B1.6 Utiliser des schémas pour représenter et résoudre des problèmes de partage équitable d’un tout pouvant comprendre jusqu’à 20 éléments entre 2, 3, 4, 5, 6, 8 et 10 personnes, incluant des problèmes dont le résultat est un nombre naturel, un nombre fractionnaire ou une fraction, et comparer les résultats.
Habileté : représenter et résoudre des problèmes de partage équitable
Le développement de la compréhension de la quantité représentée par une fraction repose sur l’expérience de l’élève avec du matériel concret et sur un enseignement qui mise davantage sur le sens de la fraction que sur les procédures.
(Bezuk et Cramer, 1989, p. 157, traduction libre)
Au cycle primaire, les élèves ont l’occasion d’explorer les fractions en partageant des ensembles d’objets (par
exemple, si 3 amis veulent se partager également 18 pommes, chacun recevra
En continuant d’exploiter le principe de partage, les élèves créent des liens entre l’action du partage, le tout et
les parties du tout. Ils sont en mesure de mieux comprendre le fractionnement et ils développent un sens de la
fraction. Ils comprennent que la fraction s’emploie aussi pour illustrer un reste à la suite d’un partage (par
exemple, si 4 élèves veulent se partager 5 petits gâteaux, chacun reçoit 1 petit gâteau et
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 28.
Exploration de fractions
Baroody et Coslick (1998, p. 9-14 et 9-15) privilégient une « approche signifiante » dans l’apprentissage des fractions. Ils préconisent que cet apprentissage suive une progression qui fait passer les élèves de représentations informelles et concrètes à une représentation formelle et abstraite. Les 2 premières étapes de cette progression sont inhérentes au présent contenu.
- Partager : Toute activité qui engage les élèves dans une expérience signifiante de partage, sans faire référence de manière explicite à la terminologie ou à la symbolique, fournit une base concrète à la compréhension du concept de fraction. En commençant par une tâche courante du quotidien (par exemple, le partage de crayons feutres ou de crayons de couleur pour un projet d’art), les élèves peuvent acquérir l’habileté à diviser un ensemble d’éléments en parts équivalentes. Par la suite, les élèves peuvent vivre des expériences qui font appel à des schèmes de pensée plus élaborés dans lesquels elles et ils doivent fractionner un seul élément (par exemple, la division d’un carton en 3 parties équivalentes pour faire un bricolage).
- Nommer des fractions représentées par des modèles : Lorsqu’elles et ils nomment la fraction
associée à une situation, les élèves font un lien entre la fraction, la représentation utilisée et la situation, ce
qui consolide leur sens de la fraction. Cette étape est donc importante. Par exemple, à la suite d’un problème où
quatre (4) camarades doivent se partager douze (12) craquelins, on demande aux élèves de nommer explicitement la
fraction qui détermine la part de chaque ami, soit un quart (
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 58.
Dans cette vidéo, les élèves représentent le quart du tout à l’aide des modèles de surface et de longueur.
Description de la vidéo
[Vidéodescription]
Une enseignante présente à son groupe-classe des illustrations mathématiques placées sur un chevalet.
[Institutrice]
Voici le premier tout que j'ai choisi, voici le deuxième tout que j'ai choisi et voici le troisième. Vous devez représenter le quart du tout à l'aide du matériel que vous avez sur votre pupitre et essayer de trouver plusieurs façons de représenter ce quart. Allez-y.
[Lucas]
Si on place les élastiques ici puis ici, on voit les quatre quarts du tout.
[Vidéodescription]
Sur la planchette à élastiques, dans un carré rouge formé de 4 par 4 cases, Lucas place un élastique verticalement au centre et un autre élastique horizontalement au centre. Ça donne l'aspect d'une fenêtre carrée à 4 carreaux.
[Enfant 1]
Regarde. Si on place les élastiques comme ceci, comme ceci et comme ceci, on peut quand même voir les quatre quarts du tout : 1, 2, 3, 4.
[Vidéodescription]
Sur la planchette à élastiques, dans un carré vert formé de 4 par 4 cases, le partenaire de Lucas place trois élastiques verticalement, formant 4 rectangles verticaux égaux.
[Lucas]
Oui, c'est bon. Essayons de trouver d'autres façons pour trouver les quatre quarts du tout.
[Enfant 1]
On peut essayer.
[Vidéodescription]
Les deux garçons changent de planchette à élastiques et tentent de placer ceux-ci d'autres façons.
Tandis que Lucas place un élastique de façon diagonale dans son carré, son partenaire, lui, place trois élastiques qui lui permettent de former deux rectangles de taille égale et deux carrés de taille égale.
[Enfant 1]
Est-ce que ceci pourrait représenter les quatre quarts du tout?
[Lucas]
Je ne sais pas. Demandons à madame.
[Vidéodescription]
Lucas et son partenaire lèvent la main.
[Institutrice]
Oui, les gars?
[Enfant 1]
Est-ce que ceci pourrait représenter quatre quarts du tout même s'ils ne sont pas pareils?
[Institutrice]
Qu'est-ce qu'on pourrait faire pour vérifier si les quatre parties sont pareilles?
[Lucas]
On pourrait compter les petits carrés à l'intérieur.
[Institutrice]
Essayez-le.
[Enfant 1]
1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4. Il y a quatre unités dans chaque partie, donc je pense que chaque partie représente tout un quart du tout.
[Institutrice]
Qu'en penses-tu, Lucas?
[Lucas]
Même s'ils ne sont pas pareils, ils représentent encore le quart du tout.
