À vue d'œil...

B2.1 Utiliser les propriétés des opérations et les relations entre les opérations pour résoudre des problèmes comportant des nombres naturels, des nombres décimaux, des fractions, des rapports, des taux, et des pourcentages, y compris des problèmes à plusieurs étapes ou plusieurs opérations.

Habileté : utiliser les propriétés des opérations pour résoudre des problèmes

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Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.

Un bon sens des opérations repose sur une bonne connaissance des relations entre les nombres et entre les opérations.

La compréhension des propriétés des opérations permet de développer des stratégies efficaces de calcul ; par exemple, puisque la multiplication est distributive, on peut calculer $5\times 12$ en effectuant $\left(5\times 10\right)+\left(5\times 2\right)$.

Au cycle primaire, les élèves ont pu aborder certaines de ces propriétés de façon intuitive. Les élèves du cycle moyen doivent comprendre les propriétés des opérations présentées ci-après et apprendre à les utiliser en situation de résolution de problèmes.

Commutativité

Une opération est commutative si son résultat ne change pas lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, on peut démontrer la commutativité de l’addition comme suit : il y a 44 pommes dans un panier et 32 dans un autre. Le nombre total de pommes sera le même que l’on ajoute les pommes du premier panier à celles du deuxième ou qu’on fasse le contraire. Ainsi, $44+32$ est égal à $32+44$. On reconnaît alors que si les termes d’une addition sont intervertis, le résultat demeure le même.

On peut aussi démontrer la commutativité de la multiplication.

Exemples

Image Deux ensembles de petits cœurs rouges sont placés côte à côte. Le premier ensemble est constitué de trois colonnes de huit cœurs. En dessous, il est écrit : huit fois trois. Le deuxième ensemble est constitué de huit colonnes de trois cœurs. En dessous, il est écrit : trois fois huit.

Entre les deux opérations, il y a le symbole égal.

Image Deux ensembles de petits coeurs bleus sont placés côte à côte. Le premier ensemble est constitué de trois colonnes de huit cœurs et d’une colonne de huit demi-cœurs. En dessous, il est écrit : huit fois trois virgule cinq. Le deuxième ensemble est constitué de trois rangées de huit cœurs et d’une rangée de huit demi-cœurs. En dessous, il est écrit : trois virgule cinq fois huit.

Entre les deux opérations, il y a le symbole égal.

Les deux dispositions précédentes représentent la même quantité totale, organisée de deux façons différentes. De ce fait, elles illustrent deux situations différentes. Ainsi, $8\times 3$ représente 8 rangées de 3 objets et $8\times 3,5$ représente 8 rangées de 3,5 objets, tandis que $3\times 8$ représente 3 rangées de 8 objets et $3,5\times 8$ représente 3,5 rangées de 8 objets. Il est important que les élèves le réalisent.

On peut aussi utiliser un exemple du quotidien. Par exemple, le personnel enseignant invite trois élèves qui ont exactement un frère ou une sœur à venir représenter au tableau les enfants de leur famille. Le nombre total d’enfants est représenté par $3\times 2$ enfants, pour un total de 6 enfants (Figure 1).

Ensuite, le personnel enseignant fait la même démarche avec deux enfants qui ont exactement deux frères ou sœurs. Le nombre total d’enfants est représenté par $2\times 3$ enfants, pour un total de 6 enfants (Figure 2).

Figure 1

Image Trois illustrations sont alignées côte à côte. La première illustration montre deux visages de garçons blancs aux cheveux bruns; il s’agit de Michel et son frère. Michel a les yeux verts tandis que son frère a les yeux bruns. La deuxième illustration montre deux visages de filles blanches aux cheveux noirs; il s’agit de Terry et sa sœur. Elles ont toutes deux les yeux bruns. La troisième illustration montre deux visages de filles blanches aux cheveux blonds; il s’agit d’Hannah et sa sœur. Elles ont toutes deux les yeux bleus.

Figure 2

Image Deux illustrations sont placées côte à côte.La première illustration montre trois visages d’enfants à la peau et aux cheveux noirs, et aux yeux bruns. Il s’agit de Jeanne et ses frères. La deuxième illustration montre trois enfants à la peau blanche, aux yeux verts et aux cheveux de différentes teintes de brun. Il s’agit de Miguel et ses sœurs.

Les deux phrases mathématiques, $3\times 2=6$ et $2\times 3=6$, indiquent un même résultat, même si l’ordre des facteurs est inversé. Les élèves peuvent alors comprendre que 3 familles de 2 enfants ou 2 familles de 3 enfants donnent un total de 6 enfants, sans que les situations soient identiques.

Lorsqu’on utilise la commutativité de la multiplication, on s’intéresse davantage à la réponse, sans égard à la situation. Par exemple, même si on cherche $12\times 2$, on peut choisir de calculer $2\times 12$ si le résultat est plus facile à obtenir, même si les deux expressions ne représentent pas la même situation.

Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves perçoivent souvent la multiplication comme une addition répétée. En tentant de résoudre une variété de problèmes, ils peuvent utiliser la commutativité de la multiplication pour développer une stratégie plus efficace de calcul. Par exemple, les élèves qui utilisent l’addition répétée reconnaîtraient que $2\times 12\left(12+12\right)$ est plus simple et moins long à représenter et à calculer que $12\times 2\left(2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2\right)$.

Une disposition rectangulaire est un excellent modèle visuel pour représenter la commutativité de la multiplication.

Image Trois élèves autour d’une petite table observent la même image sur une feuille de papier. La première affirme : « Je vois cinq rangées de trois, donc cinq fois trois. ». La seconde répond : « Je vois cinq colonnes de trois rangées qui peuvent aussi être représentées par cinq fois trois.» La troisième rétorque : « Moi, je vois plutôt trois rangées de cinq, donc trois fois cinq. »

La disposition rectangulaire peut aussi être utilisée pour représenter la commutativité de la multiplication d’un nombre naturel par des fractions. Par exemple, un cuisinier veut cuire une dinde qui pèse 9 kg. Chaque kilogramme prend $\frac{1}{3}$ d’heure de cuisson. Il doit calculer le nombre d’heures total pour cuire la dinde.

Il est possible de représenter le nombre d’heures par $9\times \frac{1}{3}$, pour un total de 3 heures (Figure 1).

Il est aussi possible de représenter le nombre total d’heures par $\frac{1}{3}\times 9$, pour un total de 3 heures (Figure 2).

Figure 1

$9\times \frac{1}{3}$

La dinde cuira pendant 3 heures.

Figure 2

Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 102-104.

Distributivité

La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. La multiplication est distributive sur l’addition. Par exemple, on peut multiplier $3\times \left(5+6\right)$ ou $3,1\times \left(5,2+6\right)$ et arriver au même résultat que si on avait effectué $\left(3\times 5\right)+\left(3\times 6\right)$ ou $\left(3,1\times 5,2\right)+\left(3,1\times 6\right)$. La multiplication est aussi distributive sur la soustraction. Par exemple, on peut multiplier $3\times \left(20-2\right)$ ou $3,1\times \left(20-2,5\right)$ en faisant $\left(3\times 20\right)-\left(3\times 2\right)$ ou $\left(3,1\times 20\right)-\left(3,1\times 2,5\right)$.

L’exemple suivant illustre comment on peut utiliser la distributivité pour calculer $6\times 8$. Dans un cas, on décompose le facteur 8 pour obtenir $5+3$. On a alors $6\times \left(5+3\right)=\left(6\times 5\right)+\left(6\times 3\right)$. Dans l’autre cas, on décompose le facteur 6 pour obtenir $3+3$. On a alors $\left(3+3\right)\times 8=\left(3\times 8\right)+\left(3\times 8\right)$.

Image Trois images sont placées côte à côte. La première image montre huit colonnes de six triangles bleus. En dessous, il est écrit : six fois huit. La deuxième image montre deux ensembles côte à côte : un ensemble de cinq colonnes de six triangles et un ensemble de trois colonnes de six triangles. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante six fois cinq parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante six fois trois parenthèse fermante. La troisième image montre deux ensembles l’un sous l’autre : ce sont deux ensembles identiques de trois rangées de huit triangles. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante trois fois huit parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante trois fois huit parenthèse fermante.

Voici un exemple de l’utilisation de la distributivité pour calculer des nombres décimaux, par exemple $6,5\times 4$.

Dans un cas, on décompose le facteur 4 pour obtenir $2+2$. On a alors $6,5\times (2+2)=(6,5\times 2)+(6,5\times 2)$. Dans l’autre cas, on décompose le facteur 6,5 pour obtenir $6+0,5$. On a alors  $(6+0,5)\times 4=(6\times 4)+(0,5\times 4)$.

Image Trois images sont présentées côte à côte. La première image est une grille de six rangées de quatre carrés et d’une rangée de quatre demi-carrés. En dessous, il est écrit : six virgule cinq fois quatre. La deuxième image montre deux ensembles identiques de deux colonnes de six carrés et d’un demi-carré. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante six virgule cinq fois deux parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante six virgule cinq fois deux. La troisième image montre deux ensembles : le premier est une grille de quatre colonnes de six carrés et le deuxième est une rangée de quatre demi-carrés. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante six fois quatre parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante zéro virgule cinq fois quatre parenthèse fermante.

