GEEM - Habiletés et connaissances

B2.3 Utiliser des stratégies de calcul mental pour multiplier un nombre naturel par 10, 100 et 1 000 et pour diviser un nombre naturel par 10, et additionner et soustraire des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes, et expliquer les stratégies utilisées.

Habileté : utiliser des stratégies de calcul mental pour multiplier un nombre naturel par 10, 100 et 1 000

L’habileté à utiliser le calcul mental pour multiplier par 10, 100 et 1 000 et diviser par 10 est basée sur le rapport de 10 : 1 qui existe entre les valeurs de position. Afin de bien représenter ce rapport, on utilise un tapis de valeur de position.

Lorsque l’élève multiplie par 10, elle ou il multiplie mentalement en visualisant le déplacement du facteur qui est multiplié par 10 d’une colonne vers la gauche dans un tapis de valeur de position.

Par exemple,

$3 \times 10$

L’élève peut aussi visualiser 3 bâtonnets de $1 \times 10$ pour effectuer la multiplication $3 \times 10$ .

Alors, le produit de $3 \times 10$ est 30.

Lorsque l’élève multiplie par 100, elle ou il multiplie mentalement en visualisant le déplacement du facteur qui est multiplié par 100 de deux colonnes vers la gauche dans un tapis de valeur de position.

Par exemple,

$3 \times 100$

L’élève peut aussi visualiser 3 planchettes de $10 \times 10$ pour effectuer la multiplication $3 \times 100$ .

Alors, le produit de $3 \times 100$ est 300.

Lorsque l’élève multiplie par 1 000, elle ou il multiplie mentalement en visualisant le déplacement du facteur qui est multiplié par 1 000 de trois colonnes vers la gauche dans un tapis de valeur de position.

Par exemple,

$3 \times 1 000$

L’élève peut aussi visualiser 3 gros cubes de $10 \times 10 \times 10$ pour effectuer la multiplication $3 \times 1 000$ .

Alors, le produit de $3 \times 1 000$ est 3 000.

Habileté : utiliser des stratégies de calcul mental pour diviser un nombre naturel par 10

L’habileté à utiliser le calcul mental pour diviser par 10 est basée sur le rapport de 10 : 1 qui existe entre les valeurs de position. Afin de bien représenter ce rapport, on utilise un tapis de valeur de position.

Lorsque l’élève divise par 10, elle ou il divise mentalement en visualisant le déplacement de chaque chiffre du dividende d’une colonne vers la droite dans un tapis de valeur de position.

Par exemple,

$210 \div 10$

L’élève peut aussi visualiser 2 planchettes de $10 \times 10$ pour effectuer la division $210 \div 10$ . Elle ou il peut décomposer 210 en 100 + 100 + 10 pour ensuite diviser chacun par 10.

Une centaine divisée en 10 donne des groupes de 10.

Une autre centaine divisée en 10 donne des groupes de 10.

Une dizaine divisée en 10 donne des groupes de 1.

Le quotient de la division $210 \div 10$ est 21.

Les élèves doivent apprendre à maîtriser l’effet de la multiplication et de la division par des multiples de 10. L’explication de ces opérations se résume souvent à l’énoncé suivant : « Lorsqu’on multiplie par 10, on ajoute un zéro et lorsqu’on divise par 10, on enlève un zéro ». Cet énoncé est à déconseiller, car il ne tient pas compte de la compréhension des opérations et les élèves sont alors encouragés à appliquer un « truc » de façon mécanique.

Il est utile pour les élèves de reconnaître que des opérations comme $5 \times 10$ ou $130 \div 10$ peuvent être considérées comme $5 \times 1$ dizaine, 13 dizaines ÷ 1 dizaine. On peut alors mieux comprendre l’apparition ou la disparition des chiffres « 0 » dans les opérations.

