GEEM - Habiletés et connaissances

B2.3 Utiliser des stratégies de calcul mental pour calculer des pourcentages de 1 %, 5 %, 10 %, 15 %, 25 % et 50 % de nombres naturels, et expliquer les stratégies utilisées.

Habileté : utiliser des stratégies de calcul mental pour calculer des pourcentages de 1 %, 5 %, 10 %, 15 %, 25 % et 50 % de nombres naturels

Représentation mentale

Les élèves doivent être capables de se créer une représentation mentale d’un pourcentage, comme elles et ils le font pour les nombres décimaux. La nature même du pourcentage leur permet de visualiser plus facilement une quantité, car il s’agit toujours d’un rapport avec 100. Il faut aussi bien comprendre qu’un pourcentage est une autre façon de représenter une quantité.

Exemple

Une grille de cent unités présente 12 unités violettes et le reste en blanc. Sous la grille, il est écrit : 12 pourcent égale zéro virgule douze égale 12 sur cent.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 37.

Relation d’égalité entre un nombre décimal, la fraction décimale correspondante et le pourcentage

On sait qu’un nombre décimal représente une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (par exemple, $0, 3 = \frac{3}{10}$ ; $0, 47 = \frac{47}{100}$ ). Le concept de pourcentage étant intimement lié au concept de fraction, il n’y a qu’un pas à faire pour relier le pourcentage, le nombre décimal et la fraction décimale. Au cycle moyen, les élèves qui ont acquis un bon sens du nombre peuvent passer d’une notation à une autre sans difficulté.

Exemple

Nombres disposés en forme de triangle. En haut, 15 pourcent, en bas à gauche, zéro virgule 15, et en bas à droite, 15 sur cent. Ils sont tous reliés entre eux par des flèches à double sens.

Pour aider les élèves à développer cette habileté, il faut régulièrement les inviter à exprimer leurs réponses en utilisant une autre notation. Par exemple, le personnel enseignant peut inciter l’élève qui a répondu que le $\frac{3}{4}$ des jeunes de la classe ont les cheveux noirs à exprimer aussi cette réponse en notation décimale (0,75) et en pourcentage (75 %).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 50-51.

Repères

Les représentations mentales utilisées par les élèves sont renforcées par l’utilisation de repères. De façon générale, un repère est un élément de référence. Les repères utilisés pour l’étude des nombres décimaux et des pourcentages ressemblent à ceux employés pour l’étude des fractions. En créant des liens entre les nombres décimaux, les pourcentages et les repères fractionnaires, les élèves approfondissent leur sens du nombre.

Le tableau ci-après présente quelques repères qui devraient faire partie du bagage des élèves.

Repères pour les fractions, les pourcentages et les nombres décimaux

Fraction	Pourcentage	Nombre décimal
$\frac{1}{100}$	1 %	0,01
$\frac{1}{20}$	5 %	0,05
$\frac{1}{10}$	10 %	0,1
$\frac{15}{100}$	15 %	0,15
$\frac{1}{4}$	25 %	0,25
$\frac{1}{2}$	50 %	0,5
1	100 %	1,00

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 38-39.

Relations de proportionnalité

L’étude des nombres décimaux et des pourcentages fournit une excellente occasion d’aborder les relations de proportionnalité. Dès qu’un résultat est exprimé en pourcentage, il peut être réécrit sous forme de fraction décimale et être ensuite représenté par une fraction équivalente.

Au cycle moyen, les élèves apprennent le concept de proportions (par exemple, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ ). Il s’agit de mettre en valeur la connaissance et la compréhension qu’ont les élèves des fractions équivalentes. Les élèves qui ont assimilé le concept de fractions équivalentes peuvent utiliser les relations multiplicatives pour résoudre des problèmes comportant des proportions quand la réponse recherchée est un nombre naturel (par exemple, $\frac{2}{10} = \frac{?}{40}$ ).

Les relations de proportionnalité permettent de résoudre une multitude de problèmes tirés du quotidien en ayant recours à un raisonnement simple à la portée des élèves du cycle moyen. Par exemple, si 15 % des 500 élèves d’une école aiment le couscous, il est possible de déterminer, de diverses façons, qu’il y a 75 élèves qui aiment le couscous. Voici quelques exemples.

