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D1.3 Choisir le diagramme le plus approprié pour représenter divers ensembles de données à partir d’une variété de diagrammes, y compris des histogrammes et des diagrammes à ligne brisée; représenter des données à l’aide de diagrammes comprenant des sources, des titres, des étiquettes et des échelles appropriés, et justifier son choix.

HABILETÉ : CHOISIR LE DIAGRAMME APPROPRIÉ POUR REPRÉSENTER DIVERS ENSEMBLES DE DONNÉES

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Visualisation – La représentation de données au moyen de tableaux et de diagrammes favorise la communication de renseignements en vue de leur interprétation.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 62.

Une représentation plutôt qu’une autre …

Comment organiser les données 

Divers tableaux et diagrammes sont couramment utilisés en traitement des données pour représenter des ensembles de données avec clarté et pour en faciliter l’analyse. Chacun a ses avantages ainsi que ses limites. Il importe toutefois de noter qu’en général la création d’un tableau précède la création d’un diagramme.

Au cycle moyen, selon le contenu d’apprentissage du programme-cadre, les élèves représentent les données à l’aide d’une variété de diagrammes, y compris des diagrammes à bandes multiples, des diagrammes à bandes empilées, des histogrammes et des diagrammes à ligne brisée. Ces dernières sont des représentations symboliques.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 66.

HABILETÉ : REPRÉSENTER DES ENSEMBLES DE DONNÉES

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Par exemple, les élèves peuvent représenter un ensemble de données statistiques de façon beaucoup plus succincte et efficace à l’aide d’un tableau ou d’un diagramme qu’à l’aide d’une description orale. Les élèves doivent cependant apprendre à utiliser correctement les diverses représentations conventionnelles des données (par exemple, tableau de fréquences relatives, diagramme à ligne brisée, histogramme) afin de s’assurer que le message transmis est le bon et qu’il est bien compris par les autres. Les élèves peuvent ensuite utiliser ces représentations pour justifier un raisonnement ou appuyer un argument lors d’un échange mathématique avec le groupe-classe.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3^e année, p. 30.

Les sources, les titres, les étiquettes et les échelles fournissent des précisions importantes sur les données d’un diagramme.

• La source indique l’origine des données recueillies.
• Le titre présente les données du diagramme.
• Les étiquettes indiquent les catégories ayant servi au classement des données.
• Les échelles indiquent les valeurs sur un axe du diagramme.

L’ordre des catégories est important dans les diagrammes présentant des données quantitatives. Les nombres sont placés en ordre croissant. En revanche, l’ordre des catégories importe peu dans les diagrammes présentant des données qualitatives. Les couleurs, par exemple, peuvent être placées dans n’importe quel ordre.

Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.

HABILETÉ : JUSTIFIER SON CHOIX DE DIAGRAMME

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Afin de pouvoir bien cibler la meilleure représentation pour les données recueillies, les élèves doivent comprendre les caractéristiques et les objectifs des différents types de diagrammes. Alors que les données peuvent être visualisées au sein de différents types de représentations, il est important de sélectionner celui qui assure la meilleure clarté et la précision des données en contexte. Les élèves sont en mesure de justifier leur choix de diagramme grâce à leurs connaissances approfondies des caractéristiques et des objectifs propres à chaque diagramme.

• Les diagrammes à pictogrammes, les lignes de dénombrement, les diagrammes à bandes, les diagrammes à bandes multiples et les diagrammes à bandes empilées sont utilisés pour présenter des données qualitatives et des données discrètes.
• Les histogrammes présentent des données continues à l’aide d’intervalles. Les bandes d’un histogramme n’ont pas d’espace entre elles en raison de la nature continue des données. Cela contraste avec les diagrammes à bandes qui présentent des espaces entre les bandes pour montrer que les catégories sont discrètes.
• Les diagrammes à ligne brisée servent à montrer une évolution dans le temps et sont utiles pour dégager les tendances. Les élèves mettent en pratique leur compréhension des échelles et des estimations pour créer des diagrammes à ligne brisée.

Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.

Les élèves de la 6^e année représentent des ensembles de données pour la première fois dans des histogrammes et des diagrammes à ligne brisée. Toutefois, il importe de rappeler les types de diagrammes vus lors des années précédentes afin que les élèves puissent choisir le diagramme approprié selon les données et ainsi justifier leur choix.

CONNAISSANCE : TYPES DE DIAGRAMME

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Ligne de dénombrement

La ligne de dénombrement est utile pour représenter un grand nombre de données numériques. Chaque donnée est représentée par un X et les X correspondant à une même quantité sont disposés l’un au-dessus de l’autre de manière à former des colonnes. Puisque la hauteur de chaque colonne correspond alors à la fréquence qu’elle représente, l’analyse des données s’effectue facilement.

Exemple

Le personnel enseignant demande à ses élèves de vérifier depuis combien d’années leurs parents demeurent dans leur logis actuel. Les résultats sont représentés par la ligne de dénombrement suivante.

image La ligne de dénombrement s’intitule : « Nombre d’années que les parents des élèves de quatrième année habitent leur logis actuel ». La ligne intitulée « Nombre d’années » est graduée de un à 23. Le chiffre un affiche la présence d’un X. Le chiffre deux ne présente aucun X. Le chiffre 3 présente 4 X. Le chiffre 4 présente 6 X. Le chiffre 5 présente 5 X. Les chiffres 6 et 7 ne présentent aucun X. Le chiffre 8 présente deux X. Les nombres 9, dix et 11 ne présentent aucun X. Le nombre 12 présente un X. Le nombre 13 présente 7 X. Le nombre 14 présente 4 X. Le nombre 15 présente 5 X. Les nombres 16, 17, 18 et 19 ne présentent aucun X. Le nombre 20 présente deux X. Les nombres 21 et 22 ne présentent aucun X. Le nombre 23 présente un X.

On voit facilement d’après la répartition des X qu’il y a eu deux vagues de déménagements, soit il y a de 3 à 5 ans et de 13 à 15 ans, ce qui pourrait être le résultat de la construction de nouveaux logis ou de la création de nouveaux emplois dans la ville.

Caractéristiques d’une ligne de dénombrement :

• Elle a un titre.
• Elle a un axe horizontal gradué portant une étiquette.
• Chaque donnée est représentée par un X. Les X qui représentent une même donnée numérique sont superposés et sont séparés l’un de l’autre par un espace constant.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 83-84.

Diagramme à bandes (verticales ou horizontales)

Le diagramme à bandes sert à représenter les fréquences d’un ensemble de données. Il est composé de bandes rectangulaires dont la longueur correspond à la taille des fréquences. Il permet de voir, en un coup d’œil, la distribution des données dans chacune des catégories.

Note : Pour faciliter la création de diagrammes à bandes, il est recommandé de demander aux élèves d’utiliser du papier quadrillé.

image Un diagramme à 4 bandes violettes s’intitule « Anniversaires de naissance selon les saisons ». L’axe horizontal est nommé « Saisons », et l’axe vertical est nommé « Nombre d’élèves ». Au printemps, la bande monte jusqu’à 3. À l’été, la bande monte jusqu’à 8. À l’automne, la bande monte jusqu’à 7. Et à l’hiver, la bande monte jusqu’à deux. Un diagramme à 4 bandes violettes horizontales s’intitule « Anniversaires de naissance selon les saisons ». L’axe horizontal est nommé « Nombre d’élèves », et l’axe vertical est nommé « Saisons ». Au printemps, la bande indique trois élèves. À l’été, la bande indique 8 élèves. À l’automne, la bande indique 7 élèves. Et à l’hiver, la bande indique deux élèves.

