B2.2 Se rappeler les faits de multiplication de 1 × 1 à 10 × 10 et les faits de division associés, et démontrer sa compréhension de ces faits.
Habileté : démontrer sa compréhension des faits de multiplication et de division
L’apprentissage des faits numériques de base associés à la multiplication et à la division est incontournable. Comme leur nom l’indique, ils sont la base des opérations et un outil indispensable pour travailler avec de plus grands nombres. Il est important que les élèves apprennent à maîtriser les faits numériques de base.
Or, il existe des stratégies d’enseignement qui permettent aux élèves de les apprendre. Il n’est pas nécessaire d’apprendre les faits par cœur en les répétant et en utilisant des cartes-éclairs. Cette façon de faire, qui entraîne la mémorisation des faits en tant que connaissances distinctes, exige la mémorisation de près de 400 faits isolés. Elle sollicite beaucoup la mémoire, puisque l’apprentissage des faits n’est pas basé sur la création de liens.
L’apprentissage des faits numériques doit plutôt s’appuyer sur l’habileté des élèves à créer des liens et sur leurs
connaissances antérieures. Le rôle du personnel scolaire est de présenter des stratégies et d’outiller les élèves. Par
exemple, pour apprendre les faits de multiplication par 9, les élèves peuvent se servir de la stratégie « c’est un
ensemble de moins que » : on multiplie le nombre par 10 et on soustrait un ensemble. Un élève pourrait donc tenir le
raisonnement suivant :
Avec la pratique, les élèves ont de moins en moins recours aux stratégies et développent des automatismes pour trouver plusieurs faits de base. Les élèves seront peut-être incapables d’énoncer spontanément toutes les réponses des faits numériques de base, mais pourront les trouver rapidement en ayant recours aux stratégies apprises, comme c’est le cas de plusieurs adultes qui ont un excellent sens du nombre.
Les faits sont appris jusqu’à
La liste ci-après présente les stratégies et les propriétés les plus répandues pour l’apprentissage des faits numériques de base. En général, les élèves n’utilisent pas tous les mêmes stratégies. De plus, ils n’emploient pas toutes les stratégies existantes, mais en choisissent habituellement une ou plusieurs, selon leur habileté et les faits numériques traités.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 88-89.
La multiplication peut être représentée sous forme d’addition répétée, de dispositions rectangulaires ou d’un ensemble de groupes égaux.
Voici quelques propriétés et stratégies qui favorisent la compréhension conceptuelle de la multiplication :
- la propriété de l’élément neutre dans la multiplication de nombres naturels (
donne toujours a); - la propriété du 0 dans la multiplication de nombres naturels (
donne toujours 0); - la propriété de commutativité
; - la propriété de distributivité
; - la propriété d’associativité
; - l’opération inverse de la division.
La division peut être représentée sous forme de soustractions répétées, d’une répartition égale ou de partage.
Voici quelques propriétés et stratégies qui favorisent la compréhension conceptuelle de la division :
- la propriété de l’élément neutre dans la division de nombres entiers (
donne toujours a); - le rapport entre la division et le sens de la fraction (12 bonbons divisés en 3 groupes représentent à la fois
et le tout divisé en 3 parties); - l’opération inverse de la multiplication.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 21-22.
Régularités dans des suites de nombres
Les élèves développent une meilleure compréhension du sens des opérations arithmétiques en explorant les régularités qu’elles génèrent dans les suites de nombres. Les élèves peuvent utiliser la droite numérique ou la grille de nombres pour analyser les suites de nombres obtenues lorsqu’on compte par intervalles. Par exemple, si on compte par intervalles de 10 à partir d’un chiffre quelconque de 0 à 9, tous les nombres obtenus se termineront par ce chiffre (par exemple, si on commence à compter à 3, on aura la suite 3, 13, 23, 33, 43…).
L’étude des régularités dans les suites de nombres facilite aussi l’apprentissage des faits numériques de base (par exemple, tous les multiples de 5, soit 5, 10, 15, 20, 25…, se terminent par 5 ou 0) et l’établissement de liens entre les nombres (par exemple, tous les multiples de 10 [▲] sont aussi des multiples de 5 [●]).

… ou encore, tous les multiples de 6 [▲] sont aussi des multiples de 3 [●]).

