B2.1 Utiliser les propriétés des opérations et les relations entre les opérations pour résoudre des problèmes comprenant des nombres naturels et des nombres décimaux, y compris des problèmes nécessitant plus d’une opération, et vérifier la vraisemblance des calculs.
Habileté : utiliser les propriétés des opérations
Comprendre les propriétés des opérations et les relations entre ces opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Un bon sens des opérations repose sur une bonne connaissance des relations entre les nombres et entre les opérations.
Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en
cause; à titre d’exemple, l’addition est commutative puisque
La compréhension des propriétés des opérations permet de développer des stratégies efficaces de calcul; par exemple,
puisque la multiplication est distributive, on peut calculer
Au cycle primaire, les élèves ont pu aborder certaines de ces propriétés de façon intuitive. Les élèves du cycle moyen doivent comprendre les propriétés des opérations présentées ci-après et apprendre à les utiliser en situation de résolution de problèmes.
Commutativité
L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, on peut démontrer la commutativité de l’addition
comme suit : il y a 44 pommes dans un panier et 32 dans un autre. Le nombre total de pommes sera le même que l’on
ajoute les pommes du 1er panier à celles du 2e ou qu’on fasse le contraire. Ainsi,
On peut aussi démontrer la commutativité de la multiplication. Par exemple,

Et

Les 2 dispositions précédentes représentent la même quantité totale, organisée de 2 façons différentes. De ce fait,
elles illustrent 2 situations différentes. Ainsi,
On peut aussi utiliser un exemple du quotidien. Par exemple, le personnel enseignant invite 3 élèves qui ont exactement un frère ou une sœur à venir représenter au tableau le nombre d’enfants dans leur famille. Le nombre total d’enfants est représenté par des enfants, pour un total de 6 enfants (Figure 1).
Ensuite, le personnel enseignant fait la même démarche avec 2 enfants qui ont exactement 2 frères ou sœurs. Le nombre total d’enfants est représenté par des enfants, pour un total de 6 enfants (Figure 2).
Figure 1

Figure 2

Les 2 phrases mathématiques,
Lorsqu’on utilise la commutativité de la multiplication, on s’intéresse davantage à la réponse, sans égard à la situation.
Par exemple, même si on cherche
Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves perçoivent souvent la multiplication comme une addition répétée. En tentant de résoudre une variété de problèmes, elles et ils peuvent utiliser la commutativité de la multiplication pour développer une stratégie plus efficace de calcul.
Par exemple, les élèves qui utilisent l’addition répétée reconnaîtraient que
Une disposition rectangulaire est un excellent modèle visuel pour représenter la commutativité de la multiplication.

Associativité
Dans l’expression
L’associativité de la multiplication [par exemple,
Dans la figure 1, on voit qu’il y a 2 rangées de 5 cubes, soit

On peut aussi considérer la figure 3, qui illustre 3 étages de 2 cubes, soit

On voit donc que
Devant une expression numérique telle que
L’associativité ne change pas l’ordre des nombres d’une expression numérique. On peut cependant jumeler l’associativité et la commutativité pour faciliter l’évaluation d’une expression numérique.
Par exemple, pour déterminer la valeur de l’expression
La décomposition d’un nombre en produit de facteurs, de pair avec l’associativité, peut aussi s’avérer utile. Par
exemple, le nombre 24 peut être représenté par
Distributivité
La multiplication est distributive sur l’addition. Par exemple, on peut multiplier
L’exemple suivant illustre comment on peut utiliser la distributivité pour calculer

Voici un exemple de l’utilisation de la distributivité pour effectuer des opérations avec des nombres décimaux, par
exemple
Dans un cas, on décompose le facteur 4 pour obtenir

Il existe un lien important entre la distributivité et l’algorithme usuel de multiplication. Par exemple, pour
calculer

