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D2.2 Déterminer et comparer les probabilités théoriques et expérimentales qu’un événement se produise.

ACTIVITÉ 1 : PROBABILITÉ THÉORIQUE

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Le scénario pédagogique d’une situation de probabilité est présenté ci-dessous pour illustrer la façon dont le personnel enseignant peut amener les élèves à développer une meilleure compréhension des concepts liés à la probabilité théorique et à acquérir, par le fait même, une pensée probabiliste plus approfondie. Cette activité fait aussi ressortir une erreur que plusieurs personnes font lorsqu’il est question de probabilité, soit celle de ne pas tenir compte de tous les résultats possibles.

Le jeu des jetons bicolores 

Le personnel enseignant groupe les élèves en équipes de trois. Il remet à chaque équipe deux jetons bicolores (par exemple, un côté vert et un côté rouge). Il présente ensuite aux élèves la situation suivante :

Trois élèves décident de jouer à un jeu qui consiste à lancer en l’air deux jetons bicolores. Elles et ils s’entendent au préalable sur ce qui suit : l’élève A gagne si le résultat des lancers correspond à deux côtés verts (  ), l’élève B gagne si le résultat correspond à deux côtés rouges (  ) et l’élève C gagne si le résultat correspond à deux couleurs différentes (  ). Selon vous, ce jeu est-il juste?

Un jeu est juste si la probabilité de gagner pour chaque personne est la même. 

Première étape : La prise de position 

Le personnel enseignant demande d’abord à chaque élève d’indiquer aux autres membres de son équipe si elle ou il pense que le jeu est juste ou non, sans donner de raison.

Note : Le fait de demander aux élèves de prendre position dès le début de l’activité suscite leur intérêt et leur engagement. En effet, elles et ils auront tendance ensuite à vouloir montrer qu’elles et ils ont raison, et, si ce n’est pas le cas, elles et ils voudront en comprendre la raison. De plus, puisque les élèves risquent de baser leur réponse sur une compréhension intuitive de la probabilité, le personnel enseignant pourra avoir une bonne idée de leur degré de pensée probabiliste et pourra évaluer la présence des fausses conceptions de la probabilité. 

Le personnel enseignant demande ensuite à chaque élève de justifier son choix aux membres de son équipe. L’élève A, par exemple, pourrait affirmer que le jeu est juste, puisqu’on a attribué à chaque élève un des trois résultats qu’il est possible d’obtenir à la suite du lancer des deux jetons bicolores, soit R R, R V et V V. Les élèves doivent discuter entre elles et eux des arguments présentés et tenter de s’entendre sur une prise de position commune pour l’équipe. Certaines et certains élèves pourraient constater que ce qu’elles et ils perçoivent comme étant une évidence peut être perçu différemment par les autres. Ces remises en question contribuent grandement à faire changer certaines des fausses conceptions en probabilité. 

Deuxième étape : L’expérience 

Le personnel enseignant suggère ensuite aux élèves d’effectuer une expérience afin de vérifier si le choix qu’a retenu l’équipe semble correct. Chaque équipe doit lancer les deux jetons 10 fois, noter les résultats et les analyser pour voir si ces derniers confirment ou infirment leur position.

Le personnel enseignant prépare un tableau des résultats et demande à chaque équipe d’y écrire leurs données.
Voici un exemple de résultats possibles :

Résultats des lancers des jetons bicolores

Le personnel enseignant anime une discussion au sujet des résultats présentés dans le tableau en posant aux élèves des questions telles que :

• Y a-t-il des équipes qui ont modifié leur choix initial, à savoir si le jeu est juste ou pas, à la suite des résultats obtenus? Si oui, pourquoi?

Note : Compte tenu du nombre restreint d’essais, il est fort possible que la position d’une équipe soit la bonne, mais que les résultats de l’expérience laissent croire le contraire.

