D1.5 Déterminer la moyenne, la médiane et le ou les modes de divers ensembles de données représentées à l’aide de nombres naturels, et expliquer ce que chacune de ces valeurs indique au sujet des données.
Habileté : expliquer ce que les mesures de tendance centrale indiquent au sujet des données
Les mesures statistiques sont des nombres utilisés pour caractériser un ensemble de données. Par exemple, la moyenne est une mesure statistique. Les mesures statistiques sont présentées dans le cadre de la quatrième étape du processus d’enquête, soit l’interprétation des résultats, parce qu’elles constituent une autre façon d’attribuer un sens aux données et qu’elles peuvent fournir des renseignements sur lesquels on peut s’appuyer pour prendre une décision.
Différentes mesures statistiques sont couramment utilisées en traitement des données. Celles qui font l’objet d’étude au cycle moyen sont l’étendue, le mode, la médiane et la moyenne. Les élèves doivent bien comprendre ce que chacune représente afin de les choisir, de les déterminer et de les utiliser de façon appropriée.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 107.
Connaissance : mode
Le mode d’un ensemble de données représente la ou les données ayant la plus grande fréquence, c’est-à-dire la ou les données qui paraissent le plus souvent. Le mode est particulièrement significatif dans des contextes d’enquêtes où on cherche à déterminer ce qui est le plus populaire, le plus vendu, le plus fréquent, etc. Comme en témoignent les exemples suivants, il est possible de déterminer le mode d’un ensemble de données quantitatives ou qualitatives.
Exemple 1
Le tableau ci-dessous présente les données correspondant au nombre d’enfants dans les familles des élèves de la classe. On constate que la donnée la plus fréquente est deux, ce qui indique qu’il y a davantage de familles de deux enfants. Le mode de cet ensemble de données quantitatives est donc de deux enfants par famille.
Nombre d'enfants dans les familles des élèves de la classe
| Nombre d'enfants dans ta famille | Nombre d’élèves |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 12 |
| 3 | 6 |
| 4 | 3 |
| plus de 4 | 2 |
Exemple 2
Le diagramme ci-dessous porte sur les couleurs préférées des élèves de la classe. Pour déterminer le mode de ces données qualitatives, il suffit d’examiner la longueur des bandes. Or, on constate que la bande rouge et la bande bleue sont d’égale longueur et qu’elles sont plus longues que toutes les autres. Dans ce cas, il y a donc deux modes, soit le rouge et le bleu.
Lorsqu’on utilise le mode pour répondre à une question d’intérêt ou pour prendre une décision, il est important de tenir compte de l’ensemble des données. En effet, dans certaines situations, la donnée la plus fréquente n’est pas nécessairement celle qui donne le meilleur sens aux données. Il est important d’inciter les élèves à examiner chaque situation de près avant de formuler des conclusions fondées sur le mode.
Voici quelques exemples de situations dans lesquelles on évalue la pertinence d’utiliser le mode comme valeur représentative des données :
- Dans l’exemple 1 précédent, le mode de deux enfants par famille semble assez représentatif de la situation, puisqu’il y a un écart important entre cette caractéristique et les autres.
- Dans l’exemple 2 précédent, non seulement y a-t-il deux modes (le rouge et le bleu), mais l’écart entre leur fréquence et les autres n’est pas très grand. Il est donc difficile de conclure que ces deux modes représentent une préférence de couleur marquée. Dans ce cas, il serait préférable de mentionner que le rouge et le bleu sont légèrement plus populaires, mais que le jaune suit de près.
- D’après le diagramme à tiges et à feuilles ci-dessous, le mode correspond à 72 battements de cœur par minute. On constate que ce nombre fait aussi partie de l’intervalle (70 à 79) qui compte le plus de données. On peut donc conclure qu’il représente bien cet ensemble de données.
Nombre de battements de cœur par minute des élèves de la classe
| 6 | 3 5 5 8 9 |
| 7 | 1 1 2 2 2 2 2 4 5 7 7 |
| 8 | 2 3 6 |
| 9 | 1 2 |
| 10 | 8 |
- D’après la ligne de dénombrement ci-dessous, le mode correspond à 60 battements de cœur par minute. On constate que ce nombre est éloigné de l’intervalle qui compte la plupart des données (69 à 77). De plus, on voit que l’étendue des données (29) est grande et que les données ne paraissent qu’une, deux ou trois fois chacune. Il serait donc préférable de ne pas utiliser le mode pour formuler une conclusion au sujet de cet ensemble de données.