Exemple 1

Créer une représentation semi-concrète.

Je détermine tout d’abord 15 % de 100. Je sais que pour chaque tranche de 100 élèves, il y a 15 élèves qui aiment le couscous. Alors, je multiplie ce nombre par 5 pour obtenir le nombre d’élèves parmi 500 qui aiment le couscous.

Cinq grilles de cent unités alignées côte à côte possèdent 15 carrés violets et le reste en blanc. En dessous, il est écrit : 15 fois cinq égale 75.

Exemple 2

Construire une table de valeurs.

Je détermine tout d’abord 15 % de 100. Je sais que pour chaque tranche de 100 élèves, il y a 15 élèves qui aiment le couscous. Je poursuis mes calculs pour 200, 300, 400 et enfin 500 élèves.

Nombre de personnes dans l’école	Nombre de personnes aimant le couscous
100	15
200	30
300	45
400	60
500	75

Exemple 3

Déterminer des fractions équivalentes.

Je détermine tout d’abord 15 % de 100. Je sais que pour chaque tranche de 100 élèves, il y a 15 élèves qui aiment le couscous, donc $\frac{15}{100}$ . Je multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre pour obtenir des fractions équivalentes.

$\frac{15}{100} = \frac{30}{200} = \frac{45}{300} = \frac{60}{400} = \frac{75}{500}$

Exemple 4

Établir une proportion par multiplication.

$\begin{array}{l} \frac{15}{100} = \frac{?}{500} \\ \frac{15 \times 5}{100 \times 5} = \frac{75}{500} \end{array}$

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 55-56.

Calcul mental

La vie quotidienne présente de nombreuses occasions d’effectuer des opérations sur les pourcentages. Par exemple, la taxe de vente provinciale sur les achats et les données sportives font appel aux pourcentages. L’habileté à estimer et l’habileté à calculer mentalement sont des caractéristiques du sens du nombre et du sens des opérations. Diverses stratégies de calcul mental peuvent être utilisées dont l’arrondissement, la décomposition et l’utilisation de repères. Voici quelques exemples de leur utilisation en situation de calcul mental.

Arrondissement

Exemple

Abdul achète une salade et un jus pour son dîner. Le coût est de 9 $ plus 13 % de taxe de vente provinciale. Combien coûtera approximativement le dîner d’Abdul?

Afin de connaître le coût approximatif de son dîner, Abdul peut :

arrondir le pourcentage à 15 % ( $10 + 5$ )
10 % de 9 $ est $0, 1 \times 9 = 0, 90 $$
5 % est la moitié de 10 %, alors la moitié de 0,90 $ est 0,45 $.
$0, 90 + 0, 45 = 1, 35 $$

Alors, $9 $ + 1, 35 $ = 10, 35 $$ .

Le dîner d’Abdul coûtera un peu moins de 10,35 $ puisqu’on a arrondi les taxes vers le haut.

Décomposition

Une gérante achète une machine en rabais de 25 %. La machine coûte 184 $. Combien d’argent la gérante épargnera-t-elle?

Exemple de décomposition du pourcentage 1

25 % peut être décomposé en $10 + 10 + 5$ .
10 % de 184 $ est la même chose que multiplier $0, 1 \times 184$ , ce qui me donne 18,40.
5 % serait la moitié de 18,40, puisque 5 % est la moitié de 10 %. Alors, 5 % de 184 $ est 9,20 $.
$18, 40 + 18, 40 + 9, 20 = 46 $$ .

Exemple de décomposition du pourcentage 2

Dans cette vidéo, les élèves réfléchissent, partagent et développent différentes stratégies de calcul mental en lien avec le calcul de pourcentages.

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Description de la vidéo

[Vidéodescription]

Devant sa classe, auprès d'un grand tableau blanc, un enseignant s'adresse à ses élèves.

[Enseignant]

Bonjour, les élèves. Là, ce que je vais vous demander de faire, c'est un calcul mental. Vous allez trouver la valeur en dollars de 13 % de nos 300 $.

[Vidéodescription]

L'enseignant pointe les nombres qu'il a écrits au tableau au moyen de son marqueur noir.

