C2.4 Résoudre des inégalités qui comprennent des termes multiples et des nombres naturels, et vérifier et présenter les solutions à l’aide de modèles et de représentations graphiques.
Habileté : résoudre des inégalités et vérifier et présenter les solutions à l’aide de modèles et de représentations graphiques
Pour faciliter l’apprentissage du concept d’inégalité, le personnel enseignant doit proposer aux élèves des activités qui les incitent à analyser des situations d’inégalité et à les traiter de manière algébrique. Il discute ensuite avec les élèves des stratégies utilisées pour analyser les inégalités en privilégiant celles qui font appel aux représentations concrètes et semi-concrètes, et qui mettent l’accent sur le sens de l’inégalité plutôt que sur l’application mécanique d’une procédure ou de calculs fastidieux.
Représenter les solutions à l’aide d’une droite numérique permet notamment aux élèves d’analyser une inégalité en misant sur leur sens du nombre, des opérations et du symbole, et de trouver l’intervalle des valeurs valides dans une situation d’inégalité.
Les élèves doivent consolider cette stratégie, puisqu’elle est à la base d’une bonne compréhension des manipulations algébriques auxquelles elles et ils seront exposés au cours des années d’études suivantes. Les élèves peuvent aussi avoir recours à ces stratégies pour résoudre des équations simples.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 200.
L’inégalité
Description de la vidéo
[musique entraînante]
[Vidéodescription]
Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.
[Narratrice]
L'inégalité. Une inégalité est une relation d'ordre entre deux expressions ou quantités. Elle est représentée par divers signes mathématiques.
[Vidéodescription]
Plus petit que, plus grand que, plus petit ou égal à, plus grand ou égal à.
[Narratrice]
Dans cet exemple-ci, la somme d'argent d'Adam est plus grande, donc supérieure à la somme d'argent de Tyler.
[Vidéodescription]
Deux visages de garçons blancs sont placés côte à côte. Sous celui d'Adam, qui est à gauche, il y a un billet de cinq dollars et une pièce de deux dollars, ainsi que l'addition 5 + 2. Sous celui de Tyler, qui est à droite, il y a deux pièces de deux dollars et une pièce de un dollar, avec l'addition 2 + 2 + 1. Il y a un signe « plus grand que » entre les deux additions.
[Narratrice]
Il est aussi possible de dire que la somme d'argent de Tyler est plus petite, donc inférieure à celle d'Adam.
[Vidéodescription]
Les places sont échangées; Tyler se retrouve à gauche et Adam à droite. Le signe « plus grand que » est changé pour un signe « plus petit que ».
[Narratrice]
Utilisons cet exemple pour voir les propriétés de l'inégalité. La droite numérique nous permet d'ordonner les nombres 5 et 7. Lorsque nous ajoutons la même quantité aux deux membres d'une inégalité, nous obtenons une inégalité de même sens.
[Vidéodescription]
La droite numérique est graduée de 0 à 10. Les chiffres 5 et 7 sont encerclés, et en dessous, il est écrit : 5 plus petit que 7. Ensuite, les cercles quittent ces chiffres et vont encercler le 8 et le 10. Une flèche part de 5 et se rend à 8 en indiquant « 5 + 3 ». Une flèche relie 7 à 10 en indiquant « 7 + 3 ». Sous la droite, il est écrit : 8 plus petit que 10.
[Narratrice]
La même chose se produit lorsque nous enlevons la même quantité aux deux membres.
[Vidéodescription]
Sur la droite numérique, les chiffres 5 et 7 sont encerclés, et en dessous, il est écrit : 5 plus petit que 7. Ensuite, les cercles quittent ces chiffres et vont encercler le 2 et le 4. Une flèche part de 5 et se rend à 2 en indiquant « 5 - 3 ». Une flèche relie 7 à 4 en indiquant « 7 - 3 ». Sous la droite, il est écrit : 2 plus petit que 4.
[Narratrice]
Lorsque nous multiplions les deux membres d'une inégalité par un nombre positif différent de zéro, nous obtenons toujours une inégalité de même sens.