Image La
ligne de dénombrement s’intitule « Nombre de battements de cœur par minute des élèves de la classe ». Elle est graduée
de 60 à 90. Avec une flèche, le mot « mode » pointe le nombre 60. Les nombres qui ne possèdent aucun X sont : 61, 63,
64, 65, 66, 68, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 86, 87, 88, et 90. Les nombres 62, 67, 69, 70, 71, 74, 76, 77, 81, 85 et 89
possèdent un X. Les nombres 72, 73 et 64 possèdent deux X. Le nombre 60 possède trois X
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 108-111.
CONNAISSANCE : MOYENNE
En mathématiques, la moyenne correspond à la valeur résultant d’un partage équitable. Par exemple, si cinq amis ont recueilli respectivement 5 $, 7 $, 7 $, 8 $ et 8 $ et qu’ils mettent ces montants en commun pour les partager également, chacun recevra 7 $. La moyenne des sommes recueillies est donc égale à 7 $. En mathématiques plus avancées, cette moyenne est appelée moyenne arithmétique. D’autres moyennes existent (par exemple, moyenne géométrique, moyenne harmonique), mais elles ne sont pas à l’étude au cycle moyen. Le personnel enseignant devrait mettre l’accent sur la compréhension du concept de moyenne plutôt que sur la mémorisation de l’algorithme usuel (la somme des données divisée par le nombre de données). Pour ce faire, il devrait proposer aux élèves des activités qui font appel au modèle de partage équitable ou au modèle d’équilibre entre la somme des manques (différences entre la moyenne et les données qui sont inférieures à la moyenne) et la somme des surplus (différences entre la moyenne et les données qui sont supérieures à la moyenne). Autrement, les élèves n’acquièrent qu’une compréhension limitée du concept de moyenne.
Partage équitable
Les exemples ci-dessous démontrent différentes situations qui font appel au modèle de partage équitable et qui contribuent à développer une bonne compréhension du concept de moyenne. Le modèle de partage peut être utilisé pour déterminer une moyenne sans avoir à recourir à l’algorithme usuel.
Exemple 1
Amir, Bruno, Carla, Denis et Elmira sont allés à la pêche et ont attrapé respectivement 2, 2, 3, 3 et 10 poissons. Déterminer le nombre moyen de poissons pêchés.
Pour déterminer le nombre moyen de poissons pêchés, les élèves peuvent déterminer le nombre de poissons qu’aurait chaque personne si les poissons étaient répartis également. Les élèves peuvent d’abord illustrer la situation initiale comme suit.
Ensuite, les élèves procèdent au partage : Elmira remet deux poissons à Amir, deux poissons à Bruno, un poisson à Carla et un poisson à Denis.
Après le partage, chaque personne a quatre poissons. On peut donc conclure qu’en moyenne, chaque personne a pêché quatre poissons.
Afin d’approfondir le concept de moyenne, il est important de donner l’occasion aux élèves de renverser le processus en leur demandant de créer un ensemble de données ayant une moyenne donnée. Cela renforce le concept de moyenne comme résultat d’un partage équitable.
Exemple 2
Six élèves d’une classe ont déterminé qu’ils avaient, en moyenne, cinq stylos chacun. Quelle pourrait être une répartition possible des stylos parmi ces six élèves?
Puisque les six élèves ont une moyenne de cinq stylos chacun, chaque élève aurait cinq stylos après le partage équitable.
Il y a donc un total de 30 stylos (6 × 5). Les six élèves peuvent alors répartir les 30 stylos entre eux comme bon leur semble. Peu importe la répartition retenue, la moyenne de cinq stylos par élève sera maintenue. Voici un exemple d’une répartition possible :
On peut vérifier qu’il y a toujours un total de 30 stylos.
On peut utiliser le modèle de partage pour développer une compréhension de l’algorithme usuel comme illustré dans l’exemple ci-dessus. Le modèle donne, en effet, un sens à l’algorithme usuel, puisqu’il démontre l’idée de regrouper les stylos, puis de les partager parmi les amis (quotient de la somme des données par le nombre de données).