[Enseignant]

Pour vous aider, vous vous appuyez avec votre calcul mental, je vais utiliser la table de valeurs.

[Vidéodescription]

L'enseignant trace une croix au tableau. Il écrit un symbole de pourcentage dans le coin haut et droit de la croix, et un symbole de dollars dans le coin en haut à gauche. Ensuite, il écrit 13 % en bas à droite de la croix et 300 $ en bas à gauche.

[Enseignant]

Pourcentage, dollars, ici, puisqu'on parle de 300 $, et on veut trouver quelle est la valeur de 13 %. Je vais laisser ça comme ça. Je vais vous donner quelques instants pour faire le calcul mental, ensuite on va en discuter.

Lorsque tu as une idée, tu pourrais mettre ton pouce juste devant toi, ça m'indique que tu as une idée. Parle avec un partenaire, quelqu'un à côté de toi, pour partager ce que tu as calculé, ce que tu étais en train de calculer, puis il y a une réponse si tu es arrivé à ça.

[discussion inaudible d'élèves]

[Enseignant]

Merci beaucoup. Là, j'ai eu la chance un peu de vous écouter, puis je vais inviter quelques personnes à partager leurs stratégies.

[Étudiante 1]

J'ai pris le 300 et j'ai divisé par 100, vu que le 300, c'est 100 %.

[Enseignant]

OK. On va écrire ton raisonnement en même temps. Divisé par 100, tu as dit?

[Étudiante 1]

Oui.

[Enseignant]

Et tu as dit quelque chose d'intéressant aussi : « Ça représente le 100 % », important d'avoir en tête.

[Vidéodescription]

Au marqueur rouge, l'enseignant écrit 100 % dans la colonne des pourcentages, au-dessus de 13 %. Il ajoute un flèche courbe pointant vers le bas qui indique « divisé par 100 ». Du côté gauche, il fait la même chose avec 300 $ : il ajoute une flèche courbe pointant vers le bas qui indique « divisé par 100 », au bout de laquelle il écrit le chiffre 3.

[Enseignant]

Divisé par 100. Donc, 3 représente combien en pourcentage?

[Étudiante 1]

C’est 1 %. Ensuite, j'ai fait 3 x 13 qui, je pense, donne 40. Je ne suis pas sûre à 100 %.

[Enseignant]

OK. Fois 13, j’assume que tu as fait 1 % x 13 ici pour arriver à 13 %. OK. Je sais que ce n'est pas 40. Je sais que c'est 39.

[Étudiante 1]

OK. J'étais proche.

[Enseignant]

Oui. 3 x 3, c'est 9, donc c'est pour ça qu'on arrive... Je suis plus intéressé à la stratégie, donc je trouve ça intéressant que tu aies réfléchi à 1 % pour ensuite trouver ton 13 %. 1 % de 300, c'est 3 x 13, 39 %. Intéressant. OK. Merci beaucoup. Là, je sais que tu as fait quelque chose de différent pour arriver à la même réponse, parce que je t'ai entendu. Pourrais-tu partager ta stratégie avec nous?

[Étudiant 1]

Oui. OK. C'était très similaire, mais j'ai utilisé le 10 %.

[Vidéodescription]

L'enseignant trace un nouveau petit tableau en forme de croix avec le montant du côté gauche et le pourcentage du côté droit. Il ajoute les chiffres de la stratégie au fur et à mesure.

[Enseignant]

OK. La fraction repère ici?

[Étudiant 1]

Oui. Puis, j'ai aussi utilisé le 1 % de l'autre tableau.

[Enseignant]

D'accord.

[Étudiant 1]

Puis, je l'ai triplé pour avoir le 13 % en tout. Après ça, j'ai triplé le 1 % pour avoir 3 %, puis 9.

[Enseignant]

J'assume que tu étais en train de réfléchir à 1 % x 3?

[Étudiant 1]

Oui.

[Enseignant]

Donc, 3 x 3 de cette façon ici. Tu as parlé d'utiliser ce pourcentage avec cette information ici?

[Étudiant 1]

Oui.

