B2.9 Multiplier des nombres naturels par des fractions propres, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés.

Habileté : multiplier des nombres naturels par des fractions propres, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés


Au cycle moyen, les élèves ont déjà un bagage de connaissances sur la multiplication. En effet, depuis le cycle primaire, ils explorent des concepts reliés à la multiplication à l’aide de matériel concret, de la calculatrice, d’illustrations et de symboles. En 4e année, la multiplication de fractions est limitée à la multiplication d’un nombre naturel par une fraction unitaire. Ce type de multiplication peut être compris en le reliant à l’addition répétée. Ainsi, les élèves saisissent facilement que 3×12, qu’on peut lire « 3 fois un demi », est une multiplication qui peut être représentée par l’addition répétée, soit 12+12+12. Elles doivent être explorées pour aider les élèves à comprendre la multiplication des fractions.

Dans cette vidéo, deux élèves présentent comment ils ont effectué la multiplication d’un nombre naturel par une fraction propre à l’aide de l’addition répétée.

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[Vidéodescription]

Dans une salle de classe, une enseignante est assise à une table avec deux étudiantes. La table contient des tasses à mesurer et un pichet rempli d'un liquide jaunâtre.

[Enseignante]

Quel problème avez-vous choisi de résoudre?

[Étudiante 1]

On a choisi le problème des biscuits.

[Enseignante]

Comment avez-vous décidé de le résoudre? Expliquez-moi votre stratégie.

[Étudiante 2]

Pour résoudre le problème, on fait 6 x 3/4 d’une tasse en faisant l’addition répétée. On utilise la tasse de mesure et l’eau colorée.

[Enseignante]

Puis, qu’est-ce qui représente le tout dans votre démarche?

[Étudiante 2]

C’est la tasse.

[Enseignante]

Avant de débuter votre démonstration, pouvez-vous estimer les réponses?

[Étudiante 1]

Oui. 3/4 est plus petit que 1, alors 6 x 3/4, ça va être plus petit que 6.

[Étudiante 2]

On fait cette étape une première fois.

[Vidéodescription]

L'élève verse du liquide jaune dans une petite tasse à mesurer, qu'elle verse ensutie dans une plus grande tasse.

[Étudiante 2]

Maintenant, on a 3/4. On refait cette étape une deuxième fois.

[Vidéodescription]

À nouveau, l'élève verse du liquide jaune dans une petite tasse à mesurer, qu'elle verse ensutie dans une plus grande tasse.

[Étudiante 2]

Maintenant, on a une tasse et demie. On refait cette étape une troisième fois.

Maintenant, on a deux tasses et 1/4.

[Étudiante 1]

On refait cette étape une quatrième fois.

[Vidéodescription]

L'équipière exécute l'exercice à son tour.

[Étudiante 1]

Maintenant, nous avons trois tasses. On refait cette étape une cinquième fois.

Nous avons maintenant trois tasses et 3/4. On refait cette étape une sixième fois.

Maintenant, nous avons quatre tasses et 1/2, donc 6 x 3/4 ça va nous donner 4 tasses et demie. Samy a donc besoin de 4 tasses et demie de mélasse pour faire sa recette de biscuits.

[Enseignante]

Puis, est-ce que cette réponse est semblable à votre estimation du début?

[Étudiante 2]

Oui. Au début, on estime plus petit que 6, et 4 tasses et demie est plus petit que 6.

[Enseignante]

Bravo, votre stratégie est très efficace pour résoudre ce problème.

[Fin de la vidéodescription]

Cependant, il est plus difficile de donner un sens à la multiplication d’une fraction à un nombre naturel (par exemple, 12×3). Ces situations sont explorées à partir de la 5e année. Il existe un lien entre le concept de multiplication par une fraction et celui de fraction d’un ensemble. La fraction d’un ensemble est un concept relié au concept de fraction. Par exemple, en 2e année, les élèves apprennent le sens de 12, 14 et 13 d’un groupe jusqu'à 10 objets. Plus tard, ils consolident leur compréhension du concept de fraction d’un ensemble en l’appliquant à d’autres fractions. En 6e année, en examinant le concept de multiplication d’un nombre naturel par une fraction propre, ils apprendront que la fraction d’un ensemble (23 de 6) est reliée à la multiplication et que cette situation peut être représentée par une multiplication (23×6). Il faut un bon degré d’abstraction pour accepter qu’une situation comme 12 de 12 soit considérée comme une multiplication.

