B1.6 Utiliser des schémas pour représenter et résoudre des problèmes de partage équitable d’un tout pouvant comprendre jusqu’à 10 éléments entre 2, 3, 4 et 6 personnes, y compris des problèmes dont le résultat est un nombre naturel, un nombre fractionnaire ou une fraction, et comparer les résultats.
Habileté : représenter et résoudre des problèmes de partage équitable
Le développement de la compréhension de la quantité représentée par une fraction repose sur l’expérience de l’élève avec du matériel concret et sur un enseignement qui mise davantage sur le sens de la fraction que sur les procédures.
(Bezuk et Cramer, « Teaching about Fractions: What, When, and How? », dans P. Trafton (Ed.), National Council of Teachers of Mathematics 1989 Yearbook: New Directions For Elementary School Mathematics, 1989, p. 157, traduction libre)
Au cycle primaire, les élèves ont l’occasion d’explorer les fractions en partageant des ensembles d’objets (par exemple, si 3 amis veulent se partager également 18 pommes, chacun recevra
En continuant d’exploiter le principe de partage, les élèves créent des liens entre l’action du partage, le tout et les parties du tout. Elles et ils sont alors en mesure de mieux comprendre le fractionnement et développent un sens de la fraction. Les élèves comprennent que la fraction s’emploie aussi pour illustrer un reste à la suite d’un partage (par exemple, si 4 élèves veulent se partager 5 petits gâteaux, chacun reçoit 1 petit gâteau et
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 28.
Exploration de fractions
Baroody et Coslick (Fostering Children’s Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8 Mathematics Instruction, 1998, p. 9-14 et 9-15) privilégient une « approche signifiante » dans l’apprentissage des fractions. Ils préconisent que cet apprentissage suive une progression qui fait passer les élèves de représentations informelles et concrètes à une représentation formelle et abstraite. La première étape de cette progression est le partage de quantités.
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Toute activité qui engage les élèves dans une expérience signifiante de partage, sans faire référence de manière explicite à la terminologie ou à la symbolique, leur fournit une base concrète à la compréhension du concept de fraction. En commençant par une tâche courante du quotidien (par exemple, le partage de crayons-feutres ou de crayons de couleur pour un projet d’art), les élèves peuvent acquérir l’habileté à diviser un ensemble d’éléments en parties équivalentes. Par la suite, elles et ils peuvent vivre des expériences qui font appel à des schèmes de pensée plus élaborés dans lesquels un seul élément est fractionné (par exemple, la division d’un carton en trois parties équivalentes pour faire un bricolage).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 58.
Dans cette vidéo, les élèves représentent le quart du tout à l’aide des modèles de surface et de longueur.
Description de la vidéo
[Vidéodescription]
Une enseignante présente à son groupe-classe des illustrations mathématiques placées sur un chevalet.
[Institutrice]
Voici le premier tout que j'ai choisi, voici le deuxième tout que j'ai choisi et voici le troisième. Vous devez représenter le quart du tout à l'aide du matériel que vous avez sur votre pupitre et essayer de trouver plusieurs façons de représenter ce quart. Allez-y.
[Lucas]
Si on place les élastiques ici puis ici, on voit les quatre quarts du tout.
[Vidéodescription]
Sur la planchette à élastiques, dans un carré rouge formé de 4 par 4 cases, Lucas place un élastique verticalement au centre et un autre élastique horizontalement au centre. Ça donne l'aspect d'une fenêtre carrée à 4 carreaux.
[Enfant 1]
Regarde. Si on place les élastiques comme ceci, comme ceci et comme ceci, on peut quand même voir les quatre quarts du tout : 1, 2, 3, 4.
[Vidéodescription]
Sur la planchette à élastiques, dans un carré vert formé de 4 par 4 cases, le partenaire de Lucas place trois élastiques verticalement, formant 4 rectangles verticaux égaux.
[Lucas]
Oui, c'est bon. Essayons de trouver d'autres façons pour trouver les quatre quarts du tout.
[Enfant 1]
On peut essayer.
[Vidéodescription]
Les deux garçons changent de planchette à élastiques et tentent de placer ceux-ci d'autres façons.