[Enseignant]

D'accord. 30 + 9, 39, qui est la même réponse que quand on a utilisé l'autre stratégie. Je vais mentionner ça encore, parce que c'est important, malgré le fait que, peut-être qu'on n'y pense pas, mais c'est des choses qu'on fait. 3 x 3, on n'a pas besoin d’y réfléchir trop, c'est un fait numérique. Un fait numérique de multiplication. Encore, je le vois comme un outil qu'on utilise, puis on n'a pas besoin trop d'y réfléchir. Donc, ça facilite notre travail quand on doit faire d'autres genres de calculs qui sont peut-être un peu plus complexes.

L'importance de ces faits numériques de base et de nos, comme on l’a mentionné déjà, les fractions repères. Peu importe la stratégie qu'on utilise, elle peut être efficace et précise aussi. Ce qu'on va faire maintenant : on va représenter 13 % de 300 en utilisant le matériel de manipulation. Travaillez en petits groupes de deux. La discussion va être très importante.

[discussions de fond]

[Vidéodescription]

Alors que les élèves discutent ensemble, l'enseignant s'approche pour les accompagner dans leur raisonnement.

[Enseignant]

Les élèves, ce qu'on va faire, c'est on va parler un peu des stratégies, puis des représentations que vous avez faites. Lorsque vous étiez au travail, j'ai eu la chance de jaser, puis de regarder un peu. Une chose que j'ai trouvée intéressante : il y a deux élèves qui ont utilisé une stratégie semblable, la même stratégie, mais deux représentations différentes. Je vais t'inviter à nous partager ta stratégie.

[Étudiante 2]

Ces trois plaques égal à 300 $, ce qui est égal à 100 %. J'ai pris 300 $, j'ai divisé par 100 pour avoir 3 $, ce qui vaut 1 %. Après, j'ai fait 3 $ x 3, ce qui est le total de 9 $. Après, j'ai fait la même chose pour le 1 %.

[Enseignant]

Pour le 1 % ici?

[Étudiante 2]

Oui.

[Enseignant]

D'accord.

[Étudiante 2]

Après, j'ai pris le 30 $ de 10 %, parce que ça, c'est égal à ça. Après, j'ai ajouté le 30 $ plus le 9, ce qui a égalé à 39 $.

[Enseignant]

Excellent. Merci beaucoup pour ta stratégie. Est-ce que tu pourrais présenter la tienne, s'il te plaît?

[Étudiant 1]

Oui. C'est très similaire à l'autre stratégie. J'ai les trois centaines, puis je les ai divisées en 10 %, qui est représenté ici par les trois dizaines, le 30. Après ça, j'ai représenté les trois 1 % par trois unités.

[Enseignant]

Trois groupes d'unités là?

[Étudiant 1]

Oui, trois groupes d'unités de 3, ce qui donne 9, puis j'ai ajouté les deux ensembles pour le tout, 39 $ est égal à 13 %.

[Enseignant]

Excellent. Merci beaucoup. Ce qu'on va faire maintenant...

[Fin de la vidéodescription]

Exemple de décomposition du montant d’argent

25 % représente $\frac{1}{4}$ de 184 $.
25 % ou $\frac{1}{4}$ de 100 $ est 25 $.
25 % ou $\frac{1}{4}$ de 80 $ est 20 $.
25 % ou $\frac{1}{4}$ de 4 $ est 1 $.

La gérante épargnera $25 $ + 20 $ + 1 $ = 46 $$ .

Utilisation de repères

Exemple

Un sondage effectué auprès de 150 élèves de 6^e année démontre leur couleur préférée. Voici, en partie, les résultats.

1 élève aime le noir.
7 élèves aiment le blanc.
14 élèves aiment l’orange.
72 élèves aiment le rouge.

Environ quel pourcentage d’élèves aime chaque couleur?

Afin d’estimer le pourcentage d’élève qui aime chaque couleur, on peut utiliser des pourcentages repères :

1 % de 150 est 1,5, alors un peu moins de 1 % des élèves aiment le noir.
5 % de 150 est 7,5, alors un peu moins de 5 % des élèves aiment le blanc.
10 % de 150 est 15, alors un peu moins de 10 % des élèves aiment l’orange.
50 % de 150 est 75, alors un peu moins de 50 % des élèves aiment le rouge.

