B1.4 Représenter des fractions à partir des demis jusqu’aux dixièmes à l’aide de schémas, d’outils et de la notation fractionnaire usuelle, et expliquer la signification du numérateur et du dénominateur.
Habileté : représenter des fractions à partir des demis jusqu’aux dixièmes à l’aide de schémas, d’outils et de la notation fractionnaire usuelle
Représentations à l’aide de modèles
À l’origine des difficultés des élèves avec les fractions, on retrouve trop souvent le peu d’importance accordée aux modèles concrets et semi-concrets. L’utilisation de modèles est essentielle à l’apprentissage des fractions et devrait se poursuivre tout au long du parcours scolaire. Or, parmi les modèles utilisés dans les écoles, le modèle du cercle est surexploité et souvent inapproprié dans certains contextes. Le personnel enseignant doit donc voir à ce que les élèves apprennent à représenter les fractions de diverses façons selon les contextes. En général, on se réfère à trois modèles, le modèle de surface, le modèle de longueur et le modèle d’ensemble, chacun pouvant prendre des allures variées selon les outils et les matériaux utilisés.
Modèle de surface
Dans ce modèle, une surface ou une région est divisée en parties équivalentes. En classe, les modèles circulaires (tarte ou pizza) et les modèles rectangulaires peuvent être reproduits sur du carton rigide, puis plastifiés et coupés pour les exercices individuels. Les mosaïques géométriques, les géoplans, le papier à points et le papier quadrillé sont également de bons outils qui s’avèrent parfois plus appropriés à des situations particulières. Avec ce matériel, on devrait encourager les élèves à plier, à superposer, à fractionner et à découper pour développer leur sens de la fraction.

La vidéo suivante explique la relation entre le tout et les parties, ainsi que la signification du numérateur et du dénominateur, dans un modèle de surface.
Description de la vidéo
[musique entraînante]
[Vidéodescription]
Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.
[Narrateur]
La représentation de fractions à l'aide du modèle de surface.
[Vidéodescription]
Autour d'une silhouette de tête apparaissent des fractions : trois quarts, un demi, un sixième, quatre huitièmes.
[Narrateur]
Les fractions sont partout autour de toi : lorsque tu indiques l'heure, lorsque tu partages une pizza avec ta famille, lorsque tu cuisines.
[Vidéodescription]
Les exemples donnés précédemment par le narrateur s'illustrent successivement. Premièrement, sur un téléphone, un texto dit : « Je t'attends, il est deux heures et demie. » Ensuite, une horloge indiquant deux heures et demie apparaît. Deuxièmement, une famille composée d'un homme, d'une femme et de deux enfants est rassemblée autour d'une table où trône une pizza. Troisièmement, un livre ouvert présente une recette de barres granola pour le lunch : trois quarts de tasse de flocons d'avoine, une demi-tasse de farine et un quart de cuillérée à thé de sel.
[Narrateur]
Il est possible de représenter des fractions à l'aide d'un modèle de surface.
[Vidéodescription]
La vidéo montre maintenant des réglettes illustrées, colorées et de différentes longueur; un hexagone rempli de formes de couleurs différentes, ainsi que l'illustration d'un tapis blanc séparé en trois rangées de deux carrés tous égaux.
[Narrateur]
Pour y arriver, tu dois comprendre la relation entre le tout et les parties.
[Vidéodescription]
Pour illustrer le tout, le mot « tout » pointe à l'aide d'une flèche vers un grand tableau blanc dans une salle de classe. Ensuite, celle-ci disparait pour faire place à deux plats de nourriture. À gauche, il y a un brownies découpé en trois rangées de cinq parts égales, où il manque les deux premiers en haut à gauche. Le mot « parties » pointe vers les brownies restants. À droite, il y a une pointe de pizza dans une assiette ronde. Le mot « tout » pointe à l'aide d'une flèche vers l'assiette, tandis que la fraction un sixième représente la pointe de pizza.
Tout s'efface pour laisser place à une illustration montrant des personnes blanches d'âges différents ensemble. Une personne est assise dans un fauteuil, quatre personnes sont sur un canapé, et une personne est debout.
[Narrateur]
Imagine qu'une famille de six personnes veut partager une barre de chocolat. Pour y arriver, il faut comprendre la relation entre le tout et les parties.
[Vidéodescription]
Un plan rapproché s'effectue sur une barre de chocolat à six carrés.
[Narrateur]
Le tout est la barre de chocolat entière.
[Vidéodescription]
La barre de chocolat se fait encercler en vert.
[Narrateur]
Les parties sont chaque carré de chocolat.
[Vidéodescription]
La barre migre à gauche de l'écran, et le tapis blanc séparé en six, qui est de la même taille, vient se placer à sa droite. Sur chaque objet, des lignes rouges viennent accentuer les séparations des morceaux. Une flèche jaune pointe vers un morceau du chocolat.
[Narrateur]
Pour déterminer la valeur fractionnaire d'une partie, on compare la partie au tout.
[Vidéodescription]
Pour chacun des objets, un cercle jaune vient entourer le premier morceau, tandis qu'un cercle vert vient encercler le tout.
[Narrateur]
Dans ce cas, chaque personne recevra 1/6 de la barre, soit un des six carrés. Le six représente le dénominateur, le nombre de parties équivalentes par lequel le tout est divisé. Le numérateur indique le nombre de parties du tout dont se compose la fraction.
[Vidéodescription]
Pour illustrer le numérateur, le premier morceau de chaque objet est encadré de rouge.
[Fin de la vidéodescription]
Voici des exemples de situations qui peuvent être représentées à l’aide d’un modèle de surface.
Situation à fraction manquante
Jared coupe une pizza en 6 parties égales. Il mange 2 morceaux. Quelle fraction de la pizza Jared a-t-il mangée?
(
Représentation de la situation