Tandis que Lucas place un élastique de façon diagonale dans son carré, son partenaire, lui, place trois élastiques qui lui permettent de former deux rectangles de taille égale et deux carrés de taille égale.
[Enfant 1]
Est-ce que ceci pourrait représenter les quatre quarts du tout?
[Lucas]
Je ne sais pas. Demandons à madame.
[Vidéodescription]
Lucas et son partenaire lèvent la main.
[Institutrice]
Oui, les gars?
[Enfant 1]
Est-ce que ceci pourrait représenter quatre quarts du tout même s'ils ne sont pas pareils?
[Institutrice]
Qu'est-ce qu'on pourrait faire pour vérifier si les quatre parties sont pareilles?
[Lucas]
On pourrait compter les petits carrés à l'intérieur.
[Institutrice]
Essayez-le.
[Enfant 1]
1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4; 1, 2, 3, 4. Il y a quatre unités dans chaque partie, donc je pense que chaque partie représente tout un quart du tout.
[Institutrice]
Qu'en penses-tu, Lucas?
[Lucas]
Même s'ils ne sont pas pareils, ils représentent encore le quart du tout.
[Institutrice]
Bravo, les gars. Vous avez découvert quelque chose de très intéressant. Pourriez-vous le partager à vos camarades lors de l'échange mathématique?
[Vidéodescription]
Pendant ce temps, une autre équipe de deux garçons fait un exercice mathématique à l'aide de trois réglettes identiques. Celles-ci sont orange aux trois quarts tandis que l'autre quart est rouge.
[Enfant 2]
On doit représenter le quart du tout. Ça veut dire qu'il faut séparer chaque longueur en quatre parties égales.
[Vidéodescription]
Le premier garçon place deux courtes réglettes vertes à côté d'une longue réglette orange et rouge, mais les deux réglettes vertes la dépassent. Il les enlève. Le deuxième garçon place une longue réglette noire à côté d'une longue réglette orange et rouge, mais la réglette noire la dépasse. Il l'enlève.
[Enfant 3]
Trop long.
[Enfant 2]
Non. Ça, c'est trop long.
[Enfant 3]
Moi, j'essaie ça. Non.
[Vidéodescription]
Ils retentent l'exercice avec d'autres réglettes. L'un essaie de courtes réglettes jaunes tandis que l'autre essaie de courtes réglettes roses.
[Enfant 2]
Ça aussi c'est trop long.
[Enfant 3]
Ou peut-être ça.
[Vidéodescription]
Le garçon place bout à bout quatre courtes réglettes vert pâle auprès d'une réglette orange et rouge.
[Enfant 2]
On l'a!
[Enfant 3]
Trois là...
[Vidéodescription]
Le garçon place une courte réglette vert pâle auprès de chaque réglette orange et rouge. La réglette vert pâle équivaut à un quart de la réglette orange et rouge.
[Enfant 3]
La réglette vert pâle représente le quart du tout. Maintenant, il faut trouver d'autres façons pour représenter le quart du tout.
[Vidéodescription]
Auprès de la réglette vert pâle, le garçon place une petite réglette blanche cubique et une petite réglette rouge rectangulaire. Les deux mises bout à bout équivalent à la réglette vert pâle.
[Enfant 2]
Je l'ai trouvé. La réglette blanche et la réglette rouge sont de la même longueur que la réglette verte, donc elle aussi représente le quart du tout.
[Enfant 3]
On essaie ça?
[Enfant 2]
OK.
[Vidéodescription]
Le garçon place trois réglettes blanches cubiques auprès d'une réglette vert pâle. Les longueurs sont équivalentes.
[Enfant 3]
Les trois réglettes blanches représentent aussi le quart du tout.