Il existe un lien important entre la distributivité et l’algorithme usuel de multiplication. Par exemple, pour calculer $3\times 15$, le 15 est décomposé pour obtenir $\left(10+5\right)$ :

$3\times \left(10+5\right),\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{t}\left(3\times 10\right)+\left(3\times 5\right)$

Image Trois équations sont placées côte à côte : 15 fois trois égale 45, dix fois trois égale 30 et cinq fois trois égale quinze. Le nombre 15 de la première équation se lie par une flèche au nombre dix de la deuxième équation, et le nombre 45 de la première équation se lie par une flèche au nombre 30 de la deuxième équation.

Pour calculer $13\times 24$, les deux facteurs sont décomposés :

Image L’équation suivante est présentée verticalement : 24 fois 13 égale 72 plus 240 égale 312. À côté, l’opération suivante pointe avec une flèche au résultat 72 : parenthèse ouvrante trois fois quatre parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante trois fois vingt parenthèse fermante. Cette opération s’additionne à la suivante, qui elle pointe avec une flèche vers « plus 240 égale 312 » : parenthèse ouvrante dix fois quatre parenthèse fermante plus dix fois vingt parenthèse fermante.

Seule la multiplication est distributive. On pourrait reconnaître que la division est partiellement distributive. Par exemple, pour calculer $32÷8$, il est possible de décomposer le dividende 32 pour obtenir $16+16$. On a alors $\left(16+16\right)÷8$ et la division par 8 est distribuée sur l’addition. On obtient $\left(16÷8\right)+\left(16÷8\right)=2+2$, soit 4. Cependant si le diviseur est décomposé, la distributivité ne fonctionne pas. Par exemple, $32÷8\ne \left(32÷4\right)+\left(32÷4\right)$. C’est la raison pour laquelle la distributivité n’est pas une propriété de la division.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 104-105.

Associativité

L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur. Par exemple, dans l’expression $15+13+17$, il est possible d’associer 13 et 17 pour obtenir $15+\left(13+17\right)$, ce qui donne $15+30$, soit 45. On peut aussi associer 15 et 13 pour obtenir $\left(15+13\right)+17$, ce qui donne $28+17$, soit 45.

L’associativité s’applique aussi aux nombres décimaux, par exemple, dans l’expression $5+0,75+0,25$, il est possible d’associer 0,75 et 0,25 pour obtenir $5+\left(0,75+0,25\right)$, ce qui donne $5+1$, soit 6. On peut aussi associer 5 et 0,75 pour obtenir $\left(5+0,75\right)+0,25$, ce qui donne $5,75+0,25$, soit 6.

Les termes d’addition et de multiplication de fractions et de pourcentages peuvent aussi être combinés, par exemple $5\mathrm{\%}+10\mathrm{\%}+20\mathrm{\%}$ pourrait être associé de la façon suivante $\left(5\mathrm{\%}+10\mathrm{\%}\right)+20\mathrm{\%}$, ce qui donne $15\mathrm{\%}+20\mathrm{\%}$, soit 35 %.

L’associativité de la multiplication [par exemple, $3\times 2\times 5=3\times \left(2\times 5\right)$ ou $3\times 2\times 5=\left(3\times 2\right)\times 5$] n’est pas facile à comprendre. Certes, on peut la constater en vérifiant les résultats des multiplications, mais cela ne constitue pas une compréhension. Pour comprendre, on peut utiliser un prolongement du modèle d’une disposition rectangulaire à l’aide de cubes.

Dans la figure 1, on voit qu’il y a 2 rangées de 5 cubes, soit $2\times 5$ cubes. Dans la figure 2, on voit 3 étages contenant chacun $2\times 5$ cubes. La figure représente donc $3\times \left(2\times 5\right)$ cubes.

Image La figure un et la figure deux sont présentées côte à côte.La figure un est une palette de deux rangées de cinq cubes. En dessous, il est écrit : deux fois cinq.La figure deux est un prisme rectangulaire formé de deux cubes par trois cubes par cinq cubes. En dessous, il est écrit : trois fois parenthèse ouvrante deux fois cinq parenthèse fermante.

On peut aussi considérer la figure 3, qui illustre 3 étages de 2 cubes, soit $3\times 2$ cubes. La figure 4 peut alors représenter $\left(3\times 2\right)$ cubes qui paraissent 5 fois, soit $\left(3\times 2\right)\times 5$.

Image La figure trois et la figure quatre sont présentées côte à côte. La figure trois est une palette de deux rangées de trois cubes. En dessous, il est écrit : trois fois deux. La figure quatre est un prisme rectangulaire formé de deux cubes par trois cubes par cinq cubes. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante trois fois deux parenthèse fermante fois cinq.

On voit donc que $3\times \left(2\times 5\right)$ et $\left(3\times 2\right)\times 5$ représentent la même quantité de cubes (même si chaque expression représente un point de vue différent) et que chacune donne le même produit que $3\times 2\times 5$.

