B2.1 Utiliser les propriétés de l’addition et de la soustraction, et les relations entre l’addition et la multiplication ainsi qu’entre la soustraction et la division pour résoudre des problèmes et vérifier la vraisemblance des calculs.
Habileté : utiliser les propriétés de l’addition et de la soustraction pour résoudre des problèmes et vérifier la vraisemblance des calculs
L’utilisation des propriétés des opérations et des relations entre les opérations nous permet de construire des phrases numériques et de les manipuler avec souplesse de manière à résoudre des équations et à simplifier des calculs.
(Department of Education and Training of Western Australia, First Steps in Mathematics: Number – Understand Operations, Calculate, Reason About Number Patterns, vol. 2, 2005, p. 66, traduction libre)
Au cycle primaire, les élèves établissent des liens entre les opérations en faisant diverses activités. Elles et ils connaissent, par exemple, le rôle du nombre zéro et savent que l’addition et la soustraction sont des opérations inverses et que l’addition est commutative. Avec le temps, les élèves développent leur sens du nombre et leur sens des opérations et s’en servent graduellement avant d’effectuer des opérations. Cette pratique, quoique souvent informelle et mentale, demeure toutefois essentielle à la compréhension des relations entre les nombres et entre les opérations.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 97.
Il n’est pas nécessaire que les élèves du primaire connaissent les noms des propriétés. Il suffit qu’elles et ils les utilisent naturellement pour combiner des nombres.
Les élèves montrent leur compréhension des propriétés des opérations mathématiques au moyen d’objets ou de nombres spécifiques et utilisent du matériel concret, des dessins, des mots ou des symboles pour représenter des idées mathématiques et des relations.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 17.
Les propriétés de l’addition sont :
- la commutativité (par exemple,
); - l’associativité (par exemple,
); - le nombre zéro (0) en tant qu’élément neutre (par exemple,
).
La propriété de la soustraction est :
- le nombre zéro (0) en tant qu’élément neutre (par exemple, 1 - 0 = 1).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 33.
La commutativité
Les élèves qui reconnaissent la propriété de commutativité de l’addition peuvent réduire de moitié la quantité de
faits numériques qu’il leur faut apprendre. La représentation visuelle de faits comme
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 6e année, p. 19.

Associativité
L’associativité permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur; par
exemple, dans l’expression
L’associativité ne change pas l’ordre des nombres d’une expression numérique. On peut cependant jumeler
l’associativité et la commutativité pour faciliter l’évaluation d’une expression numérique. Pour déterminer la valeur
de l’expression
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 105 à 107.
Important!
Les parenthèses sont utilisées pour assurer l’exactitude mathématique du message. Cependant, avec les élèves de 2e année, il est préférable de s’en tenir à des façons moins abstraites de mettre en évidence les regroupements; par exemple :

Image Deux équations sont écrites l’une sous l’autre. Première équation : deux plus neuf plus cinq égale deux plus neuf plus cinq. Il y a un cercle autour de « deux plus neuf » avant le symbole « égal », ainsi qu’autour de « neuf plus cinq » après le symbole « égal ». La deuxième équation est introduite par la conjonction « ou » suivie de : deux plus neuf plus cinq égale deux plus neuf plus cinq. Il y a un trait souligné en arc qui relie deux et neuf avant le symbole « égal », et un autre qui relie neuf et cinq après le symbole « égal ».
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 98.
Élément neutre (propriété du nombre 0 dans l’addition et la soustraction)
En ayant recours à la propriété du nombre 0, inciter les élèves à proposer des conjectures telles que : « Si j’ajoute
zéro à une quantité (par exemple,
En appliquant ces conjectures à différents nombres, les élèves seront en mesure de formuler une généralisation, à savoir que cette propriété du nombre 0 est vraie pour tous les nombres.
Pour le rôle du 0 dans la soustraction, inciter les élèves à proposer une conjecture telle que : « Lorsque je
soustrais 0 d’un nombre (par exemple,
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 93 et 95.
Habileté : utiliser la relation entre l’addition et la soustraction pour résoudre des problèmes et vérifier la vraisemblance des calculs
L’addition et la soustraction
La compréhension des liens entre les opérations (par exemple, l’addition et la soustraction sont des opérations inverses) aide les élèves à apprendre les faits numériques de base et à résoudre des problèmes.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 32.
L’addition et la soustraction sont des opérations inverses. Les élèves qui sont en apprentissage ont souvent de la
difficulté à résoudre des équations telles que

Cette façon de représenter la relation entre un nombre et ses parties permet de voir que la soustraction est
l’opération inverse de l’addition. Ainsi, puisque
Source : Adapté du Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 97 et 98.
La multiplication et l’addition
Le lien entre la multiplication et l’addition est souvent le point de départ pour présenter aux élèves le concept de multiplication. Au début de l’apprentissage de la multiplication, les élèves reconnaissent que la situation présente « plusieurs fois » une même quantité et utilisent des groupes égaux pour représenter la situation et l’addition répétée pour obtenir la réponse.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 85.
Puisque la multiplication peut être perçue comme une addition répétée (par exemple,
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 32.
En résolvant une variété de problèmes et en discutant de stratégies, les élèves en viennent à établir et à saisir le
lien entre le mot « fois » et le signe «
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 86.
La division et la soustraction
Dans le même ordre d’idées, la division peut être associée à une soustraction répétée, mais pas de la même façon. Le
produit d’une multiplication est égal à la somme résultant de l’addition répétée, alors que le quotient d’une division
est égal au nombre de soustractions répétées (par exemple, pour calculer
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 98 et 99.
La division peut être perçue comme une soustraction ou une addition répétée (par exemple,
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 32.
Il faut du temps pour que les élèves assimilent ces relations. Pour y parvenir, le personnel scolaire peut avoir recours à des activités concrètes, à la résolution de problèmes et à des échanges mathématiques orientés vers les liens entre les opérations.
Connaissance : la commutativité
Une opération est commutative si son résultat demeure inchangé lorsqu’on intervertit l’ordre des termes qui la composent. Par exemple, l’addition est commutative. Cependant, la soustraction n’est pas une opération commutative.
Exemple
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 102.
Connaissance : l’associativité
L’associativité est une propriété de l’addition et de la multiplication. Elle permet de combiner les termes d’une expression de différentes façons sans en modifier la valeur.
Connaissance : rôle du nombre 0 dans l’addition et la soustraction
Comme son nom l’indique, un élément neutre est un nombre qui n’a aucun effet sur une opération donnée. Ainsi, le
nombre 0 est l’élément neutre de l’addition (par exemple,
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 107.
Connaissance : relations entre l’addition, la soustraction, la multiplication et la division
L’addition et la soustraction sont des opérations inverses.
La multiplication peut être associée à une addition répétée.
La division peut être associée à une soustraction répétée.