B2.1 Utiliser les propriétés des opérations, et démontrer les relations entre la multiplication et la division pour résoudre des problèmes et vérifier la vraisemblance des calculs.
Habileté : utiliser les propriétés des opérations pour résoudre des problèmes et vérifier la vraisemblance des calculs
Les élèves démontrent leur compréhension des propriétés des opérations mathématiques avec des objets ou des nombres spécifiques. Les élèves utilisent du matériel concret, des dessins, des mots ou des symboles pour représenter des idées mathématiques et des relations.
Il n’est pas nécessaire que les élèves du primaire connaissent le nom des propriétés. Il suffit qu’elles et ils les utilisent naturellement pour combiner des nombres.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 33.
La commutativité
L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple, on peut démontrer la commutativité de l’addition comme suit :

On reconnaît alors que si les termes d’une addition sont intervertis, le résultat demeure le même.
On peut aussi démontrer la commutativité de la multiplication. Par exemple,

Les 2 dispositions précédentes représentent la même quantité totale, organisée de 2 façons différentes. De ce fait,
elles illustrent 2 situations différentes. Ainsi,
On peut aussi utiliser un exemple du quotidien. Par exemple, le personnel enseignant invite 3 élèves qui ont
exactement 1 frère ou 1 sœur à venir représenter au tableau le nombre d’enfants dans leur famille. Le nombre total
d’enfants est représenté par
Ensuite, le personnel enseignant fait la même démarche avec 2 enfants qui ont exactement 2 frères ou sœurs. Le nombre
total d’enfants est représenté par
Figure 1

Figure 2

Les 2 phrases mathématiques,
Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves perçoivent souvent la multiplication comme une addition répétée. En tentant de résoudre une variété de problèmes, ils peuvent utiliser la commutativité de la multiplication pour développer une stratégie plus efficace de calcul.
Par exemple, les élèves qui utilisent l’addition répétée reconnaîtraient que
Une disposition rectangulaire est un excellent modèle visuel pour représenter la commutativité de la multiplication.

Associativité
L’associativité de la multiplication (par exemple,
Dans la figure 1, on voit qu’il y a 2 rangées de 5 cubes, soit

On peut aussi considérer la figure 3, qui illustre 3 étages de 2 cubes, soit

On voit donc que
Devant une expression numérique telle que
L’associativité ne change pas l’ordre des nombres d’une expression numérique. On peut cependant jumeler l’associativité et la commutativité pour faciliter l’évaluation d’une expression numérique.
Par exemple, pour déterminer la valeur de l’expression
La distributivité
L’exemple suivant illustre comment on peut utiliser la distributivité pour calculer

Seule la multiplication est distributive. On pourrait reconnaître que la division est partiellement distributive. Par
exemple, pour calculer
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102-106.
Une propriété peut être utilisée pour vérifier une réponse. Par exemple,
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Habileté : utiliser les relations entre la multiplication et la division pour résoudre des problèmes
Comprendre les relations entre les opérations permet de les utiliser avec plus de souplesse.
Plus les élèves ont l’occasion de manier les opérations, plus elles et ils peuvent remarquer et comprendre les liens entre elles. Les élèves peuvent même utiliser des stratégies d’addition ou de soustraction pour résoudre des multiplications et des divisions.
Au cycle primaire, les élèves ont établi des liens entre les opérations à travers diverses activités. Par exemple, les élèves savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, ils développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 97.
La multiplication et la division
La multiplication et la division sont des opérations inverses. On peut également les relier au concept de tout et de ses parties. Dans la multiplication, on regroupe les parties qui sont des groupes égaux, alors que dans la division, on décompose un tout en groupes égaux. À partir de cette relation entre la multiplication et la division, les élèves peuvent utiliser les faits numériques relatifs à la multiplication pour effectuer une division. Il arrive souvent que les élèves saisissent mal la relation d’opération inverse entre la multiplication et la division, même après avoir effectué des divisions et vérifié leurs calculs. Il est donc essentiel de revenir régulièrement sur le sens de chacune des opérations en contexte de résolution de problèmes.
Pour comprendre la multiplication et la division, il faut reconnaître les 3 types de quantités qui entrent en jeu, soit la quantité totale (par exemple, 8 fleurs), le nombre de groupes égaux (par exemple, 4 pots) et la taille de chaque groupe (par exemple, 2 fleurs par pot).

Dans les problèmes présentés aux élèves, on associe trop souvent la division à un seul sens, soit le partage. Le sens de groupement est habituellement négligé. La division a un sens de partage lorsque la quantité totale et le nombre de groupes sont connus (par exemple, 3 élèves veulent se partager équitablement 15 pommes et on cherche le nombre de pommes que chacun recevra).

La division a un sens de groupement lorsque la quantité totale et le nombre d’éléments dans chaque groupe (taille des groupes) sont connus (par exemple, on a 15 pommes et on veut les placer dans des sacs, 3 pommes par sac; on cherche le nombre de sacs qu’il faut).

Il est essentiel de traiter des 2 types de problèmes, puisqu’ils sont la base de l’intégration d’autres concepts mathématiques. Il n’est pas nécessaire que les élèves sachent le nom des types de problèmes, mais il est essentiel qu’elles et ils aient l’occasion d’en résoudre de divers types, tout en employant une variété de stratégies.


Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 84-86.
Connaissance : propriété des opérations
Les propriétés des opérations sont des caractéristiques qui sont propres aux opérations, peu importe les nombres en cause.
Les propriétés des opérations sont :
- La commutativité :
; - L’associativité :
; - La distributivité :
; - L’élément neutre :
, ; ,
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Connaissance : la commutativité
Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la
composent. L’addition et la multiplication sont commutatives. Par exemple,
Connaissance : l’associativité
L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur.
Connaissance : élément neutre
Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet pour une opération donnée. Ainsi, le
nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple,
La soustraction et la division n’ont pas d’élément neutre. Dans une soustraction, le nombre 0 ne produit aucun effet
lorsqu’il est le 2e terme (par exemple,
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 107.
Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
- L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
- La multiplication peut être associée à une addition répétée.
- La division peut être associée à une soustraction répétée.
- La multiplication et la division sont des opérations inverses.