[Fin de la vidéodescription]
Connaissance : nombre fractionnaire
L’apprentissage des fractions débute généralement avec l’utilisation de fractions propres, soit des fractions inférieures à 1. En 2e année, les élèves rencontrent des fractions qui représentent des quantités supérieures à 1 (par exemple, en comptant des morceaux de tartes coupées en quarts, on peut compter 11 quarts qui restent). De telles situations amènent les élèves aux nombres fractionnaires (par exemple, 2 et
Exemple
Si l’on a
Le premier ensemble est constitué de deux cercles et de trois quarts d’un cercle. En dessous, il est écrit « deux et trois quarts ». Le deuxième ensemble est constitué de deux cercles divisés en quatre parties égales et de trois quarts d’un cercle. Le troisième ensemble est constitué d’onze quarts de cercles en pièces détachées. En dessous, il est écrit « onze quarts ».
Si l’on a 11 quarts de tartes, on peut grouper les quarts de tartes, 4 à la fois, pour former des tartes entières. On peut ainsi former 2 tartes avec 8 morceaux. Il reste alors 3 quarts. On a donc 2 et
Le premier ensemble est constitué d’onze quarts de cercles en pièces détachées. En dessous, il est écrit « onze quarts ». Le deuxième ensemble est constitué de deux cercles divisés en quatre parties égales et de trois quarts d’un cercle. Le troisième ensemble est constitué de deux cercles et de trois quarts d’un cercle. En dessous, il est écrit « deux et trois quarts ».
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 53 et 54.
Connaissance : fraction
La compréhension de la représentation de quantités par des fractions permet d’approfondir le concept de quantité. Il importe de comprendre que les fractions (par exemple, un demi, un tiers, un quart) représentent des quantités différentes selon qu’elles font référence à une partie d’un tout (une longueur, une surface ou un solide) ou à une partie d’un ensemble. Par exemple, un tiers d’une tablette de chocolat (partie d’un tout) représente une quantité de chocolat en fonction de la grosseur de la tablette originale. Cependant, un tiers d’une douzaine d’œufs (partie d’un ensemble) représente quatre œufs.
Au-dessus du premier morceau de chocolat à gauche, qui contient trois carrés, il est écrit : « Parties d’un tout ». Une flèche au troisième carré mentionne la fraction un tiers. Au centre, il y a un morceau de chocolat à trois carrés. Le carré du bas possède une flèche qui mentionne la fraction un tiers. Et à droite, il y a une douzaine d’œufs dont les quatre derniers œufs à droite sont encerclés. Une flèche part de l’ensemble de quatre et mentionne la fraction un tiers. Et au-dessus des œufs, il est écrit : « Partie d’un ensemble ».
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 1re à la 3e année, p. 48.
Fournir aux élèves des occasions de découvrir que :
- lorsque la fraction représente une région (modèle de surface), l’aire de chaque partie doit être de mesure équivalente;
- lorsque les fractions sont utilisées pour décrire des ensembles (modèle d’ensemble), les objets composant les ensembles peuvent être de tailles différentes (par exemple, si l’on dit que
- la fraction représente une relation plutôt qu’un nombre particulier. Il importe que les élèves sachent que
- la fraction représente une partie d’un tout.
Source : Guide d'enseignement efficace des mathématiques, de la 1re à la 3e année, p. 30.
Connaissance : partage équitable
Situation où un ensemble est partagé ou distribué parmi un nombre connu de personnes ou de groupes.
Exemple
Sacha a 12 pommes. Il veut les partager également entre 4 amis. Combien de pommes chaque ami recevra-t-il?
Note : Plusieurs élèves commencent par distribuer des objets entiers, puis séparent ceux qui restent. D’autres séparent chaque élément et distribuent les parties. Lorsque le nombre de personnes est supérieur au nombre d’objets à partager, il faut diviser les objets dès le début du processus de partage.
Un demi : Lorsqu’un tout est divisé en 2 parties équivalentes, chaque partie est la moitié de la quantité originale. Deux demis donnent un tout.
Un quart : Lorsqu’un tout est partagé en 4 parties équivalentes, chaque partie représente 1 quart de la quantité originale. Quatre quarts donnent un tout.
Un tiers : Lorsqu’un tout est partagé également en 3 parties, chaque partie représente 1 tiers du tout. Trois tiers forment un tout.
Un sixième : Lorsqu’un tout est partagé également en 6 parties, chaque partie représente 1 sixième du tout. Six sixièmes forment un tout.