Situation à partie manquante
Colorie

Représentation de la situation

Situation à tout manquant
Voici

Dessine le rectangle en entier.
Représentation de la situation

Modèle de longueur
Dans des situations qui portent sur la distance ou le temps, les modèles basés sur la longueur sont plus appropriés pour représenter les fractions (par exemple, réglettes, bandes de carton ou de papier, corde, segment de droite).

La vidéo suivante explique la relation entre le tout et les parties, ainsi que la signification du numérateur et du dénominateur, dans un modèle de longueur.
Description de la vidéo
[musique entraînante]
[Vidéodescription]
Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.
[Intervenante]
La représentation de fractions à l'aide du modèle de longueur. Le modèle de longueur est utilisé pour représenter une longueur, une distance ou une durée.
[Vidéodescription]
Des images viennent illustrer les exemples. Pour la longueur, une illustration montre une étudiante afrodescendante utilisant un mètre à son pupitre. Pour la distance, une illustration montre trois personnes d'origine différente traversant un fil d'arrivée à la course. Et pour la durée, une horloge affiche 12 heures 10.
Tout s'efface pour faire place à une double flèche horizontale traversant l'écran. Un personnage féminin arrive par la gauche, marche jusqu'à la moitié de la flèche, puis disparaît.
[Intervenante]
Voici un exemple : Myriam a marché 5/6 d'un kilomètre. Le dénominateur indique l'unité fractionnaire, c'est-à-dire le nombre de parties équivalentes en lesquelles la distance a été divisée.
[Vidéodescription]
À l'aide de cinq petits traits, la flèche se transforme en double droite numérique et se divise en six parties égales. Ensuite, elle se fait encercler de rouge.
[Intervenante]
La distance d'un kilomètre est donc le tout.
[Vidéodescription]
La double droite numérique disparaît, tandis que la fraction cinq sixième grossit au centre de l'écran. Le chiffre cinq devient vert.
Ensuite, la fraction rapetisse à nouveau, retourne vers le bas de l'écran, et la droite numérique revient. Cinq parties sur six se font surligner de vert.
[Intervenante]
Le numérateur représente le nombre de parties équivalentes dénombrées; par conséquent, les cinq parties équivalentes qu'a parcourues Myriam.
[Fin de la vidéodescription]
Voici des exemples de situations qui peuvent être représentées à l’aide d’un modèle de longueur.
Situation à fraction manquante
Lors d'un marathon de 15 km, Carlos a dû se retirer de la course au sixième kilomètre en raison d'une crampe. Quelle
fraction du marathon avait-il complétée? (
Représentation de la situation

