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D2. Probabilité :

Décrire la probabilité que des événements se produisent et utiliser cette information pour faire des prédictions.

SITUATION D’APPRENTISSAGE : probabilités théoriques et expérimentales d’événements indépendants

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Durée totale : environ 120 minutes

Sommaire

Dans cette minileçon, l’élève résout des problèmes de probabilité en comparant des probabilités théoriques avec des probabilités expérimentales d’événements indépendants.

Pistes d’observation

L’élève :

• détermine la probabilité d’un événement en utilisant un diagramme en arbre;
• détermine la probabilité expérimentale d’un événement en réalisant une expérience;
• montre sa compréhension de la relation entre une fraction, un nombre décimal et un pourcentage.

Matériel

• dé
• cartes à jouer
• sac opaque (dans lequel iront les cartes)
• feuille lignée ou blanche
• crayon et efface
• pièce de monnaie
• roulette avec un secteur ombré

Exemple 1

Trois amis, Élias, Joyce et Vincent, ont décidé d’inventer un jeu de hasard. Il s’agit de lancer un dé deux fois de suite. La personne gagnante est déterminée de la façon suivante :

• si les deux lancers sont des nombres impairs, Élias obtient un point;
• si les deux lancers sont des multiples de trois, Joyce obtient un point;
• si les deux lancers sont des nombres supérieurs à trois, Vincent obtient un point.

Détermine la probabilité théorique et la probabilité expérimentale de ces événements. Qui a la meilleure chance de gagner à ce jeu de hasard?

Stratégie 1 – Probabilité théorique

Je dénombre les résultats possibles à l’aide d’un diagramme en arbre.

image Six branches se déploient à partir de l’ensemble de prénoms Élias, Joyce et Vincent. Elles correspondent au premier lancer et sont chiffées d’un à six. À chacune d’elle, six branches se déploient; elles correspondent au deuxième lancer. Élias obtient trois coches rouges vis-à-vis les ensembles de branches numéro un, trois et cinq, pour un total de 9. Joyce obtient deux coches rouges vis-à-vis les ensembles de branches trois et cinq, pour un total de quatre. Ses coches à elle sont encadrées en violet. Vincent obtient trois coches rouges vis-à-vis les ensembles de branches numéro quatre, cinq et six pour un total de neuf. Ses coches à lui sont encadrées en jaune. L’arbre indique qu’il y a 36 résultats possibles.

\(P(Élias\ gagne)=\frac{nombre\ de\ résultats\ favorables}{nombre\ total\ de\ résultats\ possibles}\) \(=\ \frac{9}{36}\)

Je sais que 9 est un facteur commun de 9 et 36. Donc, je peux réduire la fraction en trouvant une fraction équivalente.

\(\frac{9\ \div\ 9}{36\ \div\ 9}=\frac{1}{4}\)

Je sais que je peux trouver le nombre décimal en effectuant une division.

\(1\div 4=0,25\)

Pour trouver le pourcentage, je dois effectuer une multiplication.

\(0,25\times 100 = 25\%\)

La probabilité théorique qu’Élias gagne est faible, soit 25 %.

\(P(Joyce\ gagne)=\frac{nombre\ de\ résultats\ favorables}{nombre\ total\ de\ résultats\ possibles}\) \(=\ \frac{4}{36}\)

Je sais que 4 est un facteur commun de 4 et 36. Donc, je peux réduire la fraction en trouvant une fraction équivalente.

\(\frac{4\ \div\ 4}{36\ \div\ 4}=\frac{1}{9}\)

Je sais que je peux trouver le nombre décimal en effectuant une division.

\(1\div 9=0,111\)

Pour trouver le pourcentage, je dois effectuer une multiplication.

\(0,111\times 100=11,1\%\)

La probabilité théorique que Joyce gagne est très faible, soit environ 11,1 %.

\(P(Vincent\ gagne)=\frac{nombre\ de\ résultats\ favorables}{nombre\ total\ de\ résultats\ possibles}\) \(=\ \frac{9}{36}\)

La probabilité théorique que Vincent gagne est de 25 %.

