B2.9 Multiplier des nombres naturels par des fractions propres, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés.
Habileté : multiplier des nombres naturels par des fractions propres, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés
Au cycle moyen, les élèves ont déjà un bagage de connaissances sur la multiplication. En effet, depuis le cycle primaire, ils explorent des concepts reliés à la multiplication à l’aide de matériel concret, de la calculatrice, d’illustrations et de symboles. En 4e année, la multiplication de fractions est limitée à la multiplication d’un nombre naturel par une fraction unitaire. Ce type de multiplication peut être compris en le reliant à l’addition répétée. Ainsi, les élèves saisissent facilement que
Dans cette vidéo, deux élèves présentent comment ils ont effectué la multiplication d’un nombre naturel par une fraction propre à l’aide de l’addition répétée.
Description de la vidéo
[Vidéodescription]
Dans une salle de classe, une enseignante est assise à une table avec deux étudiantes. La table contient des tasses à mesurer et un pichet rempli d'un liquide jaunâtre.
[Enseignante]
Quel problème avez-vous choisi de résoudre?
[Étudiante 1]
On a choisi le problème des biscuits.
[Enseignante]
Comment avez-vous décidé de le résoudre? Expliquez-moi votre stratégie.
[Étudiante 2]
Pour résoudre le problème, on fait 6 x 3/4 d’une tasse en faisant l’addition répétée. On utilise la tasse de mesure et l’eau colorée.
[Enseignante]
Puis, qu’est-ce qui représente le tout dans votre démarche?
[Étudiante 2]
C’est la tasse.
[Enseignante]
Avant de débuter votre démonstration, pouvez-vous estimer les réponses?
[Étudiante 1]
Oui. 3/4 est plus petit que 1, alors 6 x 3/4, ça va être plus petit que 6.
[Étudiante 2]
On fait cette étape une première fois.
[Vidéodescription]
L'élève verse du liquide jaune dans une petite tasse à mesurer, qu'elle verse ensutie dans une plus grande tasse.
[Étudiante 2]
Maintenant, on a 3/4. On refait cette étape une deuxième fois.
[Vidéodescription]
À nouveau, l'élève verse du liquide jaune dans une petite tasse à mesurer, qu'elle verse ensutie dans une plus grande tasse.
[Étudiante 2]
Maintenant, on a une tasse et demie. On refait cette étape une troisième fois.
Maintenant, on a deux tasses et 1/4.
[Étudiante 1]
On refait cette étape une quatrième fois.
[Vidéodescription]
L'équipière exécute l'exercice à son tour.
[Étudiante 1]
Maintenant, nous avons trois tasses. On refait cette étape une cinquième fois.
Nous avons maintenant trois tasses et 3/4. On refait cette étape une sixième fois.
Maintenant, nous avons quatre tasses et 1/2, donc 6 x 3/4 ça va nous donner 4 tasses et demie. Samy a donc besoin de 4 tasses et demie de mélasse pour faire sa recette de biscuits.
[Enseignante]
Puis, est-ce que cette réponse est semblable à votre estimation du début?
[Étudiante 2]
Oui. Au début, on estime plus petit que 6, et 4 tasses et demie est plus petit que 6.
[Enseignante]
Bravo, votre stratégie est très efficace pour résoudre ce problème.
[Fin de la vidéodescription]
Cependant, il est plus difficile de donner un sens à la multiplication d’une fraction à un nombre naturel (par exemple,
Les mathématiciens et les mathématiciennes ont décidé qu’il s’agissait d’une multiplication en procédant à peu près comme suit :
- on peut considérer
comme 4 groupes de 6; - on peut considérer
comme 2 groupes de 8.
On ne rencontre aucune difficulté à étendre ce constat à des nombres fractionnaires supérieurs à 2 :
- on peut considérer
comme 4 groupes et demi de 6; - on peut considérer
comme 2 groupes et un tiers de 12.
On généralise cette situation (ce qui implique une abstraction, puisque le groupe n’est pas « multiplié » comme tel) en ajoutant que :
- on veut considérer
comme un groupe et demi de 6; - on veut considérer
comme un demi-groupe de 6.
Ainsi, c’est à la suite d’une interprétation de l’opération que
Exemple
Dans une salle de classe de 6e année,
Source : adapté de Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Édition révisée, Numération et sens du nombre, 6e année, Module 2, Série 2, p. 281.
- Multiplication effectuée à l’aide d’une droite numérique double
Pour trouver
Je représente les 24 élèves sous la droite et la moitié de 24 sur le haut de la droite.

Il y a 12 élèves qui portent une tuque.
- Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire
Je décompose 24 en

Il y a 12 élèves qui portent une tuque.
En 6e année, en s’attardant aux concepts et à une mise en contexte, il est plus pertinent d’approfondir le sens de la fraction d’un ensemble en effectuant un calcul (par exemple,
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 78-79.
Exemple
Dans un champ de forme rectangulaire dont l’aire est de 100 m2, M. Longpré a semé des concombres sur
Source : adapté de Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Édition révisée, Numération et sens du nombre, 6e année, Module 2, Série 2, p. 309.
- Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire
J’ai décomposé 100 en
J’ai additionné les produits partiels pour arriver à 40.

L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m2.
- Multiplication effectuée à l’aide d’un algorithme personnel
J’ai décomposé
À l’aide de l’associativité, j’ai multiplié
J’ai multiplié
Multiplier par
J’obtiens 40.
L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m2.
Connaissance : fraction propre
Fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur.
Exemples