Situation à partie manquante
Michel a coupé
Représentation de la situation

Situation à tout manquant
Voici les

Trace le segment complet
Représentation de la situation

Modèle d’ensemble
L’utilisation d’un modèle d’ensemble requiert une bonne compréhension du concept de tout, puisque le tout n’est pas
un élément, mais un ensemble d’éléments (par exemple, 12 objets). Les élèves ont du mal à comprendre ce modèle.
Pourtant, il est nécessaire que les élèves se l’approprient, car on le retrouve dans beaucoup d’applications du
quotidien. Souvent, les élèves ne saisissent le concept que superficiellement. Par exemple, d’un ensemble comprenant
9 jetons rouges et 6 verts, les élèves reconnaissent d’emblée que
La vidéo suivante explique la relation entre le tout et les parties, ainsi que la signification du numérateur et du dénominateur, dans un modèle d’ensemble.
Description de la vidéo
[musique entraînante]
[Vidéodescription]
Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.
[Narratrice]
La représentation de fractions à l'aide du modèle d'ensemble. Un modèle d'ensemble peut être représenté de différentes façons.
[Vidéodescription]
Des illustrations de différents ensembles viennent appuyer les propos de la narratrice. Il y a un tas de billes, une douzaine d'oeufs, des piles d'assiettes, un ensemble de solides colorés, un amas de ballons de soccer, football et basketball, un groupe de personnes, un assortiment de fruits et un ensemble d'instruments de musique.
Tout s'efface sauf les ballons, qui bondissent au centre de l'écran. Il y a quatre ensembles de trois ballons, un de chaque sorte. Tous les ballons se font encercler ensemble par un ovale rouge.
[Narratrice]
L'ensemble représente la quantité totale d'éléments ou le tout. Les sous-ensembles du tout représentent les parties.
[Vidéodescription]
Des ovales verts viennent entourer chaque groupe de trois ballons.
[Narratrice]
Chaque sous-ensemble représente une fraction de l'ensemble. Il y a quatre sous-ensembles de trois ballons. Le dénominateur indique que le tout est séparé en quatre parties égales.
[Vidéodescription]
Le grand ovale rouge disparait tandis que les 4 ovales verts demeurent.
[Narratrice]
Le numérateur indique le nombre de parties équivalentes du tout dont est composée la fraction. Chaque sous-ensemble représente 1/4 du tout.
[Vidéodescription]
Tout s'efface pour faire place à deux rangées de neuf personnes. Celles-ci sont regroupées par groupes de six personnes par des encadrés verts, ce qui donne trois groupes de personnes. Les deux derniers sous-ensembles sont regroupés ensemble par un encadré pourpre.
[Narratrice]
Les 2/3 de l'ensemble de 18 élèves correspondent à 12 élèves.
[Vidéodescription]
Tout s'efface pour faire place à une douzaine d'oeufs.
[Narratrice]
Quelle fraction les œufs représentent-t-ils dans cet ensemble? La boîte est divisée en 12 parties équivalentes. Chaque œuf représente 1/12 de la boîte. Les œufs représentent donc 12/12 de la boîte d'œufs, c'est-à-dire une boîte. Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont égaux, la fraction représente un tout.
[Fin de la vidéodescription]
Voici des exemples de situations qui peuvent être représentées à l’aide d’un modèle d’ensemble.
Situation à fraction manquante
Voici un ensemble de billes. Quelle fraction de l’ensemble est jaune? (

