GEEM - Habiletés et connaissances

B1.3 Lire, représenter, comparer et ordonner des nombres rationnels, y compris des fractions positives et négatives et des nombres décimaux jusqu’aux millièmes, dans divers contextes.

Habileté : lire, représenter, comparer et ordonner des nombres entiers

Le signe positif ou négatif indique si le nombre est supérieur ou inférieur à 0. Ainsi, si le nombre est positif, ce dernier sera placé à la droite du 0 sur une droite numérique horizontale ou par-dessus le 0 sur une droite numérique verticale. Si le nombre est négatif, il sera placé à la gauche du 0 sur une droite numérique horizontale ou sous le 0 sur une droite numérique verticale. Le nombre repère pour les nombres entiers est donc toujours 0.

Un nombre positif est toujours supérieur à un nombre négatif.

Par exemple, 2 > -6.

Une double droite numérique est graduée de moins sept à plus neuf. Les chiffres suivants sont encerclés : moins six, moins deux, plus deux, plus huit.

À l’aide de la droite numérique, il est plus facile de comparer et d’ordonner les nombres entiers puisqu’un nombre ayant plusieurs chiffres ne signifie pas nécessairement qu’il est plus grand (par exemple (-584) est plus petit que 8). En analysant la droite ci-dessus, on peut placer les nombres en ordre croissant ((-6), (-2), 2 et 8) ou en ordre décroissant (8, 2, (-2) et (-6)).

Sur la droite numérique, la valeur absolue d’un nombre est sa distance par rapport à 0. Par exemple, la valeur absolue de (-3) et 3 est 3 puisque 3 unités séparent les 2 nombres de 0.

Source : Réduction des écarts de rendement, 9^eannée, p. 11.

Habileté : lire, représenter, comparer et ordonner des nombres décimaux

La relation d’ordre est basée sur la comparaison de nombres. Une des grandes forces de la notation décimale, c’est la rapidité avec laquelle il est possible, grâce au concept de valeur de position, de comparer et d’ordonner des quantités. Par exemple, il est beaucoup plus facile de comparer les nombres $\frac{1}{8}$ et $\frac{3}{40}$ lorsqu’ils sont exprimés en notation décimale, soit $0, 125$ et $0, 075$ .

En général, les élèves ont peu de mal à comparer des nombres décimaux ayant le même nombre de décimales (par exemple, $0, 341 < 0, 462$ ). Ils ont plus de difficulté à comparer des nombres ayant un nombre différent de décimales (par exemple, 1,34 et 1,275). Certains ont tendance à comparer ces nombres sans la virgule (par exemple, $134 < 1275$ ) et conclure que $1, 34 < 1, 275$ . D’autres arrivent à la même conclusion erronée en comparant seulement les nombres à droite de la virgule (par exemple, $34 < 275$ ). Ainsi, un nombre qui comporte plus de chiffres n’est pas nécessairement plus grand.

La relation d’ordre doit être abordée en comparant des nombres décimaux dans des situations contextualisées. Par exemple : « Rémi a fait un saut de 3,55 m et Samantha en a effectué un de 3,7 m. Lequel des 2 a réussi le plus long saut? » Les élèves peuvent répondre et justifier leur choix si elles ou s’ils comprennent la valeur de position. La droite numérique est un modèle visuel puissant pour comparer des nombres décimaux. Pour placer 3,7 sur une droite numérique, les élèves peuvent représenter les dixièmes de 3,0 à 4,0. Pour situer 3,55, elles et ils doivent diviser l’intervalle entre 3,5 et 3,6 en 10 parties égales, chaque espace représentant un centième. Elles et ils peuvent alors conclure que $3, 55 < 3, 7$ , donc que Samantha a effectué un plus long saut que Rémi.

Les élèves qui ont acquis un bon sens du nombre peuvent aussi comparer 3,55 m et 3,7 m en remarquant d’abord qu’ils représentent 2 sauts supérieurs à 3 m. Ensuite, ils peuvent comparer les dixièmes pour remarquer que le 1^er nombre compte 5 dixièmes, soit 5 décimètres, tandis que le 2^e en compte 7.

Deux chiffres sont écrits l’un sous l’autre : trois virgule 55 et 3 virgule sept. Une flèche double sens de haut en bas relie les trois, et une flèche double sens de haut en bas relie les décimales.