Pour calculer

Seule la multiplication est distributive. On pourrait reconnaître que la division est partiellement distributive. Par
exemple, pour calculer
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102-105.
Une propriété peut être utilisée pour vérifier une réponse. Par exemple,
Source : adapté du Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année , 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Habileté : utiliser les relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
Comprendre les relations entre les opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elles et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles. Les élèves peuvent même utiliser des stratégies d’addition ou de soustraction pour résoudre des multiplications et des divisions.
Au cycle primaire, les élèves ont établi des liens entre les opérations à travers diverses activités. Par exemple, elles et ils savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, elles et ils développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 97.
L’addition et la soustraction
L’addition et la soustraction sont des opérations inverses. Toute situation de soustraction peut être considérée comme une situation d’addition (par exemple, 154 - 48 = ? équivaut à 48 + ? = 154) et vice versa.
Or, lorsqu’elles et ils sont en apprentissage, les élèves ont souvent de la difficulté à résoudre des équations telles que 17 + Δ= 31. Plusieurs membres du personnel enseignant incitent alors leurs élèves à utiliser l’opération inverse, soit la soustraction. Or, il peut s’agir d’apprendre un truc, à moins que les élèves comprennent pourquoi la soustraction est une stratégie possible. Elles et ils doivent d’abord saisir la relation du tout et de ses parties ainsi que le sens d’une différence.
Par exemple, un nombre peut être représenté comme suit :

Cette façon de représenter la relation entre un nombre et ses parties permet de voir que la soustraction est l’opération inverse de l’addition.
Ainsi, puisque
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 97-98.
Il est aussi possible de représenter les nombres décimaux ainsi :

Nous pouvons également utiliser l’addition pour résoudre une soustraction; on appelle cette stratégie « additionner
pour soustraire ». Par exemple, pour résoudre
Cette relation inverse peut être utilisée pour effectuer et vérifier des calculs.
La multiplication et la division
La multiplication et la division sont aussi des opérations inverses. On peut également les relier au concept de tout
et de ses parties. Dans la multiplication, on regroupe les parties qui sont des groupes égaux, alors que dans la
division, on décompose un tout en groupes égaux. À partir de cette relation entre la multiplication et la division,
les élèves peuvent utiliser les faits numériques relatifs à la multiplication pour effectuer une division. Il arrive
souvent que les élèves saisissent mal la relation d’opération inverse entre la multiplication et la division (par
exemple, reconnaître que
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 98.
La multiplication représente le résultat du rassemblement d’objets à partir de groupes égaux alors que la division représente la répartition d’objets en groupes égaux. Pour comprendre la multiplication et la division, il faut reconnaître les 3 types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale (par exemple, 8 fleurs), le nombre de groupes égaux (par exemple, 4 pots) et la taille de chaque groupe (par exemple, 2 fleurs par pot).

Dans les problèmes présentés aux élèves, on associe trop souvent la division à un seul sens, soit le partage. Le sens de groupement est habituellement négligé. La division a un sens de partage lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus (par exemple, 3 élèves veulent se partager équitablement 15 pommes et on cherche le nombre de pommes que chacun recevra).

La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille des groupes) sont connus (par exemple, on a 15 pommes et on veut les placer dans des sacs, 3 pommes par sac; on cherche le nombre de sacs qu’il faut).

Il est essentiel de traiter des 2 types de problèmes, puisqu’ils sont la base de l’intégration d’autres concepts mathématiques. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’elles et ils aient l’occasion d’en résoudre de divers types, tout en employant une variété de stratégies.

La multiplication et l’addition
Le lien entre la multiplication et l’addition est souvent le point de départ pour présenter le concept de multiplication.
Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves reconnaissent que la situation présente « plusieurs fois » une même quantité et elles et ils utilisent des groupes égaux pour représenter la situation et l’addition répétée pour obtenir la réponse. À mesure que les élèves progressent, il est important qu’elles et ils y voient le concept de multiplication plutôt que celui d’addition et qu’elles et ils apprennent d’autres représentations. La disposition rectangulaire, un agencement de rangées et de colonnes, s’avère un modèle puissant dans l’apprentissage de la multiplication et permet de voir cette opération sous un angle différent.