Devant une expression numérique telle que $3\times \left(2\times 5\right)=?$, certains élèves tentent parfois d’appliquer la distributivité de manière à calculer $\left(3\times 2\right)\times \left(3\times 5\right)$, ce qui a pour effet que $2\times 5$ est multiplié par 9, plutôt que par 3. Dans un tel cas, il faut rappeler que la distributivité de la multiplication s’effectue seulement sur l’addition ou la soustraction et expliquer la situation en utilisant un modèle concret ou semi-concret.

L’associativité ne change pas l’ordre des nombres d’une expression numérique. On peut cependant jumeler l’associativité et la commutativité pour faciliter l’évaluation d’une expression numérique.

Par exemple, pour déterminer la valeur de l’expression $2\times 3\times 5$, on peut déterminer celle de l’expression $\left(2\times 5\right)\times 3$. En effet, il est habituellement plus facile de calculer $10\times 3$ que de calculer $6\times 5$. De même, pour déterminer la valeur de l’expression $19+27+11$, on peut déterminer celle de $\left(19+11\right)+27$, car le 9 et le 1 sont complémentaires et donnent une dizaine, ce qui permet d’obtenir la réponse mentalement, soit $30+27=57$. C’est en exposant les élèves à un grand nombre d’activités que le personnel enseignant les amène à comprendre et à utiliser les différentes propriétés avec efficacité.

La décomposition d’un nombre en produit de facteurs, de pair avec l’associativité, peut aussi s’avérer utile. Par exemple, le nombre 24 peut être représenté par $24\times 1$, $12\times 2$, $8\times 3$, $6\times 4$ ou même par $2\times 4\times 3$ ou $2\times 2\times 2\times 3$. Pour déterminer la valeur d’une expression numérique telle que $24\times 5$, les élèves qui possèdent un bon sens du nombre et un bon sens des opérations peuvent choisir de transformer 24 en $12\times 2$ et utiliser les propriétés des opérations ainsi :

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 105-107.

Habileté : utiliser la priorité des opérations

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La priorité des opérations est au programme de 6^e année, mais il peut arriver que les élèves des autres années abordent ces règles de façon informelle. En classe, il est plus important de miser sur le sens des expressions en contexte de résolution de problèmes que sur l’habileté à évaluer des expressions comportant de multiples opérations.

La priorité des opérations peut survenir dans un contexte de résolution de problèmes ou dans des opérations présentées sous forme d’expressions numériques sans contexte.

Les opérations en contexte de résolution de problèmes

Pour résoudre un problème comportant une série d’opérations, l’ordre à suivre est dicté par le sens du problème.

Exemple 1

Simon a 3 enveloppes contenant 5 timbres chacune et sa sœur Annabelle a 7 enveloppes contenant 4 timbres chacune. Simon et Annabelle décident de regrouper tous leurs timbres pour former une plus grosse collection. Combien de timbres compte leur collection commune?

Pour résoudre ce problème logiquement, les élèves doivent d’abord déterminer le nombre de timbres dans la collection de Simon ($3\times 5=15$), puis le nombre de timbres dans celle d’Annabelle ($7\times 4=28$). Ensuite, les élèves doivent trouver le nombre total de timbres dans les deux collections ($15+28=43$). Ici, la multiplication a donc priorité sur l’addition.

Pour représenter toutes ces opérations en une seule expression numérique, on pourrait écrire $3\times 5+7\times 4$. Or, cette expression peut porter à confusion. C’est pourquoi il est préférable de recourir à des parenthèses pour préciser l’ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées, soit $\left(3\times 5\right)+\left(7\times 4\right)$. La solution peut alors être présentée comme suit :

$\begin{array}{rl}\left(3\times 5\right)+\left(7\times 4\right)& =15+28\\ & =43\end{array}$

Donc, la collection commune contient 43 timbres.

Dans l’exemple suivant, il est possible de résoudre le problème en donnant la priorité à l’addition sur la multiplication.

Exemple 2

Alphonse commande 12 recueils de bandes dessinées vendus au prix de 7 $ chacun. Il y a des frais de livraison de 2 $ par recueil. Combien lui coûtent les 12 recueils?

Les élèves peuvent d’abord déterminer le prix de chaque recueil ($7\mathrm{\$}+2\mathrm{\$}=9\mathrm{\$}$), puis le coût total ($12\times 9\mathrm{\$}=108\mathrm{\$}$). Comme dans l’exemple précédent, il est possible de présenter les deux opérations avec des parenthèses dans la même expression numérique : $\left(7+2\right)\times 12$ ou $12\times \left(7+2\right)$.

Ainsi, les parenthèses permettent de regrouper certains éléments d’une expression numérique et de préciser que ces éléments doivent être traités en priorité.