Exemple 3
Annie, Bahéya, Carl, Daniel et Eva ont respectivement 5 $, 6 $, 6 $, 8 $ et 10 $. Combien d’argent chaque personne a-t-elle en moyenne?
On met d’abord les sommes d’argent en commun pour constater qu’il y a 35 $ en tout. Cela correspond à l’opération 5 $ + 6 $ + 6 $ + 8 $ + 10 $ = 35 $. La somme est ensuite partagée équitablement et chaque personne reçoit 7 $, ce qui correspond à l’opération 35 $ ÷ 5 = 7 $.
Image Dans
le haut de l’exemple 3, cinq noms d’élèves sont chacun accompagnés de quelques pastilles violettes. Annie possède 5
pastilles, Bahéya possède 6 pastilles, Carl possède 6 pastilles, Daniel possède 8 pastilles et Eva possède 10
pastilles. Sous les prénoms, il est écrit : Mise en commun, 5 dollars plus 6 dollars plus 6 dollars plus 8 dollars
plus dix dollars égale 35 dollars. Une flèche pointe vers le milieu de l’exemple 3 où toutes les pastilles sont mises
en commun pour un total de 35. Sous l’amas de 35 pastilles, il est écrit : Partage, 35 divisé par 5 égale 7 dollars.
Sous l’amas de 35 pastilles, 5 flèches pointent vers le bas sur chacun des prénoms qui sont répétés et où les
pastilles sont redistribuées équitablement. Annie, Bahéya, Carl, Daniel et Eva possèdent chacun 7 pastilles.
Le personnel enseignant peut profiter de cet exemple pour souligner que la moyenne d’un ensemble de données n’est pas nécessairement un nombre qui fait partie de cet ensemble. Chez certaines et certains élèves, cette idée est difficile à comprendre.
Une autre façon d’aider les élèves à développer une compréhension du concept de moyenne est de leur demander de déterminer une donnée manquante pour qu’un ensemble de données ait une moyenne particulière.
Exemple 4
On a demandé à cinq élèves d’effectuer une collecte de fonds. Si chaque élève recueille en moyenne 25 $, le groupe gagne des billets pour assister à une joute de hockey. Lundi, quatre des cinq élèves se rencontrent et constatent avoir recueilli 29 $, 21 $, 31 $ et 13 $. Quelle est la somme minimale que Suzie, la cinquième élève, doit avoir recueillie si le groupe veut gagner les billets de hockey?
Les élèves qui ont seulement appris à utiliser l’algorithme usuel pour déterminer la moyenne ne sont souvent pas en mesure de répondre à ce genre de question. En effet, il s’agit d’une recette que les élèves sont incapables d’adapter selon les circonstances par manque de compréhension. Les élèves qui ont développé une compréhension du concept de la moyenne en tant que partage sont plus aptes à résoudre ce problème. Voici un échange que pourraient avoir les quatre élèves qui veulent déterminer la somme d’argent que Suzie doit avoir recueillie.
Élève 1 — On doit obtenir une moyenne de 25 $, ce qui veut dire que si on partageait également l’argent entre nous, on aurait chacun 25 $. Moi j’ai ramassé 29 $; je peux donc partager 4 $ avec vous.
Élève 2 — Moi je n’ai obtenu que 21 $; il me manque donc 4 $.
Élève 3 — Moi j’ai 6 $ de trop parce que j’ai ramassé 31 $.
Élève 4 — Je regrette. J’ai été malade en fin de semaine et j’ai seulement récolté 13 $. Il me manque 12 $.
Élève 1 — Utilisons l’idée du partage pour nous aider à déterminer la somme d’argent que Suzie doit avoir recueillie.
Image Sous
le titre « Avant le partage », cinq boîtes sont alignées côte à côte. La première boîte contient 25 jetons. Au-dessus
d’elle, un ensemble de 4 jetons est lié à la deuxième boîte par une flèche. La deuxième boîte contient 21 jetons. La
troisième boîte contient 25 jetons, et au-dessus d’elle, un ensemble de 6 jetons pointe vers la quatrième avec une
flèche. La quatrième boîte contient 13 jetons. Quant à la cinquième boîte, elle ne contient pas de jetons, mais
présente un point d’interrogation.