En résolvant une variété de problèmes et en discutant de stratégies, les élèves en viennent à établir et à saisir le lien entre le mot « fois » et le signe « × », étape cruciale dans le développement de la compréhension de la multiplication. Une fois leur sens de la multiplication bien ancré, ils ont recours plus régulièrement à l’opération de multiplication pour obtenir les réponses.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 84-86.
La division et la soustraction
Dans le même ordre d’idées, la division peut être associée à une soustraction répétée, mais pas de la même façon. Le
produit d’une multiplication est égal à la somme résultant de l’addition répétée, alors que le quotient d’une division
est égal au nombre de soustractions répétées (par exemple, pour calculer
Il faut du temps pour que les élèves assimilent ces relations. Pour y parvenir, le personnel scolaire peut avoir recours à des activités concrètes, à la résolution de problèmes et à des échanges mathématiques orientés vers les liens entre les opérations.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 98-99.
Effet des opérations
Chaque opération produit un effet sur les quantités en cause. Selon l’opération, certaines quantités augmentent ou diminuent. Elles peuvent augmenter ou diminuer de beaucoup ou de peu.
Suivre l’effet des opérations sur les nombres permet aux élèves d’établir les liens entre les opérations et d’anticiper le résultat d’une opération. Par exemple, si on soustrait 8 de 160, on remarquera peu d’effet, car la différence entre 160 et 152 est relativement petite. Cependant, si on divise 160 par 8, l’effet produit est grand, car le quotient obtenu, soit 20, est beaucoup plus petit que 160. On peut aussi comparer l’effet produit par une addition à celui produit par une multiplication.
Comparativement à la multiplication, l’addition fait augmenter un nombre de peu. Par exemple, lorsque le nombre 160 est multiplié par 8, on obtient 1 280, alors que si on lui ajoute 8, on n’obtient que 168. Les gens qui possèdent un bon sens des opérations reconnaissent l’effet des opérations sur les nombres naturels, mais les élèves en apprentissage sont souvent impressionnés par l’effet, par exemple, de la multiplication.
Une mise en garde s’impose : il faut faire preuve de prudence lorsqu’on généralise, car les opérations sur les nombres décimaux ou les fractions peuvent avoir des effets différents que ceux sur les nombres naturels.
Dans certains cas, l’effet peut même être l’inverse. En effet, si on multiplie un nombre naturel par un autre nombre
naturel, le produit est plus grand que les 2 facteurs (par exemple, si on multiplie 3 par 6, le produit 18 est plus
grand que 6 et 3), alors que si on multiplie une fraction propre par un nombre naturel, le produit est plus petit
qu’un des 2 facteurs (par exemple, si on multiplie
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90 à 91.
Avec les élèves, explorer ces idées en leur faisant découvrir l’effet des opérations. En dyades, leur proposer ces opérations et par la suite d’observer les effets des opérations sur les nombres.
Les élèves peuvent utiliser des modèles, tels que la droite numérique pour montrer les opérations.
Animer un échange mathématique afin de faire ressortir l'effet des diverses opérations.
Connaissance : propriétés des opérations
Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Les propriétés des opérations sont :
- La commutativité :
; - L’associativité :
; - La distributivité :
; - L’élément neutre :
- L’élément absorbant :
Connaissance : la commutativité
Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la
composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple,
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Connaissance : l’associativité
L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une
expression de différentes façons sans en modifier la valeur. Par exemple,
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 105.
Connaissance : la distributivité
La multiplication est distributive sur l’addition et sur la soustraction.
La propriété de distributivité permet d’effectuer une opération sur une somme ou une différence de termes et d’obtenir le même résultat que si l’opération avait été effectuée sur chaque terme. Par exemple,
- on peut multiplier
et arriver au même résultat que si on avait effectué ; - on peut multiplier
en faisant .
Source: inspiré de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 104.
Connaissance : élément absorbant
Dans une multiplication, le 0 a pour effet d’« absorber » l’autre facteur. Ainsi, peu importe le nombre multiplié par
0, le produit sera toujours 0 (par exemple,
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 107.
Connaissance : élément neutre
Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet pour une opération donnée. Ainsi, le
nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple,
La soustraction et la division n’ont pas d’élément neutre. Dans une soustraction, le nombre 0 ne produit aucun effet
lorsqu’il est le 2e terme (par exemple,
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 107.
Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
Les opérations fondamentales, soit l’addition, la soustraction, la multiplication et la division sont intimement reliées malgré leurs différences apparentes.
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.
- La multiplication peut être associée à une addition répétée.
- La division peut être associée à une soustraction répétée.