Les opérations sous forme d’expressions numériques

Idéalement, les expressions numériques devraient être présentées dans un contexte qui permet d’établir la priorité des opérations. Il arrive cependant qu’on doive évaluer une expression numérique hors contexte. Telles que présentées précédemment, les parenthèses aident à prioriser les opérations à effectuer, comme dans les expressions numériques $\left(3\times 5\right)+\left(7\times 4\right)$ et $12\times \left(7+2\right)$. Cependant, une expression numérique présentée sans parenthèses et sans contexte pourrait générer une multitude de réponses. Par exemple, on pourrait décider de traiter les opérations dans l’ordre dans lequel elles paraissent :

$\begin{array}{rl}3\times 5+7\times 4& =15+7\times 4\\ & =22\times 4\\ & =88\end{array}$

On pourrait aussi décider de donner la priorité à l’addition sur la multiplication :

$\begin{array}{rl}3\times 5+7\times 4& =3\times 12\times 4\\ & =36\times 4\\ & =144\end{array}$

Devant une expression numérique de ce genre, certaines règles ont été établies afin de lever toute ambiguïté et d’uniformiser son traitement. Une de ces règles stipule que les multiplications et les divisions s’effectuent avant les additions et les soustractions. Dans ce contexte, la façon convenue d’évaluer l’expression précédente est :

$\begin{array}{rl}3\times 5+7\times 4& =15+28\\ & =43\end{array}$

L’acronyme PEDMAS est souvent présenté aux élèves pour les aider à retenir l’ensemble des règles qui définissent la priorité des opérations. Le « P » représente les parenthèses qu’il faut traiter en premier. Le « E » désigne les exposants qui sont évalués ensuite. Le « D » et le « M » représentent la division et la multiplication, opérations à effectuer selon l’ordre dans lequel elles paraissent. Enfin, l’addition et la soustraction correspondent aux lettres « A » et « S ». Ces deux dernières opérations sont effectuées en dernier lieu selon l’ordre dans lequel elles paraissent.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 108-110.

Certaines calculatrices respectent la priorité des opérations, alors que d’autres ne le font pas (par exemple, si on appuie sur les touches $3+4\times 5=$, une calculatrice qui respecte la priorité des opérations afficherait 23, tandis qu’une calculatrice qui ne la respecte pas afficherait 35). Les élèves doivent alors connaître les caractéristiques de leur calculatrice, ainsi que la priorité des opérations, de manière à changer l’ordre des opérations au besoin (par exemple, il faudrait appuyer sur les touches $3+\left(4\times 5\right)=$ ou $4\times 5+3=$ pour obtenir la bonne réponse sur une calculatrice qui ne respecte pas la priorité des opérations).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 120.

Habileté : utiliser les relations entre les opérations

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Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.

Au cycle primaire, les élèves ont établi des liens entre les opérations à travers diverses activités. Par exemple, les élèves savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, les élèves développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.

• L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
• La multiplication et la division sont des opérations inverses.

Les opérations fondamentales, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont intimement reliées malgré leurs différences apparentes. Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elles et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 97.

L’addition et la soustraction

L’addition et la soustraction ne sont que des opérations qui surviennent dans des problèmes. Il faut donc éviter de parler de « problèmes de soustraction » ou « problèmes d’addition », car c’est la compréhension de la situation, ainsi que la compréhension des opérations qui font choisir la stratégie de résolution de problèmes à adopter, en l’occurrence le choix de l’addition ou de la soustraction. Donc, les élèves doivent analyser le problème, choisir une stratégie et l’appliquer, tout comme le font les adultes. Dans ce contexte, le rôle du personnel enseignant est d’aider les élèves dans leur analyse et dans leur compréhension des opérations.

Il est important de noter que les problèmes présentés dans le tableau semblent similaires en raison de leur contexte. Or pour les élèves, chaque situation représente un problème particulier. C’est en maîtrisant ces divers types de problèmes que les élèves acquièrent une maîtrise de l’addition et de la soustraction.

