décomposer le 30 % en utilisant les repères (exemple :
25 % représentent le quart du total, donc diviser
5 % sont la moitié de 10 %, donc
Donc, il y a une diminution de 240 élèves ce qui veut dire qu’il y a maintenant 560 élèves d’inscrits.
Utiliser la valeur de position
Exemple
Un magasin annonce que la moyenne de ses ventes quotidiennes a augmenté de 10 % comparativement à la semaine dernière. La moyenne des ventes était de 1 250 $ la semaine dernière. Quelle est la moyenne des ventes de cette semaine?
Augmentation des ventes, donc la valeur sera plus grande :
- Le montant 1 250 $ représente le 100 % et l’ajout est le 10 %.
- 10 % sont égaux à 0,1.
- Pour calculer l’ajout (10 % de plus) : décomposer le 1 250 (
- 0,1 de 1 000 sont 100 (autre option:
- 0,1 de 100 sont 10 (2 fois).
- 0,1 de 50 (moitié de 100) sont 5.
Le 10 % de plus équivaut à 125 $ donc le montant des ventes est de 1 375 $.
Connaissance : pourcentage
Le pourcentage est une façon particulière de présenter une fraction. Il est souvent employé dans la vie courante. Une
expression numérique comme 30 % (qui se lit « 30 pour cent ») est en réalité une autre notation du
nombre 30 centièmes, soit
Exemple
Image À côté de l’équation trente pourcent égale trente sur cent, il y
a une grille de cent unités où les trois premières rangées de dix carrés sont rouges, et le reste est blanc.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34.
Connaissance : calcul mental
La plupart des calculs effectués au quotidien sont reliés à un calcul mental. Les personnes qui acquièrent de bonnes habiletés de calcul mental ne dépendent pas de l’électronique ou du papier pour effectuer les calculs de la vie courante. Or, il est important de démystifier le calcul mental. « Le calcul mental consiste à effectuer des calculs sans l’aide ou presque d’un crayon et d’un papier, ou d’une calculatrice. Il représente une composante essentielle d’un enseignement efficace. » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2004 a, p. 24) Ainsi, il ne s’agit pas d’utiliser un algorithme dans sa tête, mais de calculer avec souplesse et efficacité.
Selon les situations, on fait appel au calcul mental pour déterminer des résultats approximatifs ou exacts. On estime souvent mentalement lorsque c’est l’ordre de grandeur qui est recherché. Par exemple, pour avoir une idée du coût de la taxe de ses achats, on utilise des nombres plus simples. Il est important aussi de savoir calculer mentalement avec précision (par exemple, un serveur qui doit rendre la monnaie à un client). Plusieurs stratégies de calcul mental sont basées sur la relation entre le tout et ses parties (décomposition et regroupement), sur l’établissement de relations entre les nombres et sur les propriétés des opérations. Souvent, ces stratégies proviennent d’un transfert de modèles utilisés au cours de l’apprentissage des opérations.
Exemple
Arrondir :
1,2 % de 100
1 % de 100 est 1
1,2 % de 100 est un peu plus de 1
Utiliser des repères :
23 % de 400
25 % de 400 est 100
23 % de 400 est un peu moins de 100
Utiliser les valeurs de position :
10 % de 500
10 % = 0,1
0,1 de 500 sont 50
Décomposer les nombres :
50 % de 355
50 % de 300 = 150
50 % de 50 = 25
50 % de 5 = 2,5
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 111-112.