Caractéristiques d’un diagramme à bandes :

• Il a un titre (par exemple, Anniversaires de naissance selon les saisons).
• Il a un axe (vertical ou horizontal) gradué selon une échelle appropriée.
• Il a un autre axe qui représente des catégories (par exemple, printemps, été, automne, hiver).
• Les deux axes ont chacun une étiquette (par exemple, Nombre d’élèves, Saisons).
• Les bandes ont la même largeur et leur longueur correspond, en fonction de l’échelle retenue, à la taille de la fréquence qu’elles représentent (par exemple, si l’échelle est par intervalles de 1, une bande de longueur 3 représente une fréquence de 3).
• Les bandes sont séparées par des espaces égaux.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 71-72.

Diagramme à bandes multiples

Le diagramme à bandes multiples représente plus d’un ensemble de données simultanément. Il a les mêmes caractéristiques qu’un diagramme à bandes, mais chaque catégorie a deux bandes ou plus de données. Une légende indique le code de représentation des données. 

Un diagramme à bandes multiples peut être construit selon une orientation horizontale ou verticale. L’orientation choisie dépend d’une préférence personnelle ou de la pertinence de la représentation.

image Le titre du diagramme à bandes multiples verticales est : Quantité d’eau de pluie recueillie en avril. Le titre de l’axe des x est : Jour de la semaine. L’axe est gradué en quatre semaines, soit semaine 1, semaine 2, semaine 3 et semaine 4. Le titre de l’axe des y est : Quantité d’eau mesurée (en millimètres). L’axe est gradué par 5, soit de 0 à 25. Il y a une légende : bleu, c’est lundi, jaune, c’est mardi, rouge, c’est mercredi, bleu pâle, c’est jeudi et vert, c’est vendredi. Sous la légende, il est écrit « Source : élèves de 5e année de l’école B ».

Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.

Il est possible d’organiser les données de façon à pouvoir comparer plus facilement des catégories de données entre elles. Pour comparer, par exemple, le nombre et le type d’animaux de compagnie des élèves de la 1^re à la 6^e année, il suffit de résumer les données à l’aide d’un diagramme à bandes multiples, dans ce cas à bandes doubles.

image Un diagramme à bandes doubles horizontales s’intitule « Animaux de compagnie des élèves de la première à la sixième année ». Les bandes jaunes correspondent aux élèves de la première à la troisième année tandis que les bandes violettes correspondent aux élèves de la quatrième à la sixième année. Nommé « Nombre d’élèves », l’axe horizontal est gradué de zéro à 50. L’axe vertical se nomme « Animaux de compagnie ». Pour le chien, la bande horizontale jaune s’arrête entre 40 et 45 tandis que la bande violette dépasse légèrement 45. Pour le chat, la bande jaune dépasse légèrement 35 tandis que la bande violette dépasse légèrement 30. Pour l’oiseau, la bande jaune atteint cinq tandis que la bande violette s’arrête avant cinq. Pour le poisson, la bande jaune s’arrête entre 15 et 20 tandis que la bande violette s’arrête entre cinq et dix. Pour « autre animal », la bande jaune s’arrête un peu avant dix et la bande violette dépasse légèrement dix. Et pour « aucun animal », la bande jaune atteint 40 tandis que la bande violette atteint 35.

Diagramme à bandes empilées

Les diagrammes à bandes empilées présentent les données de façon proportionnelle. Ces diagrammes peuvent être utilisés pour présenter des pourcentages ou des fréquences relatives. Chaque bande du diagramme représente un tout et chaque segment d’une bande représente une catégorie différente. Des couleurs différentes sont utilisées dans chaque bande pour différencier les catégories les unes des autres au sein de la même bande.

Les bandes empilées sont utiles lorsqu’il y a une deuxième variable nominale dans un ensemble de données, par exemple un ensemble qui comprend les sortes de barres granolas préférées et l’âge.

