B2.1 Utiliser les propriétés des opérations et les relations entre les opérations pour résoudre des problèmes comportant des nombres naturels, des nombres décimaux, des fractions, des rapports, des taux, et des pourcentages, y compris des problèmes à plusieurs étapes ou plusieurs opérations.
Habileté : utiliser les propriétés des opérations pour résoudre des problèmes
Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Un bon sens des opérations repose sur une bonne connaissance des relations entre les nombres et entre les opérations.
La compréhension des propriétés des opérations permet de développer des stratégies efficaces de calcul ; par exemple,
puisque la multiplication est distributive, on peut calculer
Au cycle primaire, les élèves ont pu aborder certaines de ces propriétés de façon intuitive. Les élèves du cycle moyen doivent comprendre les propriétés des opérations présentées ci-après et apprendre à les utiliser en situation de résolution de problèmes.
Commutativité
Une opération est commutative si son résultat ne change pas lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la
composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, on peut démontrer la commutativité de
l’addition comme suit : il y a 44 pommes dans un panier et 32 dans un autre. Le nombre total de pommes sera le même
que l’on ajoute les pommes du premier panier à celles du deuxième ou qu’on fasse le contraire. Ainsi,
On peut aussi démontrer la commutativité de la multiplication.
Exemples

Entre les deux opérations, il y a le symbole égal.

Entre les deux opérations, il y a le symbole égal.
Les deux dispositions précédentes représentent la même quantité totale, organisée de deux façons différentes. De ce
fait, elles illustrent deux situations différentes. Ainsi,
On peut aussi utiliser un exemple du quotidien. Par exemple, le personnel enseignant invite trois élèves qui ont
exactement un frère ou une sœur à venir représenter au tableau les enfants de leur famille. Le nombre total d’enfants
est représenté par
Ensuite, le personnel enseignant fait la même démarche avec deux enfants qui ont exactement deux frères ou sœurs. Le
nombre total d’enfants est représenté par
Figure 1

Figure 2

Les deux phrases mathématiques,
Lorsqu’on utilise la commutativité de la multiplication, on s’intéresse davantage à la réponse, sans égard à la
situation. Par exemple, même si on cherche
Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves perçoivent souvent la multiplication comme une addition
répétée. En tentant de résoudre une variété de problèmes, ils peuvent utiliser la commutativité de la multiplication
pour développer une stratégie plus efficace de calcul. Par exemple, les élèves qui utilisent l’addition répétée
reconnaîtraient que
Une disposition rectangulaire est un excellent modèle visuel pour représenter la commutativité de la multiplication.

La disposition rectangulaire peut aussi être utilisée pour représenter la commutativité de la multiplication d’un
nombre naturel par des fractions. Par exemple, un cuisinier veut cuire une dinde qui pèse 9 kg. Chaque kilogramme
prend
Il est possible de représenter le nombre d’heures par
Il est aussi possible de représenter le nombre total d’heures par
Figure 1
La dinde cuira pendant 3 heures.
Figure 2
1 heure
1 heure
1 heure
La dinde cuira pendant 3 heures.
Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102-104.
Distributivité
La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et
d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. La multiplication est distributive
sur l’addition. Par exemple, on peut multiplier
L’exemple suivant illustre comment on peut utiliser la distributivité pour calculer

Image Trois images sont placées côte à côte. La première image montre huit colonnes de six triangles bleus. En dessous, il est écrit : six fois huit. La deuxième image montre deux ensembles côte à côte : un ensemble de cinq colonnes de six triangles et un ensemble de trois colonnes de six triangles. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante six fois cinq parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante six fois trois parenthèse fermante. La troisième image montre deux ensembles l’un sous l’autre : ce sont deux ensembles identiques de trois rangées de huit triangles. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante trois fois huit parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante trois fois huit parenthèse fermante.
Voici un exemple de l’utilisation de la distributivité pour calculer des nombres décimaux, par exemple
Dans un cas, on décompose le facteur 4 pour obtenir