Le 2^e saut est donc plus long que le 1^er. Les élèves peuvent aussi, après avoir comparé les unités, penser à 3,7 comme étant 3,70, soit 3 mètres et 70 centimètres. Le nombre 3,55 représente 3 mètres et 55 centimètres. Le saut de 3,7 m est donc plus long que le saut de 3,55 m.

Traditionnellement, on enseignait une procédure où il fallait ajouter un 0 à la fin de 3,7 pour donner 2 nombres ayant un même nombre de décimales. Il fallait ensuite comparer les parties décimales, soit 55 et 70, pour conclure que 3,70 était plus grand que 3,55. Certes, l’enseignement de la méthode était accompagné d’une explication, mais on mettait tellement l’accent sur la procédure que l’explication et le concept étaient vite perdus. Il n’est pas surprenant que les jeunes répondent souvent de façon erronée à ce genre de questions. Par exemple, lors d’un test international réalisé auprès d’élèves de 6^e année, 87 % ont indiqué que 6 987 est plus grand que 6 879, alors que seulement 52 % ont conclu que 1,05 est plus grand que 1,015 (Brissiaud, 1998). Les élèves qui comprennent le concept de valeur de position n’ont pas besoin d’appliquer une procédure pour comparer des nombres décimaux.

Les problèmes ouverts, qui offrent plus d’une réponse et qui suscitent la réflexion, permettent aux élèves d’approfondir leur compréhension des relations d’ordre. Par exemple :

Déterminer 3 nombres décimaux situés entre $\frac{3}{40}$ et $\frac{1}{8}$ .
Déterminer 3 nombres décimaux situés entre 0,555 et 0,623.
Déterminer 3 nombres situés à un millième de 2,869.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 54-55.

Habileté : lire, représenter, comparer et ordonner des fractions

Relations d’ordre

Il est important que les élèves apprennent à ordonner des fractions en les comparant. L’habileté à ordonner et l’habileté à comparer doivent reposer sur les représentations des fractions que les élèves ont construites. Elles doivent découler de situations de résolution de problèmes qui permettent aux élèves de développer un sens de la valeur d’une fraction. C’est ce sens de la fraction qui permet aux élèves de comparer 2 fractions et de conclure qu’une est plus grande que l’autre. Par opposition, l’enseignement qui se fait hors contexte tend à favoriser un apprentissage d’algorithmes qui néglige le sens de la fraction.

Les élèves du cycle moyen ont déjà des idées bien ancrées en ce qui a trait aux propriétés des nombres naturels. Or, lorsqu’elles et ils commencent à travailler avec des fractions, les élèves font souvent face à un déséquilibre cognitif, c’est-à-dire une impression que ce qui était vrai ne l’est plus. Par exemple, elles et ils ont appris qu’en présence de 2 nombres naturels, le plus grand nombre indique une quantité plus grande. Elles et ils tentent de transférer leurs connaissances et leurs compétences aux fractions. Ainsi, en voulant comparer $\frac{1}{6}$ et $\frac{1}{3}$ , certaines et certains élèves croient que $\frac{1}{6}$ est plus grand que $\frac{1}{3}$ , puisque 6 est plus grand que 3. Elles et ils se sentent en déséquilibre si elles ou s’ils se font dire avoir tort. Pour éviter de telles situations, l’apprentissage doit reposer sur un regard analytique de la fraction plutôt que sur un automatisme ou un algorithme.

Avec l’introduction de fractions négatives, la comparaison peut aussi créer un déséquilibre. Par exemple, en voulant comparer $\frac{1}{6}$ et $- \frac{1}{3}$ , l’élève pourrait dire que $\frac{1}{6}$ est plus petit puisque les sixièmes sont plus petits que les tiers. Toutefois, la compréhension des nombres entiers permettra de reconnaître que tout nombre négatif est plus petit qu’un nombre positif. Ici, $- \frac{1}{3}$ est alors plus petit que $\frac{1}{6}$ .

Les activités qui amènent les élèves à comparer et à ordonner les fractions doivent favoriser la construction du sens de la fraction. Pour comparer des fractions, il est rarement nécessaire de chercher un dénominateur commun. Ainsi, il existe de nombreuses stratégies qui permettent de comparer des fractions. Généralement, la 1^re stratégie apprise consiste en l’utilisation d’une représentation concrète ou semi-concrète des fractions en jeu. On peut recourir à cette stratégie, peu importe l’occasion. On peut aussi comparer les numérateurs si les dénominateurs sont identiques, ou comparer les dénominateurs si les numérateurs sont identiques. L’utilisation de fractions repères est une autre stratégie efficace.