À la suite du partage, les trois premiers élèves ont chacun 25 $ et il manque 6 $ à l’élève 4 pour obtenir 25 $. Suzie doit donc apporter les 6 $ qui manquent en plus de ses 25 $. Elle doit donc apporter 31 $.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 115-121.
Connaissance : médiane
La médiane d’un ensemble de données correspond à la donnée qui se situe au centre de l’ensemble. Il y a donc le même nombre de données situées de part et d’autre de la médiane. Pour déterminer la médiane d’un nombre impair de données, il suffit de les placer en ordre croissant ou décroissant et de déterminer la donnée qui se situe au centre. Dans le cas d’un nombre pair de données, la médiane correspond au nombre qui est à mi-chemin entre les deux nombres qui se situent au centre. Dans de tels cas, la médiane pourrait être un nombre qui ne fait pas partie de l’ensemble des données.
Exemple 1
On a enregistré les données ci-dessous à l’occasion d’une compétition de saut en longueur.
1,04 m; 1,06 m; 1,12 m; 1,13 m; 1,16 m; 1,19 m; 1,22 m; 1,28 m; 1,36 m
Il y a neuf données et elles sont placées en ordre croissant. La médiane de ces données est donc la cinquième, soit 1,16 m. On remarque qu’il y a le même nombre de données (quatre) de chaque côté de la médiane.
Exemple 2
Le diagramme à tiges et à feuilles ci-dessous présente 22 données placées en ordre croissant. Deux données se situent au centre, soit la 11e et la 12e donnée. Notons qu’il y a le même nombre de données (10) de chaque côté de ces deux nombres. Puisque ces deux données correspondent à 72 battements de cœur par minute, c’est la valeur attribuée à la médiane.
Nombre de battements de cœur par minute des élèves de la classe
| 6 | 3 5 5 8 9 |
| 7 | 1 1 2 2 2 2 2 4 5 7 7 |
| 8 | 2 3 6 |
| 9 | 1 2 |
| 10 | 8 |
Exemple 3
Lors d’une collecte de fonds pour leur équipe sportive, 10 élèves ont vendu des boîtes de chocolat. Voici les nombres de boîtes vendues :
15, 12, 11, 10, 10, 8, 7, 6, 5, 5
La 5e et la 6e donnée se situent au centre de cet ensemble de 10 données placées en ordre décroissant. Ces deux données, soit 10 et 8, sont différentes. La médiane correspond alors au nombre 9, puisque 9 se situe à mi-chemin entre 8 et 10. Malgré le fait que cette médiane ne fasse pas partie de l’ensemble des données, on constate qu’il y a le même nombre de données (cinq) qui se situent de chaque côté d’elle.
Exemple 4
Voici les données relatives à la température quotidienne maximale, en degrés Celsius, dans une ville au mois d’août.
| Températures maximales en août | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 17 | 20 | 19 | 25 | 27 | 28 | 30 |
| 29 | 27 | 22 | 21 | 20 | 25 | 29 |
| 32 | 33 | 33 | 27 | 24 | 17 | 21 |
| 26 | 25 | 27 | 24 | 21 | 23 | 25 |
| 16 | 18 | 19 | ||||
Les élèves doivent d’abord placer les nombres en ordre croissant. Pour ce faire, elles et ils peuvent les placer dans un diagramme à tiges et à feuilles intermédiaire comme suit.
| 1 | 7 | 9 | 7 | 6 | 8 | 9 | ||||||||||
| 2 | 0 | 5 | 7 | 8 | 9 | 7 | 2 | 1 | 0 | 5 | 9 | 7 | 4 | 1 | 3 | 5 |
| 3 | 0 | 2 | 3 | 3 |
Les élèves peuvent ensuite replacer les feuilles dans chaque rangée en ordre croissant et obtenir le diagramme suivant.
| 1 | 6 | 7 | 7 | 8 | 9 | 9 | ||||||||||
| 2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 7 | 7 | 7 | 8 | 9 | 9 |
| 3 | 0 | 2 | 3 | 3 |
Afin d’aider les élèves à déterminer la médiane, leur suggérer d’inscrire les nombres en ordre sur une bande de papier et de la plier.