Image Trois images sont présentées côte à côte. La première image est une grille de six rangées de quatre carrés et d’une rangée de quatre demi-carrés. En dessous, il est écrit : six virgule cinq fois quatre. La deuxième image montre deux ensembles identiques de deux colonnes de six carrés et d’un demi-carré. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante six virgule cinq fois deux parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante six virgule cinq fois deux. La troisième image montre deux ensembles : le premier est une grille de quatre colonnes de six carrés et le deuxième est une rangée de quatre demi-carrés. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante six fois quatre parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante zéro virgule cinq fois quatre parenthèse fermante.
Il existe un lien important entre la distributivité et l’algorithme usuel de multiplication. Par exemple, pour
calculer

Image Trois équations sont placées côte à côte : 15 fois trois égale 45, dix fois trois égale 30 et cinq fois trois égale quinze. Le nombre 15 de la première équation se lie par une flèche au nombre dix de la deuxième équation, et le nombre 45 de la première équation se lie par une flèche au nombre 30 de la deuxième équation.
Pour calculer

Image L’équation suivante est présentée verticalement : 24 fois 13 égale 72 plus 240 égale 312. À côté, l’opération suivante pointe avec une flèche au résultat 72 : parenthèse ouvrante trois fois quatre parenthèse fermante plus parenthèse ouvrante trois fois vingt parenthèse fermante. Cette opération s’additionne à la suivante, qui elle pointe avec une flèche vers « plus 240 égale 312 » : parenthèse ouvrante dix fois quatre parenthèse fermante plus dix fois vingt parenthèse fermante.
Seule la multiplication est distributive. On pourrait reconnaître que la division est partiellement distributive. Par
exemple, pour calculer
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 104-105.
Associativité
L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une
expression de différentes façons sans en modifier la valeur. Par exemple, dans l’expression
L’associativité s’applique aussi aux nombres décimaux, par exemple, dans l’expression
Les termes d’addition et de multiplication de fractions et de pourcentages peuvent aussi être combinés, par exemple
L’associativité de la multiplication [par exemple,
Dans la figure 1, on voit qu’il y a 2 rangées de 5 cubes, soit

Image La figure un et la figure deux sont présentées côte à côte.La figure un est une palette de deux rangées de cinq cubes. En dessous, il est écrit : deux fois cinq.La figure deux est un prisme rectangulaire formé de deux cubes par trois cubes par cinq cubes. En dessous, il est écrit : trois fois parenthèse ouvrante deux fois cinq parenthèse fermante.
On peut aussi considérer la figure 3, qui illustre 3 étages de 2 cubes, soit

