B1.4 Comparer et ordonner des fractions à partir des demis jusqu’aux douzièmes, y compris des fractions impropres et des nombres fractionnaires, dans divers contextes.
Habileté : comparer et ordonner des fractions à partir des demis jusqu’aux douzièmes, y compris des fractions impropres et des nombres fractionnaires
Un enseignement efficace et équilibré permet aux élèves de développer diverses stratégies pour comparer des nombres. De même, il doit permettre aux élèves de développer et d’approfondir leur compréhension de la valeur des fractions. C’est par le biais d’expériences concrètes et de représentations que les élèves apprennent à visualiser la valeur d’une fraction et à développer les stratégies pour les ordonner, les comparer et les mettre en relation avec d’autres nombres.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 44.
Pour estimer une quantité, les élèves doivent d’abord saisir le contexte et, pour cela, avoir recours à leur sens analytique et à leurs expériences personnelles. Ce bagage prend souvent la forme d’une représentation mentale et joue le rôle de repère visuel. On n’insistera jamais assez sur l’importance d’enrichir constamment ce bagage de référents visuels en faisant vivre aux élèves des situations variées dans divers contextes. Soulignons que les élèves qui sont exposés à des référents visuels et à du matériel de manipulation, tels que les cercles de fractions, les jetons, les bandes de carton et les réglettes, développent plus facilement leur sens de l’ordre de grandeur, qui est indispensable à l’estimation de la quantité représentée par une fraction.
Exemple
Regarder la tarte ci-dessous et demander aux élèves d’estimer la fraction de la tarte qui reste.
Voici un exemple de raisonnement d’élève :
- J’examine la tarte et je l’imagine séparée en 2. Je reconnais alors qu’il en reste plus que 1 moitié (
).
- Si elle est séparée en 3, je vois qu’il en reste moins que 2 tiers (
).
- Mais si elle est séparée en 5 morceaux égaux, je crois que c’est très près de l’équivalent de 3 morceaux.
- Il reste environ
de la tarte.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 38-39.
Relations d’ordre
Il est important que les élèves apprennent à ordonner des fractions en les comparant. L’habileté à ordonner et l’habileté à comparer doivent reposer sur les représentations des fractions que les élèves ont construites. Elles doivent découler de situations de résolution de problèmes qui permettent aux élèves de développer un sens de la valeur d’une fraction. C’est ce sens de la fraction qui permet aux élèves de comparer 2 fractions et de conclure qu’une est plus grande que l’autre. Par opposition, l’enseignement qui se fait hors contexte tend à favoriser un apprentissage d’algorithmes qui néglige le sens de la fraction.
Les élèves du cycle moyen ont déjà des idées bien ancrées en ce qui a trait aux propriétés des nombres naturels. Or, lorsqu’ils commencent à travailler avec des fractions, les élèves font souvent face à un déséquilibre cognitif, c’est-à-dire une impression que ce qui était vrai ne l’est plus. Par exemple, ils ont appris qu’en présence de 2 nombres naturels, le plus grand nombre indique une quantité plus grande. Ils tentent de transférer leurs connaissances et leurs compétences aux fractions. Ainsi, en voulant comparer
Les activités qui amènent les élèves à comparer et à ordonner les fractions doivent favoriser la construction du sens de la fraction. Pour comparer des fractions, il est rarement nécessaire de chercher un dénominateur commun. Ainsi, il existe de nombreuses stratégies qui permettent de comparer des fractions. Généralement, la première stratégie apprise consiste en l’utilisation d’une représentation concrète ou semi-concrète des fractions en jeu. On peut recourir à cette stratégie, peu importe l’occasion. On peut aussi comparer les numérateurs si les dénominateurs sont identiques, ou comparer les dénominateurs si les numérateurs sont identiques. L’utilisation de fractions repères est une autre stratégie efficace.
Il est important de travailler à fond la comparaison des fractions avant l’équivalence des fractions. En effet, celle-ci est très complexe et la comparaison sert d’élément catalyseur à la compréhension des fractions équivalentes.