Les mathématiciens et les mathématiciennes ont décidé qu’il s’agissait d’une multiplication en procédant à peu près comme suit :

  • on peut considérer 4×6 comme 4 groupes de 6;
  • on peut considérer 2×8 comme 2 groupes de 8.

On ne rencontre aucune difficulté à étendre ce constat à des nombres fractionnaires supérieurs à 2 :

  • on peut considérer 412×6 comme 4 groupes et demi de 6;
  • on peut considérer 213×12 comme 2 groupes et un tiers de 12.

On généralise cette situation (ce qui implique une abstraction, puisque le groupe n’est pas « multiplié » comme tel) en ajoutant que :

  • on veut considérer 112×6 comme un groupe et demi de 6;
  • on veut considérer 12×6 comme un demi-groupe de 6.

Ainsi, c’est à la suite d’une interprétation de l’opération que 12 de 6 est considéré comme une multiplication de 12 et de 6.

Exemple

Dans une salle de classe de 6e année, 12 des élèves portent une tuque. S’il y a 24 élèves dans la salle de classe, combien d’élèves portent une tuque?

Source : adapté de Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Édition révisée, Numération et sens du nombre, 6e année, Module 2, Série 2, p. 281.

  • Multiplication effectuée à l’aide d’une droite numérique double

Pour trouver 12 de 24, je divise 24 par 2, ce qui me donne 12.

Je représente les 24 élèves sous la droite et la moitié de 24 sur le haut de la droite.

Image Une droite numérique est graduée de zéro à 26 par marques d’intervalles de deux. Au-dessus, une flèche relie zéro à douze en indiquant « douze élèves », et en dessous, une flèche relie zéro à 24 en indiquant « 24 élèves ».

Il y a 12 élèves qui portent une tuque.

  • Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire

Je décompose 24 en 20+4. Je détermine la moitié de 20 et la moitié de 4, 10+2=12.

Image Un rectangle est traversé par une ligne verticale entre le centre et l’extrême droit. Au-dessus du rectangle, il est écrit le nombre 20 à gauche de la ligne verticale, et le chiffre quatre à droite de la ligne verticale. À l’intérieur du rectangle, il est écrit dix à gauche de la ligne verticale et deux à droite de la ligne. À gauche du rectangle, il est écrit un demi.

10+2=12

Il y a 12 élèves qui portent une tuque.

En 6e année, en s’attardant aux concepts et à une mise en contexte, il est plus pertinent d’approfondir le sens de la fraction d’un ensemble en effectuant un calcul (par exemple, 23 de 9) que de s’orienter vers la multiplication d’un nombre naturel par une fraction (23×9).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 78-79.

Exemple

Dans un champ de forme rectangulaire dont l’aire est de 100 m2, M. Longpré a semé des concombres sur 25 de cette surface. Quelle est l’aire du champ, en m2, consacrée à la culture des concombres?

Source : adapté de Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Édition révisée, Numération et sens du nombre, 6e année, Module 2, Série 2, p. 309.

  • Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire

J’ai décomposé 100 en 25+25+25+25. J’ai aussi décomposé 25 en 15+15. Je sais que 15 de 25 est 5 puisque 5×5=25.

J’ai additionné les produits partiels pour arriver à 40.

Image Un rectangle est divisé en huit parts égales, soit deux rangées de quatre parts, lesquelles possèdent chacune le chiffre cinq. Au-dessus de chaque colonne il est écrit 25, et à gauche de chaque rangée, il est écrit un cinquième. Sous le rectangle, il est écrit : dix plus dix plus dix plus dix égale 40.

L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m2.

  • Multiplication effectuée à l’aide d’un algorithme personnel

J’ai décomposé 25 en 2×15.


À l’aide de l’associativité, j’ai multiplié 15×2×100.


J’ai multiplié 15×200.


Multiplier par 15 est la même chose que diviser par 5.


J’obtiens 40.

25×100=2×15×100=15×2×100=15×200=200÷5=40

L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m2.

Connaissance : fraction propre


Fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur.

Exemples

23, 1115, 53123