[Vidéodescription]
La droite numérique est graduée de 0 à 15. Les chiffres 5 et 7 sont encerclés, et en dessous, il est écrit : 5 plus petit que 7. La droite numérique rétrécit et migre en haut de l'écran tandis qu'apparaît une droite identique, mais de la taille originale, avec 5 et 7 encerclés. Une flèche part de 0 et se rend à 5, et une flèche relie 5 à 10 en indiquant « 2 fois 5 ». Une flèche part de 0 et se rend à 7, et une flèche relie 7 à 14 en indiquant « 2 fois 7 ». Sous la droite, il est écrit : 2 plus petit que 4. Les cercles quittent 5 et 7 et vont encercler 10 et 14. Sous la droite, il est écrit 10 plus petit que 14.
[Narratrice]
La même chose se produit lorsque nous divisons les deux membres d'une inégalité par un nombre positif différent de zéro.
[Vidéodescription]
Sur la droite numérique graduée de 0 à 15, les chiffres 5 et 7 sont encerclés, et en dessous, il est écrit : 5 plus petit que 7. Une flèche relie 10 à 5 en indiquant « 10 divisé par 2 ». Une flèche relie 14 à 7 en indiquant « 14 divisé par 2 ».
[Narratrice]
Attention, lorsque nous multiplions les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif différent de zéro, nous obtenons une inégalité de sens contraire.
[Vidéodescription]
Sur une double droite numérique, le cercle entoure 0 d'abord, mais vient entourer successivement -2, -4, -6, -8 et -10. Des flèches bondissent de 0 à -2, de -2 à -4, de -4 à -6, de-6 à -8 et de -8 à -10 en indiquant « 5 fois (-2). » Ensuite, des flèches bondissent de 0, à -2, à -4, et ainsi de suite jusqu'à -14 en indiquant « 7 fois (-2) ». -10 et -14 sont encerclés.
[Narratrice]
Par exemple, 5 x (-2) n'est pas inférieur à 7 x (-2). C'est plutôt -14 qui est inférieur à -10. Autrement dit, -10 est supérieur à -14.
La même chose se produit lorsque nous divisons les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif différent de zéro. Par exemple, si on divise -10 par -1, on doit faire 10 bonds de 1 dans le sens négatif. Donc (-10) / (-1) = 10. De la même façon, (-14) / (-1) = 14. Ainsi, (-10) / (-1) n'est pas supérieur à (-14) / (-1). C'est plutôt 10 qui est inférieur à 14.
Continuons. Une inéquation est une inégalité mathématique comportant une ou plusieurs variables pour lesquelles nous cherchons un ensemble de valeurs pour que l'inéquation soit toujours vraie.
[Vidéodescription]
2b + 5 plus grand ou égal à 10. b = point d'interrogation.
[Narratrice]
Dans cette capsule, nous utilisons simplement le mot « Inégalité », qui est un terme englobant. Soit l'exemple suivant : Madia achète une boîte de crayons de couleur qui coûte 5 $. Elle veut aussi acheter des sacs de bonbons qui coûtent 2 $ chacun. Combien de sacs de bonbons peut-elle acheter si elle a 10 $?
[Vidéodescription]
Au centre de l'écran se trouve le visage de Madia, une jeune femme blanche. À sa gauche il y a la boîte de crayons étiquetée à 5 dollars, à sa droite il y a le sac de bonbons étiquetté à 2 dollars, et en haut de sa tête il y a un point d'interrogation.
[Narratrice]
Si la variable b représente le nombre de sacs de bonbons, alors cette inégalité représente le problème : 2 $ fois le nombre de sacs de bonbons plus 5 $ est inférieur ou égal à 10 $.
[Vidéodescription]
2b + 5 plus petit ou égal à 10.
[Narratrice]
Résoudre cette inégalité revient à trouver l'ensemble des valeurs de b pour que l'inégalité soit toujours vraie. Comme le nombre de sacs de bonbons ne peut être que des entiers naturels, si b est égal à 1, alors 7 est inférieur ou égal à 10. L'inégalité est vraie, 1 est une solution.
[Vidéodescription]
Si b = 1, alors, 2 fois 1 plus 5 plus petit ou égal à dix; 2 + 5 plus petit ou égal à 10; 7 plus petit ou égal à 10.
[Narratrice]
Si b est égal à 2, alors 9 est inférieur ou égal à 10. L'inégalité est vraie, 2 est aussi une solution.
[Vidéodescription]
Si b = 2, alors, 2 fois 2 + 5 plus petit ou égal à 10; 4 + 5 plus petit ou égal à 10, 9 plus petit ou égal à 10.