Opération	Interprétation	Résultat
$5 \times 10$	$5 \times 1$ dizaine	5 dizaines, c'est 50
$130 \div 10$	130 séparé en groupes d'une dizaine	13

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 91-92.

Habileté : utiliser des stratégies de calcul mental pour additionner et soustraire des nombres décimaux jusqu’aux dixièmes, et expliquer les stratégies utilisées

Pour additionner efficacement des nombres décimaux, les élèves doivent comprendre la valeur de position des chiffres qui composent chacun des nombres et en tenir compte dans leurs calculs. Les élèves doivent aussi reconnaître que la virgule est un repère qui permet d’identifier la valeur de position des chiffres.

Lorsqu’on additionne des nombres décimaux, le concept de regroupement est utilisé tout comme lors de l’addition de nombres naturels. Par exemple, tout comme l’on peut ajouter 3 centaines à 8 centaines pour former 11 centaines, on peut ajouter 3 dixièmes à 8 dixièmes pour former 11 dixièmes. Or, puisque le système décimal ne permet pas d’inscrire deux chiffres dans une même position, les élèves doivent comprendre le concept de regroupement.

Centaines	Dizaines	Unités,	Dixièmes
		0,	3
		0,	8
		1,	1

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 98.

Au cours de la soustraction, il est important, comme il l’était dans le cas de l’addition, de tenir compte de la valeur de position des chiffres qui composent les nombres. Les stratégies pour soustraire les nombres décimaux sont essentiellement les mêmes que celles utilisées pour soustraire les nombres naturels.

L’élève peut conclure qu’un et un dixième est la même chose que onze dixièmes. À l’aide de mots, il est plus facile d’effectuer la soustraction de onze dixièmes moins huit dixièmes, qui donne 3 dixièmes.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 101.

Calcul mental

La vie quotidienne présente de nombreuses occasions d’effectuer des opérations sur les nombres décimaux. Par exemple, les achats et les mesures font appel aux nombres décimaux. L’habileté à estimer et l’habileté à calculer mentalement sont des caractéristiques du sens du nombre et du sens des opérations. Diverses stratégies de calcul mental peuvent être utilisées dont l’arrondissement, la décomposition et la compensation, entre autres. Voici quelques exemples de leur utilisation en situation de calcul mental.

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 91.

Exemple 1

Annie veut savoir combien de bois acheter pour bâtir une niche pour son chien. La niche mesure :

1,2 m en hauteur

1,7 m en longueur

0,6 m en largeur

Estimation :

$\begin{aligned} 1, 2 + 1, 7 + 0, 6 & \approx 1 + 2 + 1 \\ \approx 4 \end{aligned}$

Stratégie : Addition effectuée à l’aide de la compensation

Je sais que 0,8 + 0,2 = 1 alors je déplace mentalement 0,7 et 0,1 au 0,2. J’ai alors 2 unités, 1 unité et 5 dixièmes.

Stratégie : Addition effectuée à l’aide de la décomposition et la compensation

Exemple 2

La chienne de Casimir a donné naissance à 2 chiots. La vétérinaire explique que les chiots doivent peser au moins 24,7 kg lorsqu’ils ont six mois pour être en bonne santé. Casimir veut savoir combien de poids chaque chiot doit prendre. Le premier chiot pèse 3,8 kg et le deuxième chiot pèse 4,4 kg.

Estimation :

Chiot 1 : $\begin{aligned} 24, 7 - 3, 8 & \approx 25 - 4 \\ \approx 21 \end{aligned}$

Chiot 2 : $\begin{aligned} 24, 7 - 4, 4 & \approx 25 - 4 \\ \approx 21 \end{aligned}$

Stratégie : Soustraction effectuée à l’aide de la décomposition

Je décompose mentalement chaque terme en unités et en dixièmes.