Représentation de la situation

Note :
Situation à tout manquant
Laurence collectionne des cartes de vedettes. À ce jour, Laurence a accumulé 36 cartes, soit
Représentation de la situation
image 36 cartes dispersées. Une flèche partant de cette direction et allant vers 3 ensembles de 12 cartes chacun. Une flèche partant de cette direction et pointant vers un plus grand ensemble composé de 3 ensembles de 12 cartes chacun et d’un autre ensemble à part de 12 cartes.
Situation à partie manquante
Il y a 24 poissons dans un aquarium, dont les
Représentation de la situation
image Les poissons rouges sont représentés par des jetons rouges. Image un: Un rectangle regroupant 24 jetons rouges dispersés. La pensée de l’élève: “ Mon tout est 24 poissons, que je représente à l’aide de 24 jetons. “Image 2: Un rectangle représentant 24 jetons rouges ordonnés en 4 colonnes de 6 jetons. La pensée de l’élève: “ Puisque je sais que le nombre total de poissons rouges est une fraction de 24, je peux déjà voir que mon résultat sera moins que 24. Je cherche les trois quarts des 24 poissons. Cette fraction peut être représentée par 3 des 4 paquets. Je dois alors séparer les poissons en 4 quarts. Donc, je sépare mes jetons de façon à former 4 paquets équivalents. Il y a 6 jetons dans chaque quart. “Image 3: Un rectangle représentant 4 colonnes de 6 jetons rouges chacune, dont les 3 premières colonnes sont chacune encerclées. La pensée de l’élève: “ Je sélectionne ensuite 3 des 4 paquets. Le contenu représente alors le nombre de poissons rouges dans l’aquarium, soit 18 poissons. “
Dans cette dernière situation, en raisonnant de la sorte et en utilisant du matériel concret, les élèves mettent à profit leur compréhension du sens de la fraction et appliquent des stratégies qui découlent de leur compréhension de la fraction comme fraction d’un ensemble. Les élèves peuvent reconnaître que le dénominateur joue un rôle de diviseur (le nombre de parties) et que le numérateur joue un rôle de multiplicateur. Ce type de raisonnement ne s’enseigne pas explicitement, mais il s’acquiert en situation de résolution de problèmes. À la suite de plusieurs expériences, les élèves peuvent généraliser et reconnaître que dans chaque situation, elles et ils divisent le nombre naturel par le dénominateur pour déterminer la grandeur des groupes, et multiplient ensuite cette réponse par le numérateur pour déterminer la quantité dans le nombre de groupes en cause.
En présence d’un modèle d’ensemble et d’une situation à partie manquante, on cherche à déterminer le nombre
d’éléments contenus dans cette partie. De fait, on calcule la fraction d’un ensemble. Par exemple, dans la situation
précédente, l’élève devait calculer
Exemple
Déterminer

Le dénominateur indique le nombre de groupes à créer, en l’occurrence 3 groupes équivalents. On peut facilement placer 6 des biscuits dans les 3 groupes. Le 7e biscuit devra être coupé en 3 parties équivalentes.

Dans chaque groupe, il y a

Le numérateur d’une fraction indique le nombre de groupes ou de parties considérés. Ainsi, puisqu’on recherche

On peut donc conclure que
(
Note : Déterminer la fraction d’un ensemble (par exemple,
Représentations à l’aide de mots
Il ne faut pas négliger le rôle des mots dans la représentation des fractions. Lorsqu’on parle de trois quarts, le terme « trois » nous dit combien il y a de parties et le terme « quarts » nous renseigne sur la grandeur des parties ou le nombre de parties qui forment un tout. Les mots sont aussi utilisés pour expliquer un raisonnement relié aux fractions, par exemple : « J’ai partagé mes billes en six groupes égaux que je remets à six amis. Chaque ami reçoit alors un des six groupes ou un sixième de mes billes. »
Représentations symboliques
Il va de soi qu’une fraction est aussi représentée de façon symbolique. Rappelons que la fraction exprime une relation entre deux quantités, soit le nombre de parties équivalentes en question (le numérateur) et le nombre de parties qui forment un tout (le dénominateur). Cette relation est exprimée de façon symbolique par une barre de fraction placée entre les deux nombres. Bien que la barre oblique soit souvent utilisée dans la vie de tous les jours (par exemple, 2/3 de rabais), l’utilisation de la barre horizontale est préconisée pour éviter des ambiguïtés (par exemple, une lecture rapide de 2/3 pourrait donner 213; 1 1/3 ressemble à onze tiers).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 62-71.
Difficultés encourues par les élèves
Une fraction est une partie d’un tout. De façon plus abstraite, une fraction est aussi un nombre (par exemple, le
nombre
Le développement du sens du nombre relié aux fractions représente un grand défi pour les élèves. Baroody et Coslick (1998, p. 9-13 et 9-14) tentent une explication et soulèvent certaines difficultés tant dans l’apprentissage que dans l’enseignement des fractions. Voici quelques-unes de ces difficultés.
- Les élèves ont du mal à se représenter des fractions selon divers modèles. Puisque l’enseignement des fractions se fait souvent à l’aide d’un seul modèle, par exemple en prenant un cercle ou une tarte, beaucoup d’élèves n’ont pas intégré le fait que pour obtenir une fraction, soit une partie d’un tout, il faut d’abord diviser ce tout en parties équivalentes.