L’utilisation de la bande de papier aide les élèves à développer une meilleure compréhension du concept de médiane puisqu’en pliant la bande en deux, les nombres sont associés deux à deux (le premier au dernier, le deuxième à l’avant-dernier et ainsi de suite) et qu’une seule donnée se trouve au milieu. Il est alors facile de constater que la médiane des données correspond à 25 °C.
Exemple 5
Le diagramme ci-dessous présente les températures maximales quotidiennes, en degrés Celsius, dans une ville au mois de juin.
| Températures maximales quotidiennes au mois de juin (°C) | |||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||||||||||||
| 2 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 8 | 9 | 9 | 9 |
| 3 | 0 | 2 | 3 | 3 | |||||||||||||||
Les élèves placent les nombres sur une bande de papier et découvrent qu’il y a deux nombres au milieu, soit 24 et 25. De plus, il n’y a aucun entier à mi-chemin entre 24 et 25. Les élèves peuvent alors utiliser leurs connaissances des nombres décimaux pour déterminer que c’est le nombre 24,5 qui est situé à mi-chemin entre 24 et 25. La médiane de cet ensemble de données est donc 24,5 °C.
La médiane est une mesure statistique importante qui est couramment utilisée dans de nombreuses situations. En effet, en raison du fait qu’elle indique la valeur centrale d’un ensemble de données, il est possible de situer toutes les autres données par rapport à la médiane. Ainsi, dans l’exemple relatif à la compétition de saut en longueur (exemple 1), l’élève qui a réussi le saut de 1,28 m sait que la longueur de ce saut est supérieure à la médiane de 1,16 m et donc, supérieure à la majorité des autres sauts.
Avant d’utiliser la médiane pour prendre des décisions, il importe toutefois de tenir compte de l’étendue des données parce que la médiane ne tient pas compte des valeurs extrêmes. Supposons que dans l’exemple relatif à la vente de boîtes de chocolat (exemple 3), on cherche à déterminer approximativement le nombre de boîtes vendues. On sait que le nombre médian de boîtes vendues est de 9 et que les données vont de 5 à 15 boîtes. La taille de l’étendue des données est donc petite et la médiane de 9 se situe presque à mi-chemin entre la valeur maximale et la valeur minimale. On peut donc supposer que chaque élève a vendu environ 9 boîtes et calculer que les 10 élèves ont vendu environ 90 boîtes.
Imaginons maintenant une situation avec les mêmes données sauf que la donnée maximale est de 75 boîtes au lieu de 15 boîtes. La médiane est encore de 9 boîtes, mais la taille de l’étendue est très grande. De plus, la médiane ne se situe pas du tout à mi-chemin entre la valeur maximale et la valeur minimale. On ne pourrait donc pas supposer que chaque élève a vendu environ 9 boîtes comme dans la situation précédente et conclure que les 10 élèves ont vendu environ 90 boîtes en tout.
Le personnel enseignant peut aussi aider les élèves à approfondir leur compréhension du concept de médiane en modifiant certaines situations déjà étudiées, comme le démontre l’exemple suivant.
Exemple 6
Reprenons l’exemple 3 et ajoutons une variante comme suit :
Lors d’une collecte de fonds pour leur équipe sportive, 10 élèves ont vendu des boîtes de chocolat. Voici les nombres de boîtes vendues.
15, 12, 11, 10, 10, 8, 7, 6, 5, 5
Or, trois autres élèves n’ont pas encore indiqué leur nombre de boîtes vendues. Si l’objectif était d’obtenir un nombre médian de huit boîtes vendues, quel ensemble de données correspondant aux ventes des 13 élèves pourrait atteindre cet objectif?
Voici deux exemples de réponses possibles.
15, 12, 11, 10, 10, 8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 4
15, 12, 11, 10, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 5, 4, 3
Si on ajoute comme condition que le mode de l’ensemble de données corresponde aussi à huit boîtes, les élèves pourraient donner la réponse qui suit.
15, 12, 11, 10, 10, 8, 8, 8, 7, 6, 5, 5, 4
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4e à la 6e année, p. 111-115.