• Que constatez-vous lorsque vous comparez les résultats qu’ont obtenus les différentes équipes? (Il y a une grande variabilité dans les résultats.)
• Selon les résultats, quelles équipes pourraient conclure que le jeu est juste? qu’il n’est pas juste?

Le personnel enseignant discute ensuite avec les élèves de la difficulté pour chaque équipe de tirer des conclusions en ayant fait 10 essais seulement. Afin d’augmenter la fiabilité des conclusions, il leur suggère de considérer l’ensemble des résultats de toutes les équipes. En faisant la somme des résultats dans chaque colonne, on obtient le tableau qui suit.

Résultats des lancers des jetons bicolores

Le personnel enseignant incite les élèves à analyser ces données en posant des questions telles que :

• Que constatez-vous au sujet du nombre de résultats R R et V V? (Le nombre de résultats R R est très semblable au nombre de résultats V V.)
• Que constatez-vous au sujet du nombre de résultats R V? (Il est nettement plus élevé que le nombre de résultats R R et que le nombre de résultats V V. En fait, il est presque équivalent à la somme des résultats R R et V V.)
• Qu’est-ce que ces données semblent indiquer au sujet du jeu? Pourquoi? (Les données semblent indiquer que le jeu n’est pas juste, parce que l’élève C semble avoir une plus grande probabilité de gagner que les deux autres élèves.)
• Si l’on faisait 100 autres essais, est-il possible que les données nous portent à penser que le jeu est juste? (Si l’on tient compte de la variabilité des résultats qu’a obtenus chacune des équipes, cela est en effet possible.)

Troisième étape : La théorie 

Le personnel enseignant souligne aux élèves qu’il serait important de trouver une autre façon de déterminer si le jeu est juste ou pas. Il leur suggère d’analyser plus attentivement les résultats qu’il est possible d’obtenir à la suite du lancer de deux jetons bicolores. Pour faciliter cette analyse, il écrit le nombre 1 sur les deux côtés du premier jeton et le nombre 2 sur les deux côtés du deuxième jeton. Il leur explique ensuite que si on lance le premier jeton, deux résultats sont possibles, soit un côté vert ou un côté rouge, et que ces deux résultats sont équiprobables. Puis, à la suite de l’obtention de chacun de ces deux résultats, on peut aussi obtenir un côté vert ou un côté rouge en lançant le deuxième jeton. Les résultats des lancers des deux jetons peuvent être représentés à l’aide du diagramme en arbre ou du tableau suivant.

image Diagramme en arbre.Premier jeton : vert; deuxième jeton : un jeton vert, un jeton rouge.Premier jeton : rouge; deuxième jeton : un jeton vert, un jeton rouge.La première rangée du tableau se nomme « Premier jeton vert » et la deuxième rangée se nomme « Premier jeton rouge ». La première colonne se nomme « Deuxième jeton vert » et la deuxième colonne se nomme « Deuxième jeton rouge ». Dans la case correspondant à premier jeton vert et deuxième jeton vert, l’on trouve deux jetons verts. Dans la case correspondant à premier jeton vert et deuxième jeton rouge, l’on trouve un jeton vert et un jeton rouge. Dans la case correspondant à premier jeton rouge et deuxième jeton vert, l’on trouve un jeton rouge et un jeton vert. Et dans la case correspondant à premier jeton rouge et deuxième jeton rouge, l’on trouve deux jetons rouges.

En examinant ces résultats, on constate qu’il y a une façon d’obtenir deux jetons verts, une façon d’obtenir deux jetons rouges et deux façons d’obtenir deux jetons de couleur différente. La probabilité d’obtenir deux jetons de couleur différente est donc plus grande que celle d’obtenir deux jetons rouges ou que celle d’obtenir deux jetons verts, ce qui confirme que le jeu proposé n’est pas juste. 