$\begin{aligned} 24, 7 - 3, 8 & = (23 - 3) + (1, 7 - 0, 8) \\ = 20 + 0, 9 \\ = 20, 9 k g \end{aligned}$

$\begin{aligned} 24, 7 - 4, 4 & = (24 - 4) + (0, 7 - 0, 4) \\ = 20 + 0, 3 \\ = 20, 3 k g \end{aligned}$

La masse de chiot 1 doit augmenter de 20,9 kg.

La masse de chiot 2 doit augmenter de 20,3 kg.

Stratégie : Compensation à l’aide de la droite numérique

Chiot 1 :

J’identifie 24,7 et 3,8 sur ma droite et je représente la distance entre les deux nombres à l’aide d’un rectangle. Afin de faciliter la soustraction, je déplace mentalement mon rectangle vers la gauche à 3 au lieu de 3,8. Mon rectangle est donc déplacé de 0,8 des deux côtés. Puisque la grandeur de mon rectangle reste inchangée, c’est-à-dire l’écart reste pareil, la fin de celui-ci est maintenant à 23,9. Ma soustraction devient $23, 9 - 3$ .

$\begin{aligned} 24, 7 - 3, 8 & = (24, 7 - 0, 8) - (3, 8 - 0, 8) \\ = 23, 9 - 3 \\ = 20, 9 k g \end{aligned}$

Il est beaucoup plus facile d’enlever 3 unités de 23,9.

$23, 9 - 3 = 20, 9$

La masse de chiot 1 doit augmenter de 20,9 kg.

Exemple 3

Dans cette vidéo, les élèves réfléchissent, partagent et développent différentes stratégies de calcul mental en lien avec l'addition de nombres décimaux.

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Description de la vidéo

[Vidéodescription]

Devant un grand tableau blanc, un enseignant s'adresse à son groupe-classe.

[Professeur]

Bonjour, les élèves. Voici notre calcul. 5 et 8 dixièmes plus... ça.

[Vidéodescription]

Au tableau, au moyen d'un marqueur noir, il écrit : 5,8 + 0,31.

[Professeur]

Je vous donne du temps pour y réfléchir. Lorsque tu as un début d'idée ou une réponse, une façon de faire, tu mets ton pouce devant toi. Ça, ça me donne le signal que tu as quelque chose dans la tête. Vous pouvez parler avec quelqu'un tout de suite. Qu'est-ce que tu as fait? Comment le fais-tu?

[propos entremêlés des élèves]

[Professeur]

Je veux savoir vos réponses. Ça se peut que tes réponses soient différentes des autres, c'est correct. Ensuite, on va partager nos stratégies. Puis là, peut-être que tu vas changer d'idée à la lumière de nouvelles informations ou des idées des autres, et tu vas te dire : « Peut-être que j'ai fait une erreur », ou peut-être que ça va confirmer tes idées. 5 et 8 dixièmes plus 31 centièmes. Qu'est-ce que tu as trouvé?

[Élève 1]

J'ai trouvé 6 et 11 centièmes.

[Professeur]

OK. 6 et 11 centièmes, comme ça?

[Vidéodescription]

Il écrit 6,11 au tableau.

[Professeur]

Est-ce qu'il y a quelqu'un qui a trouvé quelque chose de différent? Oui.

[Élève 2]

5 et 39 centièmes.

[Vidéodescription]

Le professeur écrit 5,39 au tableau.

[Professeur]

5 et 39 centièmes. D'accord. Quelque chose de différent? Oui.

[Élève 3]

8,9 dixièmes.

[Vidéodescription]

Le professeur écrit 8,9 au tableau.

[Professeur]

8 et 9 dixièmes écrit comme ça?

[Vidéodescription]

L'élève hoche la tête.

[Professeur]

Oui? OK. Intéressant. Ce calcul, je pense que la difficulté, c'est qu'on est en dixièmes ici, et on est en centièmes ici. OK. En écoutant un groupe ici, quelqu'un a dit : « 5 et 8 dixièmes, c'est aussi 5 et 80 centièmes. »

[Vidéodescription]

Au tableau, le professeur écrit 5,80 au marqueur rouge.