Image La figure trois et la figure quatre sont présentées côte à côte. La figure trois est une palette de deux rangées de trois cubes. En dessous, il est écrit : trois fois deux. La figure quatre est un prisme rectangulaire formé de deux cubes par trois cubes par cinq cubes. En dessous, il est écrit : parenthèse ouvrante trois fois deux parenthèse fermante fois cinq.
On voit donc que
Devant une expression numérique telle que
L’associativité ne change pas l’ordre des nombres d’une expression numérique. On peut cependant jumeler l’associativité et la commutativité pour faciliter l’évaluation d’une expression numérique.
Par exemple, pour déterminer la valeur de l’expression
La décomposition d’un nombre en produit de facteurs, de pair avec l’associativité, peut aussi s’avérer utile. Par
exemple, le nombre 24 peut être représenté par
ou
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 105-107.
Habileté : utiliser la priorité des opérations
La priorité des opérations est au programme de 6e année, mais il peut arriver que les élèves des autres années abordent ces règles de façon informelle. En classe, il est plus important de miser sur le sens des expressions en contexte de résolution de problèmes que sur l’habileté à évaluer des expressions comportant de multiples opérations.
La priorité des opérations peut survenir dans un contexte de résolution de problèmes ou dans des opérations présentées sous forme d’expressions numériques sans contexte.
Les opérations en contexte de résolution de problèmes
Pour résoudre un problème comportant une série d’opérations, l’ordre à suivre est dicté par le sens du problème.
Exemple 1
Simon a 3 enveloppes contenant 5 timbres chacune et sa sœur Annabelle a 7 enveloppes contenant 4 timbres chacune. Simon et Annabelle décident de regrouper tous leurs timbres pour former une plus grosse collection. Combien de timbres compte leur collection commune?
Pour résoudre ce problème logiquement, les élèves doivent d’abord déterminer le nombre de timbres dans la collection
de Simon (
Pour représenter toutes ces opérations en une seule expression numérique, on pourrait écrire
Donc, la collection commune contient 43 timbres.
Dans l’exemple suivant, il est possible de résoudre le problème en donnant la priorité à l’addition sur la multiplication.
Exemple 2
Alphonse commande 12 recueils de bandes dessinées vendus au prix de 7 $ chacun. Il y a des frais de livraison de 2 $ par recueil. Combien lui coûtent les 12 recueils?
Les élèves peuvent d’abord déterminer le prix de chaque recueil (
Ainsi, les parenthèses permettent de regrouper certains éléments d’une expression numérique et de préciser que ces éléments doivent être traités en priorité.
Les opérations sous forme d’expressions numériques
Idéalement, les expressions numériques devraient être présentées dans un contexte qui permet d’établir la priorité
des opérations. Il arrive cependant qu’on doive évaluer une expression numérique hors contexte. Telles que présentées
précédemment, les parenthèses aident à prioriser les opérations à effectuer, comme dans les expressions numériques
On pourrait aussi décider de donner la priorité à l’addition sur la multiplication :
Devant une expression numérique de ce genre, certaines règles ont été établies afin de lever toute ambiguïté et d’uniformiser son traitement. Une de ces règles stipule que les multiplications et les divisions s’effectuent avant les additions et les soustractions. Dans ce contexte, la façon convenue d’évaluer l’expression précédente est :
L’acronyme PEDMAS est souvent présenté aux élèves pour les aider à retenir l’ensemble des règles qui définissent la priorité des opérations. Le « P » représente les parenthèses qu’il faut traiter en premier. Le « E » désigne les exposants qui sont évalués ensuite. Le « D » et le « M » représentent la division et la multiplication, opérations à effectuer selon l’ordre dans lequel elles paraissent. Enfin, l’addition et la soustraction correspondent aux lettres « A » et « S ». Ces deux dernières opérations sont effectuées en dernier lieu selon l’ordre dans lequel elles paraissent.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année,
p. 108-110.
Certaines calculatrices respectent la priorité des opérations, alors que d’autres ne le font pas (par exemple, si on
appuie sur les touches
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 120.
Habileté : utiliser les relations entre les opérations
Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Au cycle primaire, les élèves ont établi des liens entre les opérations à travers diverses activités. Par exemple, les élèves savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, les élèves développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.
Les opérations fondamentales, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont intimement reliées malgré leurs différences apparentes. Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elles et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 97.
L’addition et la soustraction
L’addition et la soustraction ne sont que des opérations qui surviennent dans des problèmes. Il faut donc éviter de parler de « problèmes de soustraction » ou « problèmes d’addition », car c’est la compréhension de la situation, ainsi que la compréhension des opérations qui font choisir la stratégie de résolution de problèmes à adopter, en l’occurrence le choix de l’addition ou de la soustraction. Donc, les élèves doivent analyser le problème, choisir une stratégie et l’appliquer, tout comme le font les adultes. Dans ce contexte, le rôle du personnel enseignant est d’aider les élèves dans leur analyse et dans leur compréhension des opérations.
Il est important de noter que les problèmes présentés dans le tableau semblent similaires en raison de leur contexte. Or pour les élèves, chaque situation représente un problème particulier. C’est en maîtrisant ces divers types de problèmes que les élèves acquièrent une maîtrise de l’addition et de la soustraction.
Types de problèmes relatifs à l’addition et la soustraction