[Narratrice]
Si b est égal à 3, alors 11 est supérieur à 10. L'inégalité n'est pas respectée, 3 n'est pas une solution.
[Vidéodescription]
Si b = 3, alors 2 fois 3 + 5 plus petit ou égal à 10; 6 + 5 plus petit ou égal à 10; 11 plus petit ou égal à 10.
[Narratrice]
Donc, Madia peut acheter un ou deux sacs de bonbons. Récapitulons. Une inégalité représente une relation d'ordre entre deux expressions ou quantités.
[Vidéodescription]
4 + 6 plus petit que 2 fois 6. 4 + 6 + 4 plus petit que 2 fois 6 + 4. 14 plus petit que 16.
[Narratrice]
Il est possible d'ajouter ou d'enlever le même nombre à chaque membre d'une inégalité pour que celle-ci reste vraie.
[Vidéodescription]
14 plus petit que 16. 14 - 5 plus petit que 16 - 5. 9 plus petit que 11.
[Narratrice]
Il est possible de multiplier ou de diviser chaque membre d'une inégalité par le même nombre positif.
[Vidéodescription]
9 plus petit que 11. 9 fois 4 plus petit que 16 fois 4. 36 plus petit que 44.
36 divisé par 2 plus petit que 44 divisé par 2. 18 plus petit que 22.
[Narratrice]
L'inégalité est toujours de même sens. Toutefois, si chaque membre d'une inégalité est multiplié ou divisé par le même nombre négatif, alors l'inégalité est de sens contraire.
[Vidéodescription]
18 plus petit que 22. 18 fois (-2) plus petit que 22 fois (-2). -36 plus petit que -44. Un gros X vient raturer -36 plus petit que -44. Le signe « plus petit que » s'inverse pour devenir « plus grand que ». -36 plus grand que -44.
-36 plus grand que -44. -36 divisé par (-4) plus grand que -44 divisé par -4. 9 plus grand que 11. Un gros X vient raturer 9 plus grand que 11. Le signe « plus grand que » s'inverse pour devenir « plus petit que ». 9 plus petit que 11.
[Narratrice]
Une inéquation est une inégalité mathématique comportant une ou plusieurs variables.
[Vidéodescription]
2b + 5 plus petit ou égal à 10. Le visage de Madia encadré de deux sacs de bonbons apparait. b = 1 ou 2.
[Narratrice]
Résoudre une inéquation revient à trouver un ensemble de valeurs pour que l'inéquation soit toujours vraie.
[Chanson]
C'est pour toi, Eurêka!
[Fin de la vidéodescription]
Représenter les solutions à l’aide d’une droite numérique
Cette stratégie consiste à lire attentivement la phrase mathématique donnée et à remplacer la variable afin de trouver l’intervalle des valeurs valides dans la situation d’inégalité. Une table de valeurs permet de trouver plusieurs valeurs pour la variable. Par la suite, la solution peut être représentée graphiquement sur une droite numérique.
Exemple
La première colonne dans la table de valeurs représente le nombre par lequel la variable y sera remplacée
dans l’expression algébrique
La deuxième colonne dans la table de valeurs représente la solution de l’expression algébrique lorsque la variable y est remplacée par le nombre dans la première colonne.
La troisième colonne dans la table de valeurs confirme ou réfute la validité de la valeur de la variable y.
Est-ce que
| y | 7y + 31 | ≥78 |
|---|---|---|
| 0 | 31 | non |
| 1 | 38 | non |
| 2 | 45 | non |
| 3 | 52 | non |
| 4 | 59 | non |
| 5 | 66 | non |
| 6 | 73 | non |
| 7 | 80 | oui |
| 8 | 87 | oui |
| 9 | 94 | oui |
| 10 | 101 | oui |
L’intervalle des valeurs valides peut être représenté à l’aide d’une droite numérique :
La solution est donc
Note : Sur une droite numérique, un point vide indique une relation d’inégalité stricte (« est inférieur à » ou « est supérieur à »); un point plein indique une relation d’inégalité large (« est inférieur ou égal à » ou « est supérieur ou égal à »).
Une fois que l’élève a résolu une inéquation, vérifier sa solution en insérant cette valeur dans l’inéquation initiale est une excellente habitude à prendre.
