GEEM - Habiletés et connaissances

B2.9 Multiplier des nombres naturels par des fractions propres, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés.

Habileté : multiplier des nombres naturels par des fractions propres, à l’aide d’outils et de stratégies appropriés

Au cycle moyen, les élèves ont déjà un bagage de connaissances sur la multiplication. En effet, depuis le cycle primaire, ils explorent des concepts reliés à la multiplication à l’aide de matériel concret, de la calculatrice, d’illustrations et de symboles. En 4^e année, la multiplication de fractions est limitée à la multiplication d’un nombre naturel par une fraction unitaire. Ce type de multiplication peut être compris en le reliant à l’addition répétée. Ainsi, les élèves saisissent facilement que $3 \times \frac{1}{2}$ , qu’on peut lire « 3 fois un demi », est une multiplication qui peut être représentée par l’addition répétée, soit $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ . Elles doivent être explorées pour aider les élèves à comprendre la multiplication des fractions.

Dans cette vidéo, deux élèves présentent comment ils ont effectué la multiplication d’un nombre naturel par une fraction propre à l’aide de l’addition répétée.

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Description de la vidéo

[Vidéodescription]

Dans une salle de classe, une enseignante est assise à une table avec deux étudiantes. La table contient des tasses à mesurer et un pichet rempli d'un liquide jaunâtre.

[Enseignante]

Quel problème avez-vous choisi de résoudre?

[Étudiante 1]

On a choisi le problème des biscuits.

[Enseignante]

Comment avez-vous décidé de le résoudre? Expliquez-moi votre stratégie.

[Étudiante 2]

Pour résoudre le problème, on fait 6 x 3/4 d’une tasse en faisant l’addition répétée. On utilise la tasse de mesure et l’eau colorée.

[Enseignante]

Puis, qu’est-ce qui représente le tout dans votre démarche?

[Étudiante 2]

C’est la tasse.

[Enseignante]

Avant de débuter votre démonstration, pouvez-vous estimer les réponses?

[Étudiante 1]

Oui. 3/4 est plus petit que 1, alors 6 x 3/4, ça va être plus petit que 6.

[Étudiante 2]

On fait cette étape une première fois.

[Vidéodescription]

L'élève verse du liquide jaune dans une petite tasse à mesurer, qu'elle verse ensutie dans une plus grande tasse.

[Étudiante 2]

Maintenant, on a 3/4. On refait cette étape une deuxième fois.

[Vidéodescription]

À nouveau, l'élève verse du liquide jaune dans une petite tasse à mesurer, qu'elle verse ensutie dans une plus grande tasse.

[Étudiante 2]

Maintenant, on a une tasse et demie. On refait cette étape une troisième fois.

Maintenant, on a deux tasses et 1/4.

[Étudiante 1]

On refait cette étape une quatrième fois.

[Vidéodescription]

L'équipière exécute l'exercice à son tour.

[Étudiante 1]

Maintenant, nous avons trois tasses. On refait cette étape une cinquième fois.

Nous avons maintenant trois tasses et 3/4. On refait cette étape une sixième fois.

Maintenant, nous avons quatre tasses et 1/2, donc 6 x 3/4 ça va nous donner 4 tasses et demie. Samy a donc besoin de 4 tasses et demie de mélasse pour faire sa recette de biscuits.

[Enseignante]

Puis, est-ce que cette réponse est semblable à votre estimation du début?

[Étudiante 2]

Oui. Au début, on estime plus petit que 6, et 4 tasses et demie est plus petit que 6.

[Enseignante]

Bravo, votre stratégie est très efficace pour résoudre ce problème.

[Fin de la vidéodescription]

Cependant, il est plus difficile de donner un sens à la multiplication d’une fraction à un nombre naturel (par exemple, $\frac{1}{2} \times 3$ ). Ces situations sont explorées à partir de la 5^e année. Il existe un lien entre le concept de multiplication par une fraction et celui de fraction d’un ensemble. La fraction d’un ensemble est un concept relié au concept de fraction. Par exemple, en 2^e année, les élèves apprennent le sens de $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{4}$ et $\frac{1}{3}$ d’un groupe jusqu'à 10 objets. Plus tard, ils consolident leur compréhension du concept de fraction d’un ensemble en l’appliquant à d’autres fractions. En 6^e année, en examinant le concept de multiplication d’un nombre naturel par une fraction propre, ils apprendront que la fraction d’un ensemble ( $\frac{2}{3}$ de 6) est reliée à la multiplication et que cette situation peut être représentée par une multiplication ( $\frac{2}{3} \times 6$ ). Il faut un bon degré d’abstraction pour accepter qu’une situation comme $\frac{1}{2}$ de 12 soit considérée comme une multiplication.