Les élèves prennent généralement plaisir à découvrir des régularités dans les suites de nombres générées par les opérations arithmétiques, chaque découverte suscitant habituellement un sentiment d’émerveillement. Les activités liées à la recherche de régularités encouragent les élèves à jongler avec les nombres et favorisent le développement de la pensée divergente et de l’esprit d’analyse, deux composantes importantes de la pensée mathématique. De plus, l’habileté à explorer les régularités est essentielle à l’étude de l’algèbre et de la géométrie.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 30-31.
Apprendre les faits numériques de base relatifs à la multiplication et à la division
Pour apprendre les faits numériques de base relatifs à la multiplication et de la division, il ne suffit pas de les mémoriser. Il est important de comprendre que ces opérations peuvent être abordées de façons différentes.
Faits numériques de base relatifs à la multiplication
- Les faits numériques de base de multiplication sont tous les faits de multiplication de
jusqu’à . - Il y a 100 faits de base de multiplication.

Faits numériques de base relatifs à la division
- La grille de multiplication peut aussi servir à la division.
- Les faits numériques de la division sont l’inverse des faits numériques de multiplication, depuis
jusqu’à . - Il y a 90 faits de base pour la division.
- Il n’y a pas de faits comprenant 0 parce qu’il est impossible de se servir de 0 comme diviseur.

Modèles pour représenter des faits numériques de base relatifs à la multiplication et à la division
Plusieurs modèles peuvent être utilisés pour amener les élèves à comprendre la multiplication et la division. Ils permettent aux élèves :
- de saisir le sens des symboles dans les opérations et d’établir des liens entre les dessins/images, les mots et les symboles;
- de comprendre le sens des opérations et d’utiliser différentes représentations – concrètes, semi-concrètes et symboliques.
De nombreux modèles peuvent être élaborés à l’aide du matériel ci-dessous pour amener les élèves à comprendre la multiplication et la division :
- des objets concrets, comme des jetons, des bâtonnets et des carreaux, ainsi que divers contenants pour les y placer;
- des cubes emboîtables;
- du matériel visuel, comme des illustrations;
- des dispositions rectangulaires (arrangement de rangées et de colonnes);
- du matériel de base dix;
- des pièces de monnaie (1 ¢, 5 ¢, 10 ¢, 25 ¢ et 1 $);
- du papier quadrillé;
- des droites numériques;
- des grilles de nombres.
Les modèles de tous genres peuvent aider les élèves à établir des relations et ainsi à mieux comprendre ce que
représentent les symboles dans les opérations. Les élèves ont besoin de travailler avec des représentations qui les
aident à percevoir les relations entre la multiplication et les additions répétées, et entre la multiplication et la
division (les élèves qui font l’apprentissage de la division longue peuvent également tirer parti des représentations
qui les aident à percevoir les divisions longues comme des soustractions répétées ou des additions répétées). La
compréhension des dispositions rectangulaires comme outil de multiplication ou de division se développe avec le temps
et la pratique. Une fois que les élèves peuvent se représenter des faits tels que
Les représentations de tous genres aident les élèves à faire des rapprochements entre les modèles, les symboles et
les mots. On trouvera ci-dessous différentes représentations du fait numérique de base

Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 21-24.
Stratégies de rappel pour apprendre les faits numériques de multiplication et de division
Avant de pouvoir apprendre les faits numériques de la multiplication et de la division, les élèves doivent comprendre comment faire des groupes égaux et les compter, et comment répartir un tout en groupes égaux. Elles et ils doivent aussi savoir compter par intervalles de 2, 3, 4, 5 et 10. Les stratégies portant sur les faits numériques de base relatifs à la multiplication et à la division visent à aider les élèves à s’appuyer sur leurs connaissances et leurs expériences antérieures pour apprendre à utiliser ces nouvelles stratégies (répartition en groupes égaux, compter par intervalles…).
Les stratégies qui suivent ne sont pas présentées selon un ordre particulier. Il arrive que des élèves trouvent certaines stratégies plus utiles que d’autres ou ignorent certaines stratégies au profit de leurs propres stratégies. D’autres trouvent plus facile de mémoriser les faits que de s’appuyer sur une stratégie. Quel que soit le cas, l’objectif premier du personnel enseignant est d’amener tous les élèves à bien comprendre la multiplication et la division.
La commutativité
Les élèves bénéficient d’expériences qui les aident à reconnaître la propriété de commutativité de la multiplication
(
Grille de commutativité