- Certains élèves comparent la partie d’un tout à la partie restante plutôt qu’au tout. Dans l’exemple qui suit,
de l’ensemble des billes sont rouges. Mais, certains élèves représentent cette situation par la fraction .

- Les élèves ne développent pas un solide sens de la fraction puisque souvent, elles et ils ne voient pas le lien
entre une fraction (par exemple,
) et la fraction unitaire correspondante ( ), soit que ou que .
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 29-30.
Habileté : expliquer la signification du numérateur et du dénominateur
La notation fractionnaire
Exemple
- J’ai donné un quart (
) de mon sandwich à Alex.

- Un quart (
) de mes billes sont bleues.

Or, la notation fractionnaire peut être aussi associée à d’autres concepts tels que la division, le rapport et l’opérateur.
Division
Avec le développement de l’algèbre, une division est parfois exprimée sous forme fractionnaire. Prenons, par exemple,
une division comme 2 ÷ 3 exprimée ainsi :
Exemple
Trois amis veulent se partager deux pizzas. Combien chacun recevra-t-il? Il s’agit bien de 2 ÷ 3 qui peut être
représenté par

Chaque ami recevra donc deux tiers (
Rapport
Les rapports peuvent aussi être écrits sous forme de fraction. Un rapport est une comparaison entre deux quantités de
même nature au moyen de la division. De façon plus précise, le rapport est le quotient de cette division. Par exemple,
s’il y a 2 garçons et 3 filles dans un groupe, on dit que le rapport du nombre de garçons au nombre de filles est de
2 à 3. Ce rapport s’écrit 2 : 3 ou
De cette même situation, on peut aussi dire que dans un ensemble de 5 enfants, il y a 2 garçons et 3 filles. Ainsi,
on peut dire que le rapport du nombre de garçons au nombre d’enfants est de 2 à 5 (2 : 5). Dans ce cas, il s’agit d’un
rapport d’une partie d’un ensemble à l’ensemble (rapport de partie à tout). Le rapport compare une partie à un tout,
il s’agit donc d’une fraction. On peut donc aussi dire
Opérateur
Au cycle intermédiaire, la fraction est aussi présentée comme un opérateur dans les situations impliquant la
multiplication d’un nombre par une fraction. Par exemple, si 24 morceaux de gomme entrent dans une empaqueteuse qui
fait ressortir 12 paquets, il s’agit de
Les fractions sont utilisées à diverses fins, peuvent décrire différentes situations, et peuvent avoir des représentations très différentes pour la même fraction.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 36-37.
Connaissance : fraction
Le mot fraction vient du latin fractio qui veut dire « rupture ». Une partie d’un objet brisé peut donc
représenter une fraction, car c’est une partie d’un tout. Toutefois, pour déterminer une fraction d’un objet divisé en
plusieurs parties, il faut que les parties soient équivalentes. Précisons que lorsqu’il est question de parties
équivalentes, il ne s’agit pas nécessairement de formes identiques, bien que celles-ci soient plus faciles à utiliser.
Les représentations de un quart (
Exemple
Six représentations équivalentes de un quart (

Il est important pour les élèves de comprendre que plus le tout est fractionné, plus ses parties sont petites.
Exemple
Les quarts d’un tout sont plus gros que les dixièmes du même tout.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 33.
Connaissance : notation fractionnaire
Nous appelons la fraction écrite
Or, la notation fractionnaire peut être aussi associée à d’autres concepts tels que la division, le rapport et l’opérateur.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 36.
Connaissance : numérateur
Nombre de parties équivalentes du tout dont se compose la fraction.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34.
Le numérateur est le nombre au-dessus de la barre de fraction.

Connaissance : dénominateur
Nombre de parties équivalentes par lequel le tout est divisé.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 34.
Le dénominateur est le nombre en-dessous de la barre de fraction.
