B1.5 Générer des fractions et des nombres décimaux entre deux nombres.
Habileté : générer des fractions et des nombres décimaux entre deux nombres
Relation d’égalité entre un nombre décimal et une fraction correspondante
Les élèves doivent comprendre que puisque la notation décimale n’est qu’une autre façon de représenter une fraction
décimale, il est alors possible d’établir une relation d’égalité entre les 2 notations (par exemple, 0,3 =
Exemple

Pour établir la relation d’égalité entre une fraction dont le dénominateur n’est pas une puissance de 10 (par
exemple,

Elles et ils peuvent ensuite subdiviser les dixièmes en 10 parties égales, créant ainsi 100 parties égales,
soit des centièmes du tout et reconnaître que

Puisque
Note : Certaines fractions (par exemple,
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 46-48.
Relations d’ordre
La relation d’ordre est basée sur la comparaison de nombres. Une des grandes forces de la notation décimale, c’est la
rapidité avec laquelle il est possible, grâce au concept de valeur de position, de comparer et d’ordonner des
quantités. Par exemple, il est beaucoup plus facile de comparer les nombres
En général, les élèves ont peu de mal à comparer des nombres décimaux ayant le même nombre de décimales (par exemple,
La relation d’ordre doit être abordée en comparant des nombres décimaux dans des situations contextualisées. Par
exemple : « Rémi a fait un saut de 3,55 m et Samantha en a effectué un de 3,7 m. Lequel des 2
a réussi le plus long saut? » Les élèves peuvent répondre et justifier leur choix si elles ou s’ils
comprennent la valeur de position. La droite numérique est un modèle visuel puissant pour comparer des nombres
décimaux. Pour placer 3,7 sur une droite numérique, les élèves peuvent représenter les dixièmes de 3,0 à 4,0. Pour
situer 3,55, elles et ils doivent diviser l’intervalle entre 3,5 et 3,6 en 10 parties égales, chaque espace
représentant un centième. Ils peuvent alors conclure que

Les élèves qui ont acquis un bon sens du nombre peuvent aussi comparer 3,55 m et 3,7 m en remarquant d’abord qu’ils représentent 2 sauts supérieurs à 3 m. Ensuite, elles et ils peuvent comparer les dixièmes pour remarquer que le 1er nombre compte 5 dixièmes, soit 5 décimètres, tandis que le 2e en compte 7.

Le 2e saut est donc plus long que le 1er. Les élèves peuvent aussi, après avoir comparé les unités, penser à 3,7 comme étant 3,70, soit 3 mètres et 70 centimètres. Le nombre 3,55 représente 3 mètres et 55 centimètres. Le saut de 3,7 m est donc plus long que le saut de 3,55 m.
Traditionnellement, on enseignait une procédure où il fallait ajouter un 0 à la fin de 3,7 pour donner 2 nombres ayant un même nombre de décimales. Il fallait ensuite comparer les parties décimales, soit 55 et 70, pour conclure que 3,70 était plus grand que 3,55. Certes, l’enseignement de la méthode était accompagné d’une explication, mais on mettait tellement l’accent sur la procédure que l’explication et le concept étaient vite perdus. Il n’est pas surprenant que les jeunes répondent souvent de façon erronée à ce genre de questions. Par exemple, lors d’un test international réalisé auprès d’élèves de 6e année, 87 % ont indiqué que 6 987 est plus grand que 6 879, alors que seulement 52 % ont conclu que 1,05 est plus grand que 1,015 (Brissiaud, 1998). Les élèves qui comprennent le concept de valeur de position n’ont pas besoin d’appliquer une procédure pour comparer des nombres décimaux.
Les problèmes ouverts, qui offrent plus d’une réponse et qui suscitent la réflexion, permettent aux élèves d’approfondir leur compréhension des relations d’ordre. Par exemple :
- Déterminer 3 nombres décimaux situés entre
et . - Déterminer 3 nombres décimaux situés entre 0,5 et 0,6.
- Déterminer 3 nombres situés à moins de 1 dixième de 2,8.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 54-55.
Connaissance : ensemble des nombres décimaux (ⅅ)
L’ensemble des nombres décimaux est formé des nombres qui peuvent être exprimés sous forme décimale avec une
partie décimale finie (par exemple, 3,72; (–5,1); 0; (–7,0); 12,135 64). Cet ensemble inclut tous les entiers,
car ils peuvent être exprimés avec une partie décimale (par exemple,
Il est intéressant de constater que tous les nombres décimaux peuvent être exprimés sous forme de fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
Exemples
Puisque les nombres naturels sont tous des nombres entiers et que les nombres entiers sont tous des nombres décimaux, on peut représenter la relation entre les ensembles de nombres par le diagramme de Venn ci-dessous.

Note : Il n’existe pas d’ensemble de nombres à virgule. L’appellation nombre à virgule signifie simplement que l’expression du nombre contient une virgule. Ainsi, un nombre à virgule peut être un nombre décimal (par exemple, 0,45), un nombre périodique (par exemple, 0,333…) ou un nombre irrationnel (par exemple, 3,141 5…).
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 42.
Connaissance : ensemble des nombres rationnels (ℚ)
L’ensemble des nombres rationnels inclut tous les nombres qui peuvent être exprimés sous forme fractionnaire

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 43.