Les sources, les titres, les étiquettes et les échelles fournissent des précisions importantes sur les données d’un diagramme :

• La source indique l’origine des données recueillies.
• Le titre présente les données du diagramme.
• Les étiquettes indiquent les catégories ayant servi au classement des données.
• Les échelles indiquent les valeurs sur un axe du diagramme.
• L’échelle des fréquences relatives est indiquée en utilisant des fractions, des décimales ou des pourcentages.

Exemple

image Le titre du diagramme à bandes empilées est : Quantité d’eau de pluie recueillie en avril. Le titre de l’axe des x est : Jour de la semaine. L’axe est gradué en quatre semaines, soit semaine 1, semaine 2, semaine 3 et semaine 4. Le titre de l’axe des y est : Quantité d’eau mesurée (en millimètres). L’axe est gradué par 5, soit de 0 à 60. Il y a une légende : rouge, c’est lundi, jaune, c’est mardi, rose, c’est mercredi, vert, c’est jeudi et bleu, c’est vendredi. Sous la légende, il est écrit « Source : élèves de 5e année de l’école B ».

CONNAISSANCE : DIAGRAMME À LIGNE BRISÉE

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Le diagramme à ligne brisée permet d’illustrer la relation entre deux ensembles de données continues. Des données continues sont des données qui peuvent prendre n’importe quelle valeur à l’intérieur d’un intervalle choisi. Les élèves du cycle moyen utilisent habituellement le diagramme à ligne brisée pour illustrer le changement sur une période, tel que le changement de température ou la croissance d’une plante. Par exemple, on a mesuré le niveau de l’eau de la rivière Blanche chaque mois de l’année et on a obtenu les résultats suivants.

On peut représenter ces données par des points sur un diagramme comme suit.

image Le diagramme à ligne brisée s’intitule « Niveau de l’eau de la rivière Blanche ». L’axe horizontal se nomme « Mois » tandis que l’axe vertical, gradué de zéro à trois, se nomme « Niveau en mètres ». À la lettre J, le point se situe légèrement au-dessus d’un. À la lettre F, le point se situe à un et demi. À la lettre M, le point se situe à deux. À la lettre A, le point se situe à trois. À la lettre M, le point se situe à deux et demi. À la lettre J, le point se situe au-dessus de deux. À la lettre J suivante, le point se situe entre un et un et demi. À la lettre A, le point se situe à un demi. À la lettre S, le point se situe sous le chiffre un. À la lettre O, le point se situe légèrement plus près du chiffre un. À la lettre N et à la lettre D, le point se situe à un.

Les données correspondant au niveau de l’eau sont continues, puisqu’elles peuvent prendre n’importe quelle valeur entre deux nombres entiers. De même, le temps est une variable continue, puisque l’on peut considérer n’importe quel moment à l’intérieur du mois. On peut donc joindre les points par des segments de droite et obtenir un diagramme à ligne brisée.

image Le diagramme à ligne brisée à points reliés s’intitule « Niveau de l’eau de la rivière Blanche ». L’axe horizontal se nomme « Mois » tandis que l’axe vertical, gradué de zéro à trois, se nomme « Niveau en mètres ». À la lettre J, le point se situe légèrement au-dessus d’un. À la lettre F, le point se situe à un et demi. À la lettre M, le point se situe à deux. À la lettre A, le point se situe à trois. À la lettre M, le point se situe à deux et demi. À la lettre J, le point se situe au-dessus de deux. À la lettre J suivante, le point se situe entre un et un et demi. À la lettre A, le point se situe à un demi. À la lettre S, le point se situe sous le chiffre un. À la lettre O, le point se situe légèrement plus près du chiffre un. À la lettre N et à la lettre D, le point se situe à un.