Types de problèmes relatifs à l’addition et la soustraction

Image Le tableau s'intitule « Types de problèmes relatifs à l'addition et à la soustraction ». Il présente deux colonnes : « Types de problèmes », qui possède toujours une seule case, et « Quantités inconnues », qui possède deux ou trois cases. Premier type de problème : problèmes d'ajout. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Quantité finale inconnue. Tiret plus tiret égale point d'interrogation. Paul a 25 cartes. Il en achète 12 autres au dépanneur. Combien de cartes a-t-il à présent? 25 plus 12 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité initiale inconnue. Point d'interrogation plus tiret égale tiret. Paul a une collection de cartes. Il en achète 12 autres au dépanneur. Il a maintenant 37 cartes dans sa collection. Combien de cartes Paul avait-il au départ? Point d'interrogation plus douze égale 37. Troisième case : Quantité ajoutée inconnue. Tiret plus point d'interrogation égale tiret. Paul a 25 cartes. Il en achète d'autres au dépanneur. Il a maintenant 37 cartes. Combien de cartes Paul a-t-il achetées? 25 plus point d'interrogation égale 37. Deuxième type de problème : problèmes de retrait. Sous « quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Quantité finale inconnue. Tiret moins tiret égale point d'interrogation. Ahmed a 97 billes. Il en perd 75 dans un tournoi. Combien de billes a-t-il? 97 moins 75 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité initiale inconnue. Point d'interrogation moins tiret égale tiret. Après un tournoi de billes, Ahmed compte ses billes. Il en a 22. Il sait qu'il a perdu 75 billes. Combien de billes avait-il au début du tournoi? Point d'interrogation moins 75 égale 22. Troisième case : Quantité retirée inconnue. Tiret moins point d'interrogation égale tiret. Ahmed a 97 billes au début d'un tournoi. À la fin du tournoi, il lui en reste 22. Combien de billes a-t-il perdues? 97 moins point d'interrogation égale 22. Troisième type de problème : Problèmes de réunion. Sous « quantités inconnues », il y a deux cases. Première case : Tout inconnu. Tiret plus tiret égale point d'interrogation. Pierre et Misha préparent un sac de billes qu'ils veulent offrir à leur ami. Pierre dépose 40 billes dans le sac et Misha, 36. Combien de billes le sac contient-il? 40 plus 36 égale point d'interrogation. Deuxième case : Partie du tout inconnue. Tiret plus point d'interrogation égale tiret. Pierre et Misha préparent un sac de billes qu'ils veulent offrir à leur ami. Pierre dépose 40 billes dans le sac. Misha en dépose aussi. Il y a maintenant 76 billes dans le sac. Combien de billes Misha a-t-il déposées dans le sac? 40 plus point d'interrogation égale 76. Quatrième type de problème : Problèmes de comparaison. Sous « quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Différence inconnue. Tiret moins tiret égale point d'interrogation. Rihad a 41 petites autos et Pedro en a 28. Combien en a-t-elle de plus que Pedro? 41 moins 28 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité de référence inconnue. Point d'interrogation moins tiret égale tiret. Pedro a 28 petites autos. Rihad en a 13 de plus. Combien de petites autos a-t-elle? Point d'interrogation moins 28 égale 13. Troisième case : Quantité comparée inconnue. Tiret moins point d'interrogation égale tiret. Rihad a 41 petites autos. Elle en a 13 de plus que Pedro. Combien d'autos Pedro a-t-il? 41 moins point d'interrogation égale 13.

Les problèmes d’ajout et de retrait sont perçus par les élèves comme des situations actives, plus faciles à modéliser et à « voir », car la quantité initiale augmente ou diminue. Les problèmes de réunion, cependant, supposent une situation statique, car aucune action ou aucun changement ne se produit, ce qui les rend plus abstraits et plus difficiles à comprendre.

Les problèmes de comparaison, quant à eux, traitent de la relation entre deux quantités en les opposant : il n’y a donc pas d’action, mais une comparaison d’une quantité à une autre.

Puisque les élèves sont exposés régulièrement à des problèmes dont la quantité finale est recherchée, elle et ils les résolvent plus aisément. Cependant, elles et ils ont plus de mal à résoudre les problèmes dont la variable est la quantité initiale, la quantité ajoutée ou la quantité retirée. Ces problèmes aident à développer une compréhension plus solide des opérations d’addition et de soustraction et des liens entre les opérations. Par exemple, dans le cas des problèmes d’ajout dont la variable est la quantité initiale, les élèves voient plus facilement les avantages de l’addition (par exemple, $?+12=37$) qui permet de respecter l’ordre dans lequel se déroule l’action dans le problème. Cela leur permet d’utiliser une stratégie (par exemple, dénombrement ou compte à rebours) afin de déterminer la quantité initiale. Ces élèves démontrent leur compréhension du problème et leur habileté à utiliser une stratégie pour le résoudre. Cependant, elles et ils ne démontrent pas une compréhension du sens de la différence (et de la soustraction). Si elles et ils avaient utilisé la soustraction, soit $37-12=?$, elles et ils auraient démontré une compréhension plus élargie des liens entre les quantités par rapport à cette opération. Mais lorsque les élèves sont en apprentissage, il est inutile de leur imposer une stratégie. L’obligation de soustraire n’aidera en rien les élèves qui ne voient pas la pertinence de cette stratégie. Toutefois, si elles et ils sont régulièrement en contact avec une variété de problèmes et qu’elles et ils participent aux échanges mathématiques qui suivent, elles et ils arrivent à voir les liens entre diverses stratégies et à assimiler une variété de stratégies. 

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 81-84.