Utiliser la valeur de position

Un magasin annonce que 10 % des ventes de la journée seront données à une charité communautaire. Le total des ventes est de 1 010 $. Quel est le montant qui sera donné à la charité?

10 % est égal à 0,1 ou à $\frac{10}{100}$
0,1 ou $\frac{10}{100}$ de 1 000 est 100
0,1 ou $\frac{10}{100}$ de 10 est 1

La charité recevra 101 $.

Connaissance : pourcentage

Le pourcentage est une façon particulière de présenter une fraction. Il est souvent employé dans la vie courante. Une expression numérique comme 30 % (qui se lit « trente pour cent ») est en réalité une autre notation du nombre trente centièmes, soit $\frac{30}{100}$ ou 0,30. Afin de faciliter la compréhension du concept de pourcentage, il faut d’abord amener les élèves à établir le lien entre le pourcentage et la fraction dont le dénominateur est 100, et ce, à l’aide de matériel concret ou semi-concret.

Exemple

À côté de l’équation trente pourcent égale trente sur cent, il y a une grille de cent unités où les trois premières rangées de dix carrés sont rouges, et le reste est blanc.

Lorsqu’exposés au concept de rapport, les élèves réaliseront qu’un pourcentage représente un rapport à 100 (par exemple, 30 % représente le rapport 30 : 100). Il est important de souligner qu’un résultat exprimé en pourcentage ne signifie pas que la quantité en question est nécessairement composée de 100 parties, comme expliqué dans le tableau suivant.

Lien entre le pourcentage et la quantité 100

Représentation	Pourcentage	Notes pédagogiques
	75 % des cercles sont verts.	Même si 75 % des cercles sont verts, cela ne veut pas dire qu'il y a 100 cercles dans l'ensemble. Par contre, s'il y avait 100 cercles, il y aurait 75 cercles verts. De plus, la fraction des cercles qui sont verts est équivalente à $\frac{75}{100}$ (par exemple, $\frac{3}{4}$ = $\frac{75}{100}$ et $\frac{150}{200}$ = $\frac{75}{100}$ ).
Un rectangle de 50 mètres par 80 mètres est découpé en deux parties égales sur la largeur : une partie verte et une partie blanche. Ces deux dernières mesurent respectivement 2 000 mètres carrés ainsi que 50 mètres par 40 mètres.	50 % du terrain est recouvert de pelouse.	Même si 50 % du terrain est recouvert de pelouse, on ne peut pas affirmer que le terrain a une aire de 100 m². Mais on peut affirmer que pour chaque 100 m² de terrain, 50 m² sont recouvert de pelouse. Ainsi, $\frac{2 000}{4 000}$ = $\frac{1}{2}$ = $\frac{50}{100}$ = 50 %.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 34-35.

Connaissance : calcul mental

La plupart des calculs effectués au quotidien sont reliés à un calcul mental. Les personnes qui acquièrent de bonnes habiletés de calcul mental ne dépendent pas de l’électronique ou du papier pour effectuer les calculs de la vie courante. Or, il est important de démystifier le calcul mental. « Le calcul mental consiste à effectuer des calculs sans l’aide ou presque d’un crayon et d’un papier, ou d’une calculatrice. Il représente une composante essentielle d’un enseignement efficace au cycle moyen. » (Ministère de l’Éducation de l’Ontario, 2004 a, p. 24). Ainsi, il ne s’agit pas d’utiliser un algorithme dans sa tête, mais de calculer avec souplesse et efficacité.

Selon les situations, on fait appel au calcul mental pour déterminer des résultats approximatifs ou exacts. On estime souvent mentalement lorsque c’est l’ordre de grandeur qui est recherché. Par exemple, pour avoir une idée du coût de la taxe de ses achats, on utilise des nombres plus simples. Il est important aussi de savoir calculer mentalement avec précision (par exemple, un serveur qui doit rendre la monnaie à un client). Plusieurs stratégies de calcul mental sont basées sur la relation entre le tout et ses parties (décomposition et regroupement), sur l’établissement de relations entre les nombres et sur les propriétés des opérations. Souvent, ces stratégies proviennent d’un transfert de modèles utilisés au cours de l’apprentissage des opérations.

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 111.