Le segment de droite entre deux données successives indique que le niveau de l’eau de la rivière change de façon continue entre les deux prélèvements. Les segments de droite qui forment la ligne brisée constituent des approximations de la courbe que l’on obtiendrait si l’on prélevait le niveau de l’eau chaque semaine, chaque jour, chaque heure, chaque minute ou chaque seconde. Avant de créer un diagramme à ligne brisée, les élèves doivent savoir interpréter les points d’un diagramme à ligne brisée déjà créé, c’est-à-dire comprendre ce que chaque point représente. Pour ce faire, le personnel enseignant peut reprendre les données d’une enquête connue des élèves ou leur présenter de nouvelles données en s’assurant qu’elles et ils comprennent bien la situation. Par exemple, il leur présente les résultats d’une enquête au cours de laquelle on a mesuré la hauteur d’une plante chaque semaine pendant cinq semaines consécutives.

Croissance d'une plante

Ensuite, le personnel enseignant leur présente un diagramme dans lequel les données sont représentées par des points, et leur pose des questions pour s’assurer que les élèves comprennent bien ce que représente chaque point.

image Un diagramme à ligne brisée s’intitule « Croissance d’une plante ». L’axe horizontal, gradué de zéro à cinq, se nomme « Nombre de semaines », tandis que l’axe vertical, gradué de zéro à 25, se nomme « Hauteur en centimètres ». Des informations supplémentaires accompagnent un point sur deux. À zéro sur l’axe horizontal, le point se trouve à cinq sur l’axe vertical, avec l’information suivante : « Au début de l’expérience, la plante mesure cinq centimètres ». À un sur l’axe horizontal, le point se situe légèrement sous dix. À deux sur l’axe horizontal, le point se situe légèrement au-dessus de dix, avec l’information suivante : « Après deux semaines, la plante mesure 12 centimètres ». À trois sur l’axe horizontal, le point se situe légèrement au-dessus de 15. À 4 sur l’axe horizontal, le point se situe à 20, avec l’information suivante : « Après 4 semaines, la plante mesure 20 centimètres ». À 5 sur l’axe horizontal, le point se trouve entre 20 et 25.

Ensuite, elle ou il relie les segments consécutifs pour indiquer la croissance pendant la première semaine, la deuxième semaine, et ainsi de suite.

image Un diagramme à ligne brisée à points reliés s’intitule « Croissance d’une plante ». L’axe horizontal, gradué de zéro à cinq, se nomme « Nombre de semaines », tandis que l’axe vertical, gradué de zéro à 25, se nomme « Hauteur en centimètres ». À zéro sur l’axe horizontal, le point se trouve à cinq sur l’axe vertical. À un sur l’axe horizontal, le point se situe légèrement sous dix. À deux sur l’axe horizontal, le point se situe légèrement au-dessus de dix. À trois sur l’axe horizontal, le point se situe légèrement au-dessus de 15. À 4 sur l’axe horizontal, le point se situe à 20. À 5 sur l’axe horizontal, le point se trouve entre 20 et 25.

Le personnel enseignant demande ensuite aux élèves de représenter des données par des points dans des diagrammes dont les échelles et les titres sont déjà fournis. Par exemple, il peut leur demander d’ajouter au diagramme précédent les données pour la croissance d’une seconde plante.

Croissance d'une plante d'Arthur

Les élèves obtiennent ainsi le diagramme ci-dessous auquel elles et ils peuvent ensuite ajouter les segments de droite.

image Un diagramme à double ligne brisée s’intitule « Croissance d’une plante ». L’axe horizontal, gradué de zéro à cinq, se nomme « Nombre de semaines », tandis que l’axe vertical, gradué de zéro à 25, se nomme « Hauteur en centimètres ». La première séquence de points est violette et les points sont reliés. La deuxième séquence est rouge et les points ne sont pas reliés. À zéro sur l’axe horizontal, le point violet se trouve à cinq sur l’axe vertical, tandis que le point rouge se trouve à zéro. À un sur l’axe horizontal, le point violet se situe légèrement sous dix tandis que le point rouge se situe entre zéro et un. À deux sur l’axe horizontal, le point violet se situe légèrement au-dessus de dix tandis que le point rouge se situe légèrement au-dessus de cinq. À trois sur l’axe horizontal, le point violet se situe légèrement au-dessus de 15 tandis que le point rouge se trouve entre dix et 15. À 4 sur l’axe horizonal, le point violet se situe à 20 tandis que le point rouge se trouve entre 15 et vingt. Et à cinq sur l’axe horizontal, le point violet se trouve entre 20 et 25 tandis que le point rouge se trouve à 25.