Image Le tableau s'intitule « Types de problèmes relatifs à l'addition et à la soustraction ». Il présente deux colonnes : « Types de problèmes », qui possède toujours une seule case, et « Quantités inconnues », qui possède deux ou trois cases. Premier type de problème : problèmes d'ajout. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Quantité finale inconnue. Tiret plus tiret égale point d'interrogation. Paul a 25 cartes. Il en achète 12 autres au dépanneur. Combien de cartes a-t-il à présent? 25 plus 12 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité initiale inconnue. Point d'interrogation plus tiret égale tiret. Paul a une collection de cartes. Il en achète 12 autres au dépanneur. Il a maintenant 37 cartes dans sa collection. Combien de cartes Paul avait-il au départ? Point d'interrogation plus douze égale 37. Troisième case : Quantité ajoutée inconnue. Tiret plus point d'interrogation égale tiret. Paul a 25 cartes. Il en achète d'autres au dépanneur. Il a maintenant 37 cartes. Combien de cartes Paul a-t-il achetées? 25 plus point d'interrogation égale 37. Deuxième type de problème : problèmes de retrait. Sous « quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Quantité finale inconnue. Tiret moins tiret égale point d'interrogation. Ahmed a 97 billes. Il en perd 75 dans un tournoi. Combien de billes a-t-il? 97 moins 75 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité initiale inconnue. Point d'interrogation moins tiret égale tiret. Après un tournoi de billes, Ahmed compte ses billes. Il en a 22. Il sait qu'il a perdu 75 billes. Combien de billes avait-il au début du tournoi? Point d'interrogation moins 75 égale 22. Troisième case : Quantité retirée inconnue. Tiret moins point d'interrogation égale tiret. Ahmed a 97 billes au début d'un tournoi. À la fin du tournoi, il lui en reste 22. Combien de billes a-t-il perdues? 97 moins point d'interrogation égale 22. Troisième type de problème : Problèmes de réunion. Sous « quantités inconnues », il y a deux cases. Première case : Tout inconnu. Tiret plus tiret égale point d'interrogation. Pierre et Misha préparent un sac de billes qu'ils veulent offrir à leur ami. Pierre dépose 40 billes dans le sac et Misha, 36. Combien de billes le sac contient-il? 40 plus 36 égale point d'interrogation. Deuxième case : Partie du tout inconnue. Tiret plus point d'interrogation égale tiret. Pierre et Misha préparent un sac de billes qu'ils veulent offrir à leur ami. Pierre dépose 40 billes dans le sac. Misha en dépose aussi. Il y a maintenant 76 billes dans le sac. Combien de billes Misha a-t-il déposées dans le sac? 40 plus point d'interrogation égale 76. Quatrième type de problème : Problèmes de comparaison. Sous « quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Différence inconnue. Tiret moins tiret égale point d'interrogation. Rihad a 41 petites autos et Pedro en a 28. Combien en a-t-elle de plus que Pedro? 41 moins 28 égale point d'interrogation. Deuxième case : Quantité de référence inconnue. Point d'interrogation moins tiret égale tiret. Pedro a 28 petites autos. Rihad en a 13 de plus. Combien de petites autos a-t-elle? Point d'interrogation moins 28 égale 13. Troisième case : Quantité comparée inconnue. Tiret moins point d'interrogation égale tiret. Rihad a 41 petites autos. Elle en a 13 de plus que Pedro. Combien d'autos Pedro a-t-il? 41 moins point d'interrogation égale 13.
Les problèmes d’ajout et de retrait sont perçus par les élèves comme des situations actives, plus faciles à modéliser et à « voir », car la quantité initiale augmente ou diminue. Les problèmes de réunion, cependant, supposent une situation statique, car aucune action ou aucun changement ne se produit, ce qui les rend plus abstraits et plus difficiles à comprendre.
Les problèmes de comparaison, quant à eux, traitent de la relation entre deux quantités en les opposant : il n’y a donc pas d’action, mais une comparaison d’une quantité à une autre.
Puisque les élèves sont exposés régulièrement à des problèmes dont la quantité finale est recherchée, elle et ils les
résolvent plus aisément. Cependant, elles et ils ont plus de mal à résoudre les problèmes dont la variable est la
quantité initiale, la quantité ajoutée ou la quantité retirée. Ces problèmes aident à développer une compréhension
plus solide des opérations d’addition et de soustraction et des liens entre les opérations. Par exemple, dans le cas
des problèmes d’ajout dont la variable est la quantité initiale, les élèves voient plus facilement les avantages de
l’addition (par exemple,
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 81-84.
La multiplication et la division
Pour comprendre la multiplication et la division, il faut reconnaître les trois types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale (par exemple, 8 fleurs), le nombre de groupes égaux (par exemple, 4 pots) et la taille de chaque groupe (par exemple, 2 fleurs par pot).