On peut aussi observer qu’il y a deux façons d’obtenir deux jetons de couleurs différentes (V R et R V) et deux façons d’obtenir deux jetons de la même couleur (R R et V V). La probabilité d’obtenir deux couleurs différentes est donc égale à la probabilité d’obtenir la même couleur. Les résultats des 100 essais présentés dans le tableau plus haut illustrent assez bien ces probabilités (51 résultats R V ou V R et 49 résultats R R ou V V). 

Le personnel enseignant peut aussi demander aux élèves si les conclusions seraient différentes dans une situation où un même jeton bicolore est lancé à deux reprises. L’objectif est de les amener à reconnaître que les deux situations sont identiques, puisqu’il s’agit de résultats indépendants, c’est-à-dire que le résultat du lancer du deuxième jeton ne dépend pas du résultat du lancer du premier jeton. Il n’y a donc pas de différence, en ce qui a trait aux possibilités, entre deux lancers successifs d’un seul jeton ou d’un seul lancer de deux jetons.

Note : Plusieurs élèves ont de la difficulté à accepter que leur prise de position initiale ne soit pas correcte, même lorsqu’une explication théorique leur est fournie. Pour les aider, il est important de les exposer à une variété d’expériences de probabilité.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 151-155.

ACTIVITÉ 2 : UNE ROULETTE REMARQUABLE! (COMPARAISON DE LA PROBABILITÉ EXPÉRIMENTALE ET DE LA PROBABILITÉ THÉORIQUE)

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Grouper les élèves en dix équipes. Remettre à chaque équipe un trombone et une copie de l’annexe 6.5A, l’annexe 6.5B et de l’annexe 6.5C. Demander aux élèves de colorier un quart du cercle de l’Annexe 6.5A en jaune, un quart en bleu et une moitié en vert.

image Un diagramme circulaire est séparé en trois parts : une part verte, qui fait la moitié, une part jaune et une part bleu marine qui font chacun un quart. Au milieu du cercle, il y a un trombone rouge et un crayon de bois dont la mine touche le centre.

Leur demander de mettre le trombone au centre du cercle, de le faire tourner 10 fois, de noter les résultats et de les représenter en coloriant les sections appropriées du cercle de l’Annexe 6.5B.

Exemple

En tournant la roulette 10 fois, le trombone s’est arrêté quatre fois dans la section verte, trois fois dans la section bleue et trois fois dans la section jaune.

Inviter les équipes à afficher leur diagramme circulaire au tableau.

Exemple

image Dix diagrammes circulaires divisés en dix parts égales sont placés en deux rangées de cinq. Ils représentent chacun une équipe. Le diagramme de l’équipe un possède 8 parts vertes et deux parts jaunes. Le diagramme de l’équipe deux possède cinq parts bleu marine, deux parts vertes et trois parts jaunes. Le diagramme de l’équipe trois possède sept parts vertes et trois parts bleu marine. Le diagramme de l’équipe quatre possède quatre parts vertes, quatre parts jaunes et deux parts bleu marine. Le diagramme de l’équipe cinq possède six parts vertes, deux parts jaunes et deux parts bleu marine. Le diagramme de l’équipe six possède quatre parts vertes, deux parts jaunes et quatre parts bleu marine. Le diagramme de l’équipe sept possède cinq parts verteses, deux parts bleu marine et trois parts jaunes. Le diagramme de l’équipe huit possède six parts vertes, trois parts bleu marine et une part jaune. Le diagramme de l’équipe neuf possède six parts vertes, deux parts bleu marine et deux parts jaunes. Et le diagramme de l’équipe dix possède six parts vertes, une part bleu marine et trois parts jaunes.

Animer une discussion afin de faire ressortir la variabilité des résultats, en posant aux élèves des questions telles que :

• Que représentent les diagrammes affichés au tableau?
• Que pouvez-vous dire au sujet de ces représentations?
• Pourquoi n’avez-vous pas toutes et tous obtenu les mêmes résultats?
• En utilisant ces représentations, est-ce que vous pourriez facilement établir un lien avec la répartition des couleurs sur la roulette initiale?