Élias et Vincent ont les meilleures chances de gagner étant donné que leur probabilité théorique de gagner, de 25 %, est plus élevée que celle de Joyce.

Stratégie 2 – Probabilité expérimentale

Je vais réaliser l’expérience en me servant d’un dé à six faces que je lancerai deux fois de suite, 150 fois en tout. Je note les résultats dans le tableau de probabilités pour ensuite inscrire le total pour chaque combinaison.

Voici un exemple de tableau :

image La combinaison un-un a un résultat de 4, marqué d’une coche verte. La combinaison un-deux a un résultat de cinq. La combinaison un-trois a un résultat de trois, marqué d’une coche verte. La combinaison un-quatre a un résultat de trois. La combinaison un-cinq a un résultat de deux, marqué d’une coche verte. La combinaison un-six a un résultat de six. La combinaison deux-un a un résultat de deux. La combinaison deux-deux a un résultat de deux. La combinaison deux-trois a un résultat de six. La combinaison deux-quatre a un résultat de deux. La combinaison deux-cinq a un résultat de cinq. La combinaison deux-six a un résultat de deux. La combinaison trois-un a un résultat de deux, marqué d’une coche verte. La combinaison trois-deux a un résultat de deux. La combinaison trois-trois a un résultat de sept, marqué d’une coche verte et d’une coche bleue. La combinaison trois-quatre a un résultat de cinq, marqué d’une coche rouge. La combinaison trois-cinq a un résultat de quatre, marqué d’une coche verte. La combinaison trois-six a un résultat de huit, marqué d’une coche bleue. La combinaison quatre-un a un résultat de deux. La combinaison quatre-deux a un résultat de cinq. La combinaison quatre-trois a un résultat de quatre. La combinaison quatre-quatre a un résultat de cinq. La combinaison quatre-cinq a un résultat de deux, marqué d’une coche rouge. La combinaison quatre-six a un résultat de trois, marqué d’une coche rouge. La combinaison cinq-un a un résultat de six, marqué d’une coche verte. La combinaison cinq-deux a un résultat de trois. La combinaison cinq-trois a un résultat de sept, marqué d’une coche verte. La combinaison cinq-quatre a un résultat de un, marqué d’une coche rouge. La combinaison cinq-cinq a un résultat de huit, marqué d’une coche verte et d’une coche rouge. La combinaison cinq-six a un résultat de quatre, marqué d’une coche rouge. La combinaison six-un a un résultat de trois. La combinaison six-deux a un résultat de cinq. La combinaison six-trois a un résultat de trois, marqué d’une coche bleue. La combinaison six-quatre a un résultat de six, marqué d’une coche rouge. La combinaison six-cinq a un résultat de cinq, marqué d’une coche rouge. Et la combinaison six-six a un résultat de huit, marqué d’une coche rouge et d’une coche bleue.

\(P(Élias\ gagne)=\frac{nombre\ d'essais\ favorables}{nombre\ total\ d'essais}\) \(=\ \frac{4\ +\ 3\ +\ 2\ +\ 2\ +\ 7\ +\ 4\ +\ 6\ +\ 7\ +\ 8}{150}\) \(=\ \frac{43}{150}=0,287=28,7\%\)

\(P(Joyce\ gagne)=\frac{nombre\ d'essais\ favorables}{nombre\ total\ d'essais}\) \(=\ \frac{7\ +\ 8\ +\ 3\ +\ 8}{150}\) \(=\ \frac{26}{150}=0,173=17,3\%\)

\(P(Vincent\ gagne)=\frac{nombre\ d'essais\ favorables}{nombre\ total\ d'essais}\) \(=\ \frac{5\ +\ 2\ +\ 3\ +\ 1\ +\ 8\ +\ 4\ +\ 6\ +\ 5\ +\ 8}{150}\) \(=\ \frac{42}{150}=0,28= 28\%\)

Selon les résultats que j’ai obtenus lors de l’expérience, la probabilité expérimentale qu’Élias gagne est d’environ 28,7 %, celle de Joyce est d’environ 17,3 % et celle de Vincent est de 28 %. Alors, Élias et Vincent ont les meilleures chances de gagner à ce jeu de hasard.