Les faits numériques avec 0 et 1
Les élèves bénéficient d’expériences qui les aident à comprendre le concept d’élément neutre – tout nombre multiplié
ou divisé par 1 donne ce nombre comme résultat (par exemple,
Les doubles
La table de multiplication de 2 devrait être reliée aux connaissances que les élèves ont déjà acquises sur l’addition
de doubles. Cette stratégie est particulièrement importante parce que les élèves qui maîtrisent bien la table de 2
peuvent relier ces faits numériques à la table de multiplication de 3. En effet, si
Le double et encore le double
Les élèves qui maîtrisent les faits relatifs aux doubles (la table de multiplication de 2) peuvent appliquer cette
connaissance à la table de 4. Tout nombre fois 4 donne le même résultat que lorsqu’on multiplie ce nombre par 2 et que
l’on double la réponse (par exemple, 4 x 6 donne le même résultat que
(Van de Walle et Folk, 2005, p. 152, traduction libre)
Le double et un ensemble de plus
De la même façon, les élèves qui maîtrisent les faits numériques relatifs aux doubles (la table de multiplication de
2) peuvent appliquer cette connaissance à la table de 3. En effet, si
(Van de Walle et Folk, 2005, p. 152, traduction libre)
Les faits numériques relatifs à 5
Les élèves qui sont habitués à compter par 5 et à reconnaître les régularités de 5 dans une grille de nombres n’ont généralement pas de difficulté à apprendre les faits numériques de base relatifs à 5. Il existe toute une gamme de chansons, de comptines et de livres d’histoire portant sur le 5 dont on peut se servir pour appuyer l’apprentissage de cette stratégie.
Un ensemble de plus ou un ensemble de moins
Si l’élève sait que
La table de 9
La table de multiplication de 10 est généralement assez facile à apprendre parce que les élèves apprennent à compter
par 10 dès leur plus jeune âge. Une fois la table de 10 bien maîtrisée, les élèves peuvent établir des liens avec la
table de 9 en calculant le fait de multiplication par 10 correspondant et en soustrayant l’autre facteur une fois. Par
exemple, si 10 x 8 donne 80, il s’ensuit que
Le personnel enseignant peut aider les élèves à reconnaître certaines régularités dans la table de 9. Par exemple,
tous les produits de la table de 9 sont composés de chiffres qui, additionnés ensemble, égalent 9

Un certain nombre d’élèves trouvent utile cette méthode kinesthésique pour se rappeler la table de 9. On demande aux
élèves de tenir leurs mains devant eux, doigts écartés comme dans l’illustration. Leurs doigts (depuis le petit doigt
de la main gauche) sont numérotés de 1 à 10 (A). Elles et ils doivent plier le doigt qui représente le multiplicateur
de 9. Ainsi, dans la multiplication
La moitié puis le double
Supposons que l’élève ne peut pas se rappeler un fait numérique donné qui ne comprend que des facteurs pairs. Une
méthode de rechange consiste à prendre la moitié de l’un des facteurs pour trouver le produit et ensuite à doubler ce
produit. Par exemple, s’il est difficile de se rappeler ce que font

La relation inverse de la division et de la multiplication
Les élèves qui maîtrisent les faits numériques de multiplication devraient se servir de ces acquis pour découvrir les faits numériques de division. Il est recommandé d’enseigner simultanément la division et la multiplication afin de mettre en évidence les relations entre les deux. Lorsque les élèves unissent 4 groupes de 5 éléments pour un total de 20, le personnel enseignant devrait les encourager à se rendre compte que lorsque ce total est à nouveau réparti entre 4 groupes, chaque groupe compte 5 éléments.
La séquence d’apprentissage des faits numériques de base relatifs à la division
Une séquence suggérée pour enseigner les faits relatifs à la division consiste à commencer par les faits relatifs à la division par 2, puis la division par 1, par 5, par 3, par 4, par 6, par 7, par 8 et par 9.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 25-29.