Les mathématiciens et les mathématiciennes ont décidé qu’il s’agissait d’une multiplication en procédant à peu près comme suit :

on peut considérer $4 \times 6$ comme 4 groupes de 6;
on peut considérer $2 \times 8$ comme 2 groupes de 8.

On ne rencontre aucune difficulté à étendre ce constat à des nombres fractionnaires supérieurs à 2 :

on peut considérer $4 \frac{1}{2} \times 6$ comme 4 groupes et demi de 6;
on peut considérer $2 \frac{1}{3} \times 12$ comme 2 groupes et un tiers de 12.

On généralise cette situation (ce qui implique une abstraction, puisque le groupe n’est pas « multiplié » comme tel) en ajoutant que :

on veut considérer $1 \frac{1}{2} \times 6$ comme un groupe et demi de 6;
on veut considérer $\frac{1}{2} \times 6$ comme un demi-groupe de 6.

Ainsi, c’est à la suite d’une interprétation de l’opération que $\frac{1}{2}$ de 6 est considéré comme une multiplication de $\frac{1}{2}$ et de 6.

Exemple

Dans une salle de classe de 6^e année, $\frac{1}{2}$ des élèves portent une tuque. S’il y a 24 élèves dans la salle de classe, combien d’élèves portent une tuque?

Source : adapté de Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Édition révisée, Numération et sens du nombre, 6^e année, Module 2, Série 2, p. 281.

Multiplication effectuée à l’aide d’une droite numérique double

Pour trouver $\frac{1}{2}$ de 24, je divise 24 par 2, ce qui me donne 12.

Je représente les 24 élèves sous la droite et la moitié de 24 sur le haut de la droite.

Il y a 12 élèves qui portent une tuque.

Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire

Je décompose 24 en $20 + 4$ . Je détermine la moitié de 20 et la moitié de 4, $10 + 2 = 12$ .

$10 + 2 = 12$

Il y a 12 élèves qui portent une tuque.

En 6^e année, en s’attardant aux concepts et à une mise en contexte, il est plus pertinent d’approfondir le sens de la fraction d’un ensemble en effectuant un calcul (par exemple, $\frac{2}{3}$ de 9) que de s’orienter vers la multiplication d’un nombre naturel par une fraction ( $\frac{2}{3} \times 9$ ).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 78-79.

Exemple

Dans un champ de forme rectangulaire dont l’aire est de 100 m², M. Longpré a semé des concombres sur $\frac{2}{5}$ de cette surface. Quelle est l’aire du champ, en m², consacrée à la culture des concombres?

Source : adapté de Les mathématiques... un peu, beaucoup, à la folie!, Guide pédagogique, Édition révisée, Numération et sens du nombre, 6^e année, Module 2, Série 2, p. 309.

Multiplication effectuée à l’aide de la disposition rectangulaire

J’ai décomposé 100 en $25 + 25 + 25 + 25$ . J’ai aussi décomposé $\frac{2}{5}$ en $\frac{1}{5} + \frac{1}{5}$ . Je sais que $\frac{1}{5}$ de 25 est 5 puisque $5 \times 5 = 25$ .

J’ai additionné les produits partiels pour arriver à 40.

L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m².

Multiplication effectuée à l’aide d’un algorithme personnel

J’ai décomposé $\frac{2}{5}$ en $2 \times \frac{1}{5}$ .

À l’aide de l’associativité, j’ai multiplié $\frac{1}{5} \times 2 \times 100$ .

J’ai multiplié $\frac{1}{5} \times 200$ .

Multiplier par $\frac{1}{5}$ est la même chose que diviser par 5.

J’obtiens 40.

$\begin{aligned} \frac{2}{5} \times 100 = 2 \times \frac{1}{5} \times 100 & = \frac{1}{5} \times 2 \times 100 \\ = \frac{1}{5} \times 200 \\ = 200 \div 5 \\ = 40 \end{aligned}$

L’aire du champ consacrée à la culture des concombres est 40 m².

Connaissance : fraction propre

Fraction dont le numérateur est plus petit que le dénominateur.

Exemples

$\frac{2}{3}$ , $\frac{11}{15}$ , $\frac{53}{123}$