[Professeur]

Est-ce qu'on est d'accord avec ça?

[En choeur]

Oui.

[Professeur]

OK. Il a dit quelque chose d'intéressant. Il a dit : « J'ai fait ça, parce que ça, c'est déjà en centièmes. » Peux-tu nous partager à voix haute pour que toute la classe entende qu'est-ce que tu as fait?

[Élève 4]

Comme t'as déjà dit, monsieur Pierre, j'avais fait 5,80 plus 0,31, qui est égal... Puis là, j'ai enlevé le 5, puis j'ai fait un zéro. Je suis à 0,80 plus 0,31.

[Professeur]

On va ralentir une seconde. Je vais laisser des traces de ce que tu fais parce que ça va peut-être aider quelqu'un aussi à répéter. Ce que t'étais en train de dire ici, c'est que 5...

[Vidéodescription]

Au tableau, le professeur décompose le chiffre 5,80. Il fait un trait à partir du 5 vers le bas et réécrit le chiffre 5. Ensuite, il fait un trait à partir du 80 vers le bas et écrit 0,80.

[Professeur]

As-tu fait comme ça un peu? T'as décomposé les deux?

[Élève 4]

Oui.

[Professeur]

OK. Ensuite, qu'est-ce que tu as fait?

[Élève 4]

J'ai fait le 0,31 plus le 0,80.

[Professeur]

OK. Je vais faire ça sur notre droite. Donc, ton 80 centièmes... Oui...

[Élève]

Plus 0,31.

[Professeur]

OK. 31 centièmes. Oui.

[Vidéodescription]

Au tableau, le professeur trace une droite numérique. Il écrit 0,80 vers la gauche du tracé, puis dessine une flèche courbée partant de ce chiffre et allant à droite en indiquant « plus 0,31 ».

[Élève]

Là, c'est égal à 1,11.

[Vidéodescription]

Au tableau, le professeur écrit 1,11 là où pointe la flèche qui indique « plus 0,31 ».

[Élève]

1 et 11 centièmes plus 5 qui est égal à 6 et 11 centièmes.

[Vidéodescription]

Au tableau, le professeur dessine une flèche courbée partant de 1,11 et allant à droite en indiquant « plus 5 ». Au bout de la flèche, il écrit 6,11 et encercle ce chiffre.

[Professeur]

OK. Est-ce qu'il y a quelqu'un qui a trouvé quelque chose de différent? Vas-y.

[Élève 5]

Ce que j'ai fait : 5,80 plus 20 égal à 6 centièmes.

[Professeur]

OK. Juste une seconde. Tu as ajouté, à 5 et 80 centièmes, 20 centièmes?

[Élève 5]

Oui.

[Professeur]

D'où vient le 20 centièmes?

[Élève 5]

Du 31 centièmes.

[Professeur]

OK. Tu as pris 20 centièmes du 31. D'accord.

[Élève]

C'est égal à 6 centièmes.

[Professeur]

Ensemble, c'est 6.

[Élève]

Plus 11 égal à 6.

[Professeur]

Plus 11, d'accord.

[Vidéodescription]

Le professeur désigne le 0,31 au tableau.

[Professeur]

Parce que tu as enlevé le 20 centièmes d'ici, donc, ça, ça va être 11 centièmes.

[Élève]

Égal à 6,11 centièmes.

[Professeur]

OK. Qui revient à notre même réponse avec notre autre stratégie. Je pense que notre élève a utilisé 80 centièmes et 20 centièmes à cause des connaissances des faits numériques. Un autre fait numérique : 80 plus 20, c'est 100. Ça nous aide à faire des calculs sans trop à avoir à y réfléchir, puis on peut être plus stratégique avec notre stratégie de compensation ici. D'accord. Merci beaucoup, les élèves, pour la participation.

[Fin de la vidéodescription]