La résolution d’inéquations : isoler la variable et représenter l’ensemble-solution sur une droite numérique.
Description de la vidéo
[musique entraînante]
[Vidéodescription]
Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.
[Intervenant]
La résolution d'une inéquation du premier degré. Résoudre une inéquation, c'est-à-dire une inégalité mathématique, revient à trouver l'ensemble de valeurs d'une ou de plusieurs variables pour que l'inégalité soit toujours vraie.
[Vidéodescription]
-5x + 7 est plus grand ou égal à 12.
[Intervenant]
Pour y arriver, il suffit d'isoler la ou les variables en respectant les propriétés de l'inégalité.
[Vidéodescription]
X égale point d'interrogation.
[Intervenant]
Kheira et ses amis veulent amasser des fonds pour payer leur sortie de fin d'année scolaire. Ils dépensent 64 $ en prévision d'une vente de barbe à papa.
[Vidéodescription]
Les visages de trois jeunes personnes, deux blanches et une afrodescendante, apparaissent à l'écran. Ils disparaissent pour faire place à trois billets de 20 dollars et deux pièces de deux dollars avoisinant une barbe à papa sur bâton. L'argent s'efface, puis la barbe à papa migre au centre de l'écran. Un point d'interrogation vient s'y superposer.
[Intervenant]
Ils se demandent le nombre de barbes à papa qu'ils devront vendre pour réaliser un profit si le prix d'une barbe à papa est de 2 $.
[Vidéodescription]
La barbe à papa se déplace à gauche de l'écran et se munit d'une étiquette indiquant deux dollars. Une flèche pointe à droite vers un sac d'argent.
[Intervenant]
Si la variable b représente le nombre de barbes à papa, alors cette inégalité représente le problème : 2 $ fois le nombre de barbes à papa doit être supérieur à 64 $.
[Vidéodescription]
b = barbe à papa. 2b = 64.
[Intervenant]
Pour isoler la variable b, nous devons diviser les deux membres de l'inégalité par 2.
[Vidéodescription]
2b divisé par 2 est plus grand que 64 divisé par 2. L'on simplifie l'équation en raturant les deux premiers 2.
[Intervenant]
Ainsi, b est supérieur à 32. Kheira et ses amis doivent donc vendre plus de 32 barbes à papa pour réaliser un profit.
[Vidéodescription]
Dix ensembles de trois et un ensemble de deux barbes à papa avoisinent un sac d'argent. Tout s'efface pour faire place à la formule « 2b est plus grand que 64 ».
[Intervenant]
Vérifions quelques solutions pour s'assurer que l'inégalité demeure toujours vraie.
[Vidéodescription]
2 fois 50 est plus grand que 64.
[Intervenant]
Si b est égal à 50, alors 100 est supérieur à 64. C'est vrai.
[Vidéodescription]
2 fois 33 est plus grand que 64.
[Intervenant]
Si b est égal à 33, alors 66 est supérieur à 64. C'est vrai.
[Vidéodescription]
2 fois 32 est plus grand que 64.
[Intervenant]
Si b est égal à 32, alors 64 est supérieur à 64. C'est faux. Cela confirme que notre solution est bonne.
[Vidéodescription]
b est plus grand que 32.
[Intervenant]
Illustrons l'ensemble de solutions sur une droite numérique.
[Vidéodescription]
La droite numérique est graduée de 31 à 37. Le nombre 32 est encerclé.
[Intervenant]
Puisque b est supérieur et non égal ou supérieur à 32, les élèves doivent vendre plus de 32 barbes à papa pour réaliser un profit. Le point est placé sur le nombre 32 est donc vide, car il est exclu de l'ensemble des solutions.
[Vidéodescription]
Un X rouge se trace sur le nombre 32. La droite s'efface pour céder la place à un sac d'argent qui s'installe à gauche de l'écran.
[Intervenant]
Pour amasser plus d'argent, les élèves décident d'acheter des bracelets afin de les revendre.
[Vidéodescription]
Une flèche part du sac d'argent et pointe à droite vers un ensemble de bracelets.