[Institutrice]
Bravo, les gars. Vous avez découvert quelque chose de très intéressant. Pourriez-vous le partager à vos camarades lors de l'échange mathématique?
[Vidéodescription]
Pendant ce temps, une autre équipe de deux garçons fait un exercice mathématique à l'aide de trois réglettes identiques. Celles-ci sont orange aux trois quarts tandis que l'autre quart est rouge.
[Enfant 2]
On doit représenter le quart du tout. Ça veut dire qu'il faut séparer chaque longueur en quatre parties égales.
[Vidéodescription]
Le premier garçon place deux courtes réglettes vertes à côté d'une longue réglette orange et rouge, mais les deux réglettes vertes la dépassent. Il les enlève. Le deuxième garçon place une longue réglette noire à côté d'une longue réglette orange et rouge, mais la réglette noire la dépasse. Il l'enlève.
[Enfant 3]
Trop long.
[Enfant 2]
Non. Ça, c'est trop long.
[Enfant 3]
Moi, j'essaie ça. Non.
[Vidéodescription]
Ils retentent l'exercice avec d'autres réglettes. L'un essaie de courtes réglettes jaunes tandis que l'autre essaie de courtes réglettes roses.
[Enfant 2]
Ça aussi c'est trop long.
[Enfant 3]
Ou peut-être ça.
[Vidéodescription]
Le garçon place bout à bout quatre courtes réglettes vert pâle auprès d'une réglette orange et rouge.
[Enfant 2]
On l'a!
[Enfant 3]
Trois là...
[Vidéodescription]
Le garçon place une courte réglette vert pâle auprès de chaque réglette orange et rouge. La réglette vert pâle équivaut à un quart de la réglette orange et rouge.
[Enfant 3]
La réglette vert pâle représente le quart du tout. Maintenant, il faut trouver d'autres façons pour représenter le quart du tout.
[Vidéodescription]
Auprès de la réglette vert pâle, le garçon place une petite réglette blanche cubique et une petite réglette rouge rectangulaire. Les deux mises bout à bout équivalent à la réglette vert pâle.
[Enfant 2]
Je l'ai trouvé. La réglette blanche et la réglette rouge sont de la même longueur que la réglette verte, donc elle aussi représente le quart du tout.
[Enfant 3]
On essaie ça?
[Enfant 2]
OK.
[Vidéodescription]
Le garçon place trois réglettes blanches cubiques auprès d'une réglette vert pâle. Les longueurs sont équivalentes.
[Enfant 3]
Les trois réglettes blanches représentent aussi le quart du tout.
[Fin de la vidéodescription]
Connaissance : nombre fractionnaire
L’apprentissage des fractions débute généralement avec l’utilisation de fractions propres, soit des fractions
inférieures à 1. En 2e année, les élèves rencontrent des fractions qui représentent des quantités
supérieures à 1 (par exemple, en comptant des morceaux de tartes coupées en quarts, on peut compter 11 quarts qui
restent). De telles situations les amènent aux nombres fractionnaires (par exemple, 2 et
Exemple
Si on a 2 et
Image Illustration de la fraction 2 et trois quarts : 2 cercles entiers et 3 parties de cercle de, un quart. On peut
aussi le représenter par deux cercles entiers. Chaque cercle est divisé en 4 parties égales de, un quart, et trois
quarts, en tout il y a 11 parties, en fraction on dira 11 quarts.
Si on a 11 quarts de tarte, on peut grouper les quarts de tartes, 4 à la fois, pour former des tartes entières. On
peut ainsi former 2 tartes avec 8 morceaux. Il restera alors 3 quarts. On a donc 2 et
Image
Les 11 quarts sont éparpillés. Puis 2 cercles entiers. Chacun est divisé en quart, plus les 3 quarts. Enfin la
fraction 2 et 3 quarts est représentée par 2 cercles entiers et un 3 quarts de cercle.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 53-54.
Connaissance : fraction
La compréhension de la représentation de quantités par des fractions permet d’approfondir le concept de quantité. Il importe de comprendre que les fractions (par exemple, un demi, un tiers, un quart) représentent des quantités différentes selon qu’elles font référence à une partie d’un tout (une longueur, une surface ou un solide) ou à une partie d’un ensemble. Par exemple, un tiers d’une tablette de chocolat (partie d’un tout) représente une quantité de chocolat en fonction de la grosseur de la tablette originale. Cependant, un tiers d’une douzaine d’œufs (partie d’un ensemble) représente 4 œufs.
Image Partie d’un tout : Une barre de chocolat qui contient 3 carrés. Un carré représente un tiers de la barre. La barre reste entière même si
un carré représente un tiers de la barre. Partie d’un ensemble : Une douzaine d’œufs dont 4 œufs sont encerclés. Ces 4 œufs représentent un tiers de la douzaine d’œufs.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 48.
Fournir des occasions aux élèves de découvrir que :
- lorsque la fraction représente une région (modèle de surface), l’aire de chaque partie doit être de mesure équivalente;
- lorsque les fractions sont utilisées pour décrire des ensembles (modèle d’ensemble), les objets composant les
ensembles peuvent être de tailles différentes (par exemple, si on dit que
- la fraction représente une relation plutôt qu’un nombre particulier. Il importe que les élèves sachent que
- la fraction représente une partie d’un tout.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 1re à la 3e année, p. 30.
Connaissance : partage équitable
Situation où un ensemble est partagé ou distribué parmi un nombre connu de personnes ou de groupes.