Dans les problèmes présentés aux élèves, on associe trop souvent la division à un seul sens, soit le partage. Le sens de groupement est habituellement négligé. La division a un sens de partage lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus (par exemple, 3 élèves veulent se partager équitablement 15 pommes et on cherche le nombre de pommes que chacun recevra).

La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille des groupes) sont connus (par exemple, on a 15 pommes et on veut les placer dans des sacs, 3 pommes par sac; on cherche le nombre de sacs qu’il faut).

Il est essentiel de traiter des deux types de problèmes, puisqu’ils sont la base de l’intégration d’autres concepts mathématiques. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’elles et ils aient l’occasion d’en résoudre de divers types, tout en employant une variété de stratégies.
Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division

Image Le tableau s'intitule « Types de problèmes relatifs à la multiplication et à la division ». Il présente deux colonnes : « Types de problèmes », qui possède toujours une seule case, et « Quantités inconnues », qui possède deux ou trois cases. Premier type de problème : Problèmes de groupes égaux. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Julie a acheté cinq livres pour ses camarades. Chaque livre a coûté deux dollars. Combien a-t-elle dépensé pour tous ces livres? Cinq fois deux égale point d'interrogation. Deuxième case : Tailles des groupes inconnue, sens de partage. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Julie a dix livres. Elle veut les donner à cinq de ses camarades de manière que chacun en reçoive le même nombre. Combien de livres recevra chaque camarade? Dix divisé par cinq égale point d'interrogation. Troisième case : Nombre de groupes inconnu, sens de regroupement. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Julie a acheté dix livres pour ses camarades et prépare des sacs-cadeaux. Elle met deux livres dans chaque sac. Combien de sacs-cadeaux Julie a-t-elle utilisés? Dix divisé par deux égale point d'interrogation. Deuxième type de problème : Problèmes de comparaison. Sous « Quantités inconnues », il y a trois cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Mustapha a deux dollars. Michel a quatre fois plus de dollars que lui. Combien d'argent Michel a-t-il? Quatre fois deux égale point d'interrogation. Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation ou tiret fois point d'interrogation égale tiret. Michel a huit dollars. Il a quatre fois plus d'argent que Mustapha. Combien d'argent Mustapha a-t-il? Huit divisé par quatre égale point d'interrogation ou quatre fois point d'interrogation égale huit. Troisième case : Multiplicateur inconnu. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation ou point d'interrogation fois tiret égale tiret. Michel a huit dollars et Mustapha a deux dollars. Michel a combien de fois plus d'argent que Mustapha? Huit divisé par deux égale point d'interrogation ou point d'interrogation fois deux égale huit. Troisième type de problème : Problèmes de combinaison. Sous « Quantités inconnues », il y a deux cases. Première case : Produit inconnu. Tiret fois tiret égale point d'interrogation. Ahmed a trois pantalons et cinq chemises. Combien de tenues différentes Ahmed a-t-il? Trois fois cinq égale point d'interrogation. Deuxième case : Taille d'un ensemble inconnue. Tiret divisé par tiret égale point d'interrogation. Ahmed a des chemises et des pantalons neufs. Il a 15 tenues différentes en tout. S'il a trois pantalons, combien de chemises Ahmed a-t-il? 15 divisé par trois égale point d'interrogation.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 84-85.
Effet des opérations
Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou
diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu. Suivre l’effet des opérations sur les nombres
permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération. Par exemple, si
on soustrait 8 de 160, on remarquera peu d’effet, car la différence entre 160 et 152 est relativement petite.
Cependant, si on divise 160 par 8, l’effet produit est grand, car le quotient obtenu, soit 20, est beaucoup plus petit
que 160. On peut aussi comparer l’effet produit par une addition à celui produit par une multiplication.
Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Par exemple, lorsque le nombre 160
est multiplié par 8, on obtient 1 280, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 168. Les gens qui possèdent un
bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les élèves en
apprentissage sont souvent impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication. Une mise en garde s’impose :
il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions
peuvent avoir des effets différents que ceux sur les nombres naturels. Dans certains cas, l’effet peut même être
l’inverse. En effet, si on multiplie un nombre naturel par un autre nombre naturel, le produit est plus grand que les
deux facteurs (par exemple, si on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus grand que 6 et 3), alors que si on
multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit qu’un des deux facteurs (par exemple,
si on multiplie
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90-91.
Habileté : résoudre des problèmes nécessitant plus d’une opération
Que ce soit un problème comportant une opération ou plus d’une opération, les élèves doivent prendre des décisions et faire des choix en fonction du contexte. Une approche axée sur la résolution de problèmes les initiera à cette réflexion. Devant un problème, il faut d’abord l’analyser afin d’en déterminer les données et de comprendre qu’un calcul doit être effectué. Ensuite, il faut savoir si, selon le contexte, on cherche une réponse approximative ou une réponse exacte. Dans les deux cas, selon le contexte et les nombres en cause, il faut ensuite déterminer si le calcul sera effectué mentalement, par écrit ou à l’aide d’une calculatrice. Enfin, le calcul désiré est effectué.
Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème

Image Schéma de la réflexion faite par les élèves devant un problème.
Le schéma est constitué d'expressions dans des bulles qui se relient à d'autres par des flèches. Bulle de départ : Situation de résolution de problèmes. La bulle se relie à « Calcul à effectuer ». Cette dernière se relie à deux expressions. Première expression : « Nécessité d'une réponse approximative, estimation ». Deuxième expression : « Nécessité d'une réponse exacte ». Toutes deux se lient à ces trois bulles : « Utilisation du calcul mental », « Utilisation d'une méthode papier-crayon » et « Utilisation de la calculatrice ».
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 117.
Connaissance : propriétés des opérations
Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause.
Les propriétés des opérations sont :
- La commutativité :
; - L’associativité :
; - La distributivité :
; - L’élément neutre :
; ; ; ; - L’élément absorbant :
; .
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Connaissance : la commutativité
Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la
composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple,
Généralisation :
Connaissance : l’associativité
L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur.
Généralisation :
Connaissance : la distributivité
La multiplication est distributive sur l’addition et sur la soustraction.
La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. Par exemple,
- on peut multiplier
et arriver au même résultat que si on avait effectué ; - on peut multiplier
en faisant .
Généralisation :
Connaissance : élément absorbant
Dans une multiplication, le 0 a pour effet d’« absorber » l’autre facteur. Ainsi, peu importe le nombre multiplié par
0, le produit sera toujours 0 (par exemple,
Généralisation :
Connaissance : élément neutre
Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet pour une opération donnée. Ainsi, le
nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple,
Généralisation :
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102-107.
Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
Le sens des opérations fait appel à la capacité de représenter des situations avec des symboles et des nombres. Comprendre la signification des opérations, et les relations entre elles, permet de choisir l’opération qui représente le mieux une situation et permet de résoudre le plus efficacement le problème, compte tenu des outils disponibles.
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.
- La multiplication peut être associée à une addition répétée.
- La division peut être associée à une soustraction répétée.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.