La multiplication et la division

Pour comprendre la multiplication et la division, il faut reconnaître les trois types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale (par exemple, 8 fleurs), le nombre de groupes égaux (par exemple, 4 pots) et la taille de chaque groupe (par exemple, 2 fleurs par pot).

Dans les problèmes présentés aux élèves, on associe trop souvent la division à un seul sens, soit le partage. Le sens de groupement est habituellement négligé. La division a un sens de partage lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus (par exemple, 3 élèves veulent se partager équitablement 15 pommes et on cherche le nombre de pommes que chacun recevra).

La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille des groupes) sont connus (par exemple, on a 15 pommes et on veut les placer dans des sacs, 3 pommes par sac; on cherche le nombre de sacs qu’il faut).

Il est essentiel de traiter des deux types de problèmes, puisqu’ils sont la base de l’intégration d’autres concepts mathématiques. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’elles et ils aient l’occasion d’en résoudre de divers types, tout en employant une variété de stratégies.

Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division

Image Le tableau s'intitule « Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division ». Il présente deux colonnes : « Types de problèmes », qui possède toujours une seule case, et « Quantités inconnues », qui possède deux ou trois cases. Premier type de problème : Problèmes de groupes égaux. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Julie a acheté cinq livres pour ses camarades. Chaque livre a coûté deux dollars. Combien a-t-elle dépensé pour tous ces livres? Cinq fois deux égale point d'interrogation. Deuxième case : Tailles des groupes inconnue, sens de partage. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Julie a dix livres. Elle veut les donner à cinq de ses camarades de manière que chacun en reçoive le même nombre. Combien de livres recevra chaque camarade? Dix divisé par cinq égale point d'interrogation. Troisième case : Nombre de groupes inconnu, sens de regroupement. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Julie a acheté dix livres pour ses camarades et prépare des sacs-cadeaux. Elle met deux livres dans chaque sac. Combien de sacs-cadeaux Julie a-t-elle utilisés? Dix divisé par deux égale point d'interrogation. Deuxième type de problème : Problèmes de comparaison. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Mustapha a deux dollars. Michel a quatre fois plus de dollars que lui. Combien d'argent Michel a-t-il? Quatre fois deux égale point d'interrogation. Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation ou tiret fois point d'interrogation égale tiret. Michel a huit dollars. Il a quatre fois plus d'argent que Mustapha. Combien d'argent Mustapha a-t-il? Huit divisé par quatre égale point d'interrogation ou quatre fois point d'interrogation égale huit. Troisième case : Multiplicateur inconnu. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation ou point d'interrogation fois tiret égale tiret. Michel a huit dollars et Mustapha a deux dollars. Michel a combien de fois plus d'argent que Mustapha? Huit divisé par deux égale point d'interrogation ou point d'interrogation fois deux égale huit. Troisième type de problème : Problèmes de combinaison. Sous « Quantités inconnues », il y a deux cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Ahmed a trois pantalons et cinq chemises. Combien de tenues différentes Ahmed a-t-il? Trois fois cinq égale point d'interrogation. Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Ahmed a des chemises et des pantalons neufs. Il a 15 tenues différentes en tout. S'il a trois pantalons, combien de chemises Ahmed a-t-il? 15 divisé par trois égale point d'interrogation.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 84-85.

Effet des opérations

Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu. Suivre l’effet des opérations sur les nombres permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération. Par exemple, si on soustrait 8 de 160, on remarquera peu d’effet, car la différence entre 160 et 152 est relativement petite. Cependant, si on divise 160 par 8, l’effet produit est grand, car le quotient obtenu, soit 20, est beaucoup plus petit que 160. On peut aussi comparer l’effet produit par une addition à celui produit par une multiplication. Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Par exemple, lorsque le nombre 160 est multiplié par 8, on obtient 1 280, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 168. Les gens qui possèdent un bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les élèves en apprentissage sont souvent impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication. Une mise en garde s’impose : il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions peuvent avoir des effets différents que ceux sur les nombres naturels. Dans certains cas, l’effet peut même être l’inverse. En effet, si on multiplie un nombre naturel par un autre nombre naturel, le produit est plus grand que les deux facteurs (par exemple, si on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus grand que 6 et 3), alors que si on multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit qu’un des deux facteurs (par exemple, si on multiplie $\frac{1}{2}$ par 6, le produit 3 est plus petit que 6).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 90-91.

Habileté : résoudre des problèmes nécessitant plus d’une opération

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Que ce soit un problème comportant une opération ou plus d’une opération, les élèves doivent prendre des décisions et faire des choix en fonction du contexte. Une approche axée sur la résolution de problèmes les initiera à cette réflexion. Devant un problème, il faut d’abord l’analyser afin d’en déterminer les données et de comprendre qu’un calcul doit être effectué. Ensuite, il faut savoir si, selon le contexte, on cherche une réponse approximative ou une réponse exacte. Dans les deux cas, selon le contexte et les nombres en cause, il faut ensuite déterminer si le calcul sera effectué mentalement, par écrit ou à l’aide d’une calculatrice. Enfin, le calcul désiré est effectué.

Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème

Image Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème.

Le schéma est constitué d'expressions dans des bulles qui se relient à d'autres par des flèches. Bulle de départ : Situation de résolution de problèmes. La bulle se relie à « Calcul à effectuer ». Cette dernière se relie à deux expressions. Première expression : « Nécessité d'une réponse approximative, estimation ». Deuxième expression : « Nécessité d'une réponse exacte ». Toutes deux se lient à ces trois bulles : « Utilisation du calcul mental », « Utilisation d'une méthode papier-crayon » et « Utilisation de la calculatrice ».

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 117.

Connaissance : propriétés des opérations

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Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause.

Les propriétés des opérations sont :

• La commutativité : $\left(3+5=5+3\right)$;
• L’associativité : $\left(2+9\right)+11=2+\left(9+11\right)$;
• La distributivité : $8\times 7=\left(8\times 5\right)+\left(8\times 2\right)$;
• L’élément neutre : $13+0=13$; $0+13=13$; $25\times 1=25$; $1\times 25=25$;
• L’élément absorbant : $8\times 0=0$; $0\times 8=0$.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 102.

Connaissance : la commutativité

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Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, $27+63=63+27$ et $8\times 6=6\times 8$.

Généralisation : $a+b=b+a$; $a\times b=b\times a$

Connaissance : l’associativité

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L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur.

Généralisation : $\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$; $\left(a\times b\right)\times c=a\times \left(b\times c\right)$

Connaissance : la distributivité

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La multiplication est distributive sur l’addition et sur la soustraction.

La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. Par exemple,

• on peut multiplier $3\times \left(5+6\right)$ et arriver au même résultat que si on avait effectué $\left(3\times 5\right)+\left(3\times 6\right)$;
• on peut multiplier $3\times \left(20-2\right)$ en faisant $\left(3\times 20\right)-\left(3\times 2\right)$.

Généralisation : $a\times \left(b+c\right)=\left(a\times b\right)+\left(a\times c\right)$
$a\times \left(b-c\right)=\left(a\times b\right)-\left(a\times c\right)$

Connaissance : élément absorbant

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Dans une multiplication, le 0 a pour effet d’« absorber » l’autre facteur. Ainsi, peu importe le nombre multiplié par 0, le produit sera toujours 0 (par exemple, $684\times 0=0$; $16,67\times 0=0$; $\frac{1}{4}\times 0=0$) et si 0 est multiplié par un autre nombre, le produit sera aussi 0 (par exemple, $0\times 684=0$; $0\times 16,67=0$; $0\times \frac{1}{4}=0$). On qualifie alors le nombre zéro d’élément absorbant pour la multiplication.

Généralisation : $a\times 0=0$; $0\times a=0$

Connaissance : élément neutre

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Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet pour une opération donnée. Ainsi, le nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple, $287+0=287$ et $0+287=287$; $4,5+0=4,5$ et $0+4,5=4,5$; $\frac{1}{8}+0=\frac{1}{8}$ et $0+\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$) et le nombre 1 est l’élément neutre de la multiplication (par exemple, $133\times 1=133$ et $1\times 133=133$; $432,1\times 1=432,1$ et $1\times 432,1=432,1$; $5\mathrm{\%}\times 1=5\mathrm{\%}$ et $1\times 5\mathrm{\%}=5\mathrm{\%}$). La soustraction et la division n’ont pas d’élément neutre. Dans une soustraction, le nombre 0 ne produit aucun effet lorsqu’il est le deuxième terme (par exemple, $3-0=3$), mais ce n’est pas le cas s’il paraît comme premier terme (par exemple, $0-3\ne 3$). Ainsi, le nombre 0 n’est pas neutre pour la soustraction. De même, dans une division, le nombre 1 ne produit aucun effet lorsqu’il est le diviseur (par exemple, $3÷1=3$), mais ce n’est pas le cas s’il paraît comme dividende (par exemple, $1÷3\ne 3$). Ainsi, le nombre 1 n’est pas neutre pour la division.

Généralisation : $a+0=a$; $a-0=a$; $a\times 1=a$; $a÷1=a$

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 102-107.

Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division

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Le sens des opérations fait appel à la capacité de représenter des situations avec des symboles et des nombres. Comprendre la signification des opérations, et les relations entre elles, permet de choisir l’opération qui représente le mieux une situation et permet de résoudre le plus efficacement le problème, compte tenu des outils disponibles.

• L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
• La multiplication et la division sont des opérations inverses.
• La multiplication peut être associée à une addition répétée.
• La division peut être associée à une soustraction répétée.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.