Il est important de travailler à fond la comparaison des fractions avant l’équivalence des fractions. En effet, celle-ci est très complexe et la comparaison sert d’élément catalyseur à la compréhension des fractions équivalentes.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 44-45.

Habileté : comparer des nombres exprimés sous différentes formes

Les élèves du cycle moyen doivent comprendre les relations entre diverses notations d’une quantité, par exemple, les liens qui unissent des nombres décimaux équivalents et des fractions équivalentes. Elles et ils doivent reconnaître qu’un nombre décimal est une fraction ou un nombre fractionnaire dont le dénominateur est un multiple de 10 (10, 100, 1 000, 10 000, etc.). Par exemple, le nombre 0,5 (dit « 5 dixièmes ») est équivalent à la fraction $\frac{5}{10}$ et le nombre 2,63 (dit « 2 et 63 centièmes ») est équivalent au nombre fractionnaire $2 \frac{63}{100}$ . Des modèles tels que les grilles de $10 \times 10$ permettent aux élèves de visualiser les liens entre la fraction correspondante et le nombre décimal correspondant.

Exemple

Lorsque les élèves maîtrisent bien cette relation, ils sont en mesure d’identifier des fractions et des nombres décimaux équivalents et de choisir la forme la plus propice au contexte. Par exemple, un marchand doit commander la quantité exacte de farine pour répondre à la demande de ses clients. Le 1^er client nécessite 12,5 kg de farine, le 2^e $11 \frac{3}{4}$ kg, le 3^e $\frac{15}{10}$ kg et le 4^e $5 \frac{3}{6}$ kg. L’élève qui maîtrise la relation pourrait décider de convertir les fractions en nombres décimaux afin de simplifier le calcul. Donc, $11 \frac{3}{4}$ kg est l’équivalent de 11,75 kg, $\frac{15}{10}$ kg est l’équivalent de 1,5 kg et $5 \frac{3}{6}$ kg est l’équivalent de 5,5 kg. Encore une fois, il importe de mettre l’accent sur l’utilisation de modèles pour bien voir les relations entre les fractions et les nombres décimaux plutôt que sur l’apprentissage formel d’une procédure pour effectuer la conversion d’une forme en une autre.

Les interventions pédagogiques doivent viser le développement, chez les élèves, d’une plus grande polyvalence avec les nombres. Pour ce faire, le personnel enseignant doit présenter des situations d’apprentissage qui mettent en jeu divers nombres et doit mettre l’accent sur les diverses façons d’écrire ces nombres, tout en faisant réfléchir sur les avantages d’une notation par rapport à une autre. Cette façon de procéder permet aux élèves de développer leur sens du nombre et leur expertise à utiliser les nombres. Il est alors souhaitable que les élèves aient l’occasion de mettre en relation des nombres présentés sous diverses formes, soit des nombres fractionnaires, des nombres décimaux, des fractions positives et négatives, etc.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 55-56.

Des modèles, particulièrement s’ils sont proportionnels comme la droite numérique, peuvent permettre d’ordonner des nombres, en révéler l’ordre de grandeur et faire ressortir les équivalences entre les nombres rationnels.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Connaissance : ensemble des nombres rationnels (ℚ)

L’ensemble des nombres rationnels inclut tous les nombres qui peuvent être exprimés sous forme fractionnaire $\frac{a}{b}$ . Il inclut les nombres naturels, les nombres entiers et les nombres décimaux, ainsi que les nombres dont l’expression décimale est infinie et périodique (par exemple, $\frac{1}{3} = 0, 333 33. . . = 0, \overset{}{\overset{―}{3}}$ ; $\frac{5}{11} = 0, 454 545. . . = 0, \overset{―}{45}$ ; $- \frac{421}{198} = 2, 126 126 6. . . = 2, \overset{―}{126}$ ). On peut représenter la relation entre les ensembles de nombres par le diagramme de Venn ci-dessous.

Ensemble des nombres décimaux ( $D$ )

Ensemble des nombres entiers (ℤ)

Ensemble des nombres naturels (ℕ)

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 41-43.