Lorsque les élèves savent interpréter et créer un diagramme à ligne brisée dont l’échelle de chaque axe est déjà indiquée, elles et ils doivent ensuite apprendre à déterminer l’échelle qui correspond le mieux à un ensemble de données.

Caractéristiques d’un diagramme à ligne brisée

• Il a un titre (par exemple, Niveau de l’eau de la rivière Blanche).
• Les axes ont chacun une échelle appropriée (par exemple, 0, 1, 2, 3 et J, F, M …).
• Les axes ont chacun une étiquette (par exemple, Mois, Niveau [m]).
• Les données sont représentées par des points.
• Les points consécutifs sont reliés par des segments qui indiquent le changement entre les deux données correspondantes.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 79-82.

CONNAISSANCE : HISTOGRAMME

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Mode de représentation des valeurs prises par une variable continue (par exemple, la taille, l’âge, la masse) sur un échantillon donné. Pour chaque classe, on trace un rectangle dont le côté sur l’axe des abscisses a pour longueur l’amplitude de la classe et dont la hauteur est proportionnelle à la fréquence de la classe. L’histogramme est généralement utilisé pour le traitement de grands ensembles de données. Il n’y a aucun intervalle entre les barres à cause de la nature continue des données. Le graphique formé en reliant les points médians des sommets des colonnes d’un histogramme se nomme le polygone des fréquences.

Exemple

image Un diagramme à cinq bandes colorées se nomme « Taille des élèves du cycle moyen ». L’axe horizontal se nomme « Taille en centimètres » tandis que l’axe vertical, gradué de zéro à 20, se nomme « Nombre d’élèves ». La première bande est jaune et s’élève à 20. La deuxième bande est rouge et s’élève à 15. La troisième bande est bleue et s’élève à dix. La quatrième bande est violet pâle et s’élève entre dix et 15. Et la cinquième bande est violet foncé et s’élève légèrement au-dessus de 15.

Un histogramme donne une image de la distribution ou de la forme des données.

Une distribution normale donne un histogramme symétrique qui ressemble à une cloche. Dans ce cas, le mode, la moyenne et la médiane sont les mêmes.

Si les données montent de gauche à droite, la moyenne sera probablement inférieure à la médiane. Si les données descendent de gauche à droite, alors la moyenne sera probablement supérieure à la médiane.

Source : Curriculum de l'Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l'Éducation de l'Ontario.

image Un diagramme hybride illustre des données au moyen de 8 bandes et de points reliés qui trônent au sommet de chacune d’elles. Le diagramme s’intitule : « Distances parcourues par les avions en papier ». L’axe horizontal, gradué de zéro à 800, se nomme « Distances en centimètres ». L’axe vertical, gradué de zéro à 25, se nomme « Nombre d’avions ». La première bande, de 200 à 250, est violet foncé et s’élève légèrement sous le nombre dix. La deuxième bande, de 250 à 300, est violet pâle et s’élève entre dix et 15. La troisième bande, entre 300 et 350, est violet foncé et s’élève jusqu’à 20. La quatrième bande, entre 350 et 400 est violet pâle et s’élève légèrement au-dessus de 20. La cinquième bande, de 400 à 450 est violet foncé et s’élève légèrement sous le nombre 20. La sixième bande, de 450 à 500, est violet pâle et s’élève légèrement au-dessus de dix. La septième bande, de 500 à 550 est violet foncé et s’élève à dix. Et la huitième bande, de 550 à 600, est violet pâle et s’élève à cinq.

Source : En avant, les maths!, 6^e année, CM, Données, p. 2.