Regrouper, avec les élèves, l’ensemble des données de chacune des équipes dans un tableau et déterminer la somme des fréquences des résultats pour chaque couleur. Représenter ensuite ces sommes sur un transparent de l’annexe 6.5C.

Inciter les élèves à comparer les secteurs coloriés des annexes 6.5A et 6.5C, et à établir un lien entre le nombre d’essais, la fréquence de chacun des résultats et la probabilité théorique.

Exemple

image Deux diagrammes circulaires sont placés côte à côte. Le premier est séparé en trois parts : une part verte, qui fait la moitié, une part jaune et une part bleu marine qui font chacun un quart. Au milieu du cercle, il y a un trombone rouge et un crayon de bois dont la mine touche le centre. Le deuxième est divisé en trois parts. La part verte prend 54 pourcent d’espace. La part bleu marine prend 24 pourcent d’espace. Et la part jaune prend 22 pourcent d’espace.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 238-240.

ACTIVITÉ 3 : QUELLE EST TA ROULETTE? (PROBABILITÉ THÉORIQUE)

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Grouper les élèves en équipes. Remettre à chaque équipe une copie de l’Annexe 6.6 – Gabarits pour roulette, un trombone ainsi qu’un ensemble de probabilités théoriques (voir les exemples ci-après).

Note : Utiliser seulement des fractions dont le dénominateur est un diviseur de 12 et s’assurer que la somme des probabilités est égale à 1.

Exemples d’ensembles de probabilités théoriques

\(P(rouge)=\frac{1}{3},\ P(bleu)=\frac{1}{2},\ P(vert)=\frac{1}{6}\)

\(P(rouge)=\frac{1}{2},\ P(bleu)=\frac{1}{6},\ P(vert)=\frac{1}{3}\)

\(P(rouge)=\frac{2}{3},\ P(bleu)=\frac{1}{4},\ P(vert)=\frac{1}{12}\)

\(P(rouge)=\frac{1}{12},\ P(bleu)=\frac{2}{3},\ P(vert)=\frac{1}{4}\)

\(P(rouge)=\frac{1}{4},\ P(vert)=\frac{3}{4}\)

\(P(rouge)=\frac{1}{3},\ P(bleu)=\frac{1}{3},\ P(vert)=\frac{1}{3}\)

Demander aux élèves de colorier la roulette 1 afin qu’elle représente l’ensemble des probabilités théoriques qui leur a été assigné. Lorsque les équipes ont terminé, les regrouper deux par deux en leur indiquant de ne pas montrer leur roulette à l’autre équipe. Leur expliquer que le jeu consiste à tenter de déterminer, à tour de rôle, les probabilités théoriques qui sont représentées sur la roulette 1 de l’autre équipe. Pour ce faire, l’équipe A cache sa roulette 1, fait tourner le trombone en son centre et informe l’équipe B de la couleur du secteur où le trombone s’arrête. L’équipe B note ce résultat et demande à l’équipe A de faire tourner le trombone de nouveau. Lorsque l’équipe B croit avoir une bonne idée de la répartition des couleurs sur la roulette 1 de l’équipe A, elle représente cette répartition sur sa copie de la roulette 2.

image Sur une surface, trois objets sont placés côte à côte : une feuille blanche sur laquelle un crayon de bois commence à écrire, une carte qui tient debout, et un diagramme circulaire séparé en douze parts : cinq parts vertes, trois parts bleu marine et quatre parts rouges . Au milieu du diagramme, il y a un trombone rouge et un crayon de bois dont la mine touche le centre.

Les deux équipes changent ensuite de rôle et reprennent le jeu. Cette fois, c’est l’équipe A qui note, sur sa copie de la roulette 2, ce qu’elle croit être une bonne répartition des couleurs de la roulette 1 de l’équipe B. Lorsque les deux équipes ont joué, les élèves comparent les roulettes afin de déterminer l’équipe qui a réussi à représenter la roulette de l’équipe adverse avec le plus de justesse.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 241-242.