Comparaison de fractions en les représentant concrètement ou semi concrètement
Cette première stratégie consiste à représenter à l’aide d’un modèle les 2 fractions en cause. Par exemple, comparons les fractions
Donc, on peut conclure en comparant les 2 représentations que
Dans la situation représentée, il est vrai que
Comparaison de fractions ayant un dénominateur commun
Les élèves s’inspirent généralement de leurs connaissances antérieures et de leurs expériences avec les nombres naturels pour déterminer, sans difficulté, que
3 cinquièmes et 4 cinquièmes d’un tout
3 oranges et 4 oranges
Comparaison de fractions ayant un numérateur commun
Au cycle moyen, les élèves sont en mesure d’accorder un sens aux nombres qui composent une fraction et d’entamer un processus réflexif afin de comparer 2 fractions ayant un numérateur commun. Par exemple, comparons les fractions
Pourtant, il n’est pas rare de voir des élèves penser le contraire, puisque 9 est plus grand que 6 et que les numérateurs sont les mêmes. D’où l’importance de s’attarder au sens du numérateur et du dénominateur et de développer l’habileté à visualiser des fractions.
Comparaison de fractions en utilisant des fractions repères
Il est suggéré d’aider les élèves à développer leur sens de la fraction en ayant recours à des fractions repères. D’abord, les élèves se servent de 3 repères, soit 0,
Voici quelques généralisations que les élèves sont en mesure de faire après avoir effectué un certain nombre d’activités d’apprentissage.
Si le dénominateur d’une fraction est beaucoup plus grand que le numérateur, la fraction représente une petite quantité et la fraction est près de 0. Ainsi, |
Si le numérateur d’une fraction est à peu près la moitié du dénominateur, la fraction est près de |
Si le numérateur d’une fraction est à peu près égal au dénominateur, la fraction est près de 1, car elle représente presque entièrement le tout. Ainsi, |
Voici un modèle semi-concret qui illustre ces exemples.
Pour comparer 2 fractions, les élèves peuvent comparer chacune à un de ces repères. Par exemple, si on veut comparer
Comparaison de fractions en utilisant d’autres aspects du sens de la fraction
Dans un environnement d’apprentissage axé sur la résolution de problèmes, les élèves peuvent découvrir de nombreuses stratégies de comparaison basées sur le sens de la fraction qu’elles et ils ont construit.
Exemple 1
On veut comparer
Exemple 2
On veut comparer
À la suite de l’apprentissage des divers concepts relatifs aux fractions, les élèves peuvent utiliser l’ensemble de leurs connaissances au sujet des fractions et l’ensemble des stratégies de comparaison de fractions pour résoudre des problèmes.
Exemple 3
Dans certaines courses automobiles (par exemple, formule 1), la ou le pilote qui franchit la 1re ou le 1er la ligne d’arrivée gagne et, à ce moment-là, la course se termine officiellement. Le classement des coureuses et coureurs n’est donc pas déterminé par l’ordre selon lequel elles et ils franchissent la ligne d’arrivée comme dans les courses traditionnelles, mais plutôt par la position des pilotes à la fin du parcours; cette dernière correspond à la fraction du circuit qu’elles et ils ont parcouru lorsque la 1re ou le 1er pilote franchit la ligne. Ce système permet d’assigner une position à tous les pilotes, même à ceux qui n’auraient pas terminé la course.
Voici la liste des fractions du circuit parcouru par chaque pilote à la fin de la course :
Wagner :
Solution : Classement final de la course
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Trottier | Wagner | Burk | Fround | Santana | Villeneuve | Martina | Munch | Colman |
1 |
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 44-49.
Habileté : comparer et ordonner des fractions dans divers contextes
Il est important que les élèves apprennent à toujours tenir compte du tout. Une fraction n’a aucun sens si elle n’est pas mise en relation avec un tout. Par exemple, on ne peut comparer 1 demi-pizza et 1 tiers de pizza si elles n’ont pas la même superficie à moins que l’on nous présente les pizzas en question. Le personnel enseignant doit présenter des situations d’apprentissage qui permettent aux élèves de découvrir qu’une fraction ne révèle rien de la taille du tout ou de ses parties; elle nous renseigne seulement sur la relation qui existe entre un tout et ses parties.
Source: Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 31.
Connaissance : fraction impropre
Une fraction impropre est une fraction où le numérateur est plus grand que le dénominateur. Cette fraction représente une quantité supérieure à 1.
Exemples
Connaissance : nombre fractionnaire
Un nombre fractionnaire est une fraction ayant un nombre entier ainsi qu’une fraction. Cette fraction représente une quantité supérieure à 1.
Exemples