[Intervenant]
Le site Web Top-mode propose un paquet de 10 bracelets à 17 $ et la livraison est gratuite. Quant à lui, le site Web Stylistes propose les mêmes bracelets à 14 $, mais il y a des frais de livraison de 12 $. À partir de combien de paquets de bracelets l'option Stylistes est-elle équivalente à l'option Top-mode, ou même plus avantageuse? Si la variable p représente le nombre de paquets de bracelets, alors cette inégalité représente le problème : 14 $ fois le nombre de paquets de bracelets + 12 $ pour les frais de livraison doit être inférieur ou égal à 17 $ fois le nombre de paquets de bracelets.
[Vidéodescription]
14p + 12 est plus petit ou égal à 17p.
[Intervenant]
Pour isoler la variable p, nous devons soustraire 14p des deux membres et ensuite diviser par trois les deux membres.
[Vidéodescription]
14p + 12 - 14p est plus petit ou égal à 17p - 14p. 12 divisé par 3 est plus petit ou égal à 3p divisé par 3.
[Intervenant]
Ainsi, 4 est inférieur ou égal à p, où p est supérieur ou égal à 4. Les élèves doivent donc acheter au moins quatre paquets de bracelets pour que l'option Stylistes soit équivalente ou plus avantageuse que l'option Top-mode.
[Vidéodescription]
14p plus 12 est plus petit ou égal à 17p.
[Intervenant]
Il faut vérifier quelques solutions pour s'assurer que l'inégalité demeure toujours vraie.
[Vidéodescription]
14 X 5 + 12 est plus petit ou égal à 17 X 5. 70 + 12 est plus petit ou égal à 85.
[Intervenant]
Si p est égal à 5, alors 82 est inférieur à 85. C'est vrai.
[Vidéodescription]
14 X 4 + 12 est plus petit ou égal à 17 X 4. 56 + 12 est plus petit ou égal à 68.
[Intervenant]
Si p est égal à 4, alors 68 est égal à 68. C'est vrai.
[Vidéodescription]
14 X 3 + 12 est plus petit ou égal à 17 X 3. 42 plus 12 est plus petit ou égal à 51.
[Intervenant]
Si p est égal à 3, alors 54 est inférieur ou égal à 51. C'est faux. Cela confirme que notre solution est bonne.
[Vidéodescription]
b est plus grand que 32.
[Intervenant]
Illustrons un ensemble de solutions sur une droite numérique.
[Vidéodescription]
La droite est graduée de 3 à 9. Le chiffre 4 est encerclé. En dessous, il est écrit « p est plus grand ou égal à 4 ».
[Intervenant]
Puisque p est égal ou supérieur à 4, les élèves doivent vendre au moins quatre paquets de bracelets Stylistes pour que l'option soit avantageuse. Le point placé sur le chiffre 4 est donc plein, car il est inclus dans l'ensemble des solutions. Récapitulons en utilisant l'inéquation -5x + 7 est supérieur ou égal à 12. Pour déterminer les valeurs possibles de la variable x qui valide l'inégalité, nous devons l'isoler. Nous devons d'abord soustraire 7, puis diviser par -5 les deux membres, sans oublier d'inverser le sens de l'inégalité puisqu'il s'agit d'un nombre négatif. X est donc inférieur ou égal à -1. Ainsi, un point plein est utilisé pour illustrer l'ensemble des solutions sur une droite numérique.
[Vidéodescription]
La droite numérique est graduée de -5 à 3. Il y a un point plein à -1, et la droite est surlignée de jaune entre -1 et -5.
[Chanson]
C'est pour toi, Eurêka!
[Fin de la vidéodescription]
Exemple
Lorsque l’on résout l’inéquation
On obtient
Pour vérifier si la solution est vraie, on peut remplacer la valeur de m par des valeurs autour de 4, par exemple 3, 4 et 5.
C’est vrai.
Cette inégalité est fausse.
Cette inégalité est fausse.
Connaissance : inégalité
Relation d’ordre entre deux expressions ou deux quantités. Il existe quatre symboles d’inégalité :
<, qui signifie « strictement inférieur à/plus petit que »;
>, qui signifie « strictement supérieur à/plus grand que »;
≤, qui signifie « inférieur ou égal à »;
≥, qui signifie « supérieur ou égal à ».
Non-égalité
Relation entre deux expressions ou deux quantités qui n’ont pas la même valeur.
La non-égalité est représentée par le signe « ≠ » (n’est pas égal à, n’égale pas).
Exemple
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 70.