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C1.3 Déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions, et trouver les termes manquants dans des suites à motif répété, des suites croissantes et des suites décroissantes comprenant des nombres naturels et des nombres décimaux, et utiliser les représentations symboliques des règles pour trouver des valeurs inconnues dans des suites croissantes linéaires.

Habileté : déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions, et trouver les termes manquants

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L’étude des relations inclut la représentation de relations au moyen de règles énoncées en langage courant.

Il est plus difficile de déterminer une règle de correspondance que de déterminer une règle de régularité. La détermination de la règle de correspondance en langage courant est une étape importante dans le développement de la pensée algébrique, puisqu’il s’agit d’une généralisation de la relation. La règle de correspondance permet aux élèves d’expliquer la relation entre les deux quantités en changement et de déterminer n’importe quel terme (par exemple, le 25^e terme) sans avoir à prolonger la suite jusqu’au terme recherché.

Les élèves apprennent à représenter une règle de correspondance exprimée en mots à l’aide d’une équation. Elles et ils doivent choisir les variables et formuler une équation qui représente la règle, ce qui contribue au développement du sens du symbole. C’est dans un tel contexte que les équations obtenues et les relations qu’elles représentent prennent tout leur sens.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 52.

Il est important de reconnaître que le cheminement vers l’expression d’une équation peut différer d’une ou d’un élève à l’autre, puisque le raisonnement se développe à partir de perceptions individuelles. Le personnel enseignant doit tenir compte des façons différentes qu’ont les élèves de percevoir les relations entre les termes d’une suite, et adapter ses questions en conséquence afin d’aider chaque élève à exprimer la règle en mots avec précision et à déterminer l’équation qui lui correspond.

L’exemple ci-dessous illustre la façon dont les élèves peuvent percevoir différemment la relation entre le rang de la figure dans une suite non numérique croissante et le nombre de carrés qui le composent. La situation met en évidence des exemples de questions adaptées à celle-ci.

Exemple

Le personnel enseignant présente la suite de figures suivante.

À l’aide des questions ci-dessous, le personnel enseignant incite les élèves à analyser la suite et à établir une relation entre le rang et le nombre de carrés qui le composent :

• Combien de carrés le terme de la suite au 1^er, au 2^e et au 3^e rang compte-t-il?
• Combien de carrés faut-il pour construire le terme de la suite au 4^e rang? Construisez cette figure.
• Combien de carrés faut-il pour construire le terme de la suite au 5^e rang? Construisez cette figure.

• Quelle règle de correspondance voyez-vous dans le nombre de carrés?
• Créez une table de valeurs qui représente la relation entre le rang et le nombre de carrés qui le composent. Quelle régularité voyez-vous dans la table?
• Combien y aura-t-il de carrés au 6^e rang? au 10^e rang? Comment le savez-vous?
• Y a-t-il d’autres façons de le déterminer?

Le personnel enseignant anime ensuite une échange mathématique qui met l’accent sur les différentes perceptions qu’ont les élèves de la relation. Afin d’amener les élèves à expliquer et à verbaliser leur stratégie et leur règle, elle ou il pose de questions telles que :

• Avez-vous trouvé une méthode rapide pour compter le nombre de carrés de la figure au 4^e rang? Pouvez-vous nous l’expliquer?

Élève 1 : Dans la figure au 4^e rang, je vois qu’il y a 3 carrés à gauche, 3 carrés à droite, 3 carrés au-dessus du centre et 1 au centre. En tout, ça fait 3 + 3 + 3 + 1, soit 10 carrés.

• Qui a utilisé la même méthode? Y a-t-il quelqu’un qui a utilisé une autre méthode?

Élève 2 : J’ai utilisé une méthode semblable. Je vois 1 carré au centre et 3 branches de 3 carrés. En tout, ça fait 1 + (3 × 3), soit 10 carrés.

Élève 3 : Ma méthode est différente, mais j’ai obtenu la même réponse. Je vois une colonne de 4 carrés, puis 3 carrés à gauche et 3 carrés à droite. En tout, je compte 4 + 3 + 3, soit 10 carrés.

Élève 4 : Je vois les figures d’une autre façon. Si je regarde la suite, elle commence par un carré et, à chaque rang, on ajoute un carré à 3 endroits. Dans la figure au 4^e rang, on a ajouté les 3 carrés 3 fois. En tout, on a 1 + (3 × 3), soit 10 carrés.

• Votre méthode fonctionne-t-elle pour compter le nombre de carrés de la figure au 5^e rang?

Élève 1 : Oui. Je vois qu’il y a 4 carrés à gauche, 4 carrés à droite, 4 carrés vers le haut et un carré au centre. En tout, ça fait 4 + 4 + 4 + 1, soit 13 carrés.

Élève 2 : Oui. Je vois 1 carré au centre, et 3 branches de 4 carrés. En tout, ça fait 1 + (3 × 4), soit 13 carrés.

Élève 3 : Oui. Je vois une colonne de 5 carrés, puis 4 carrés à gauche et 4 carrés à droite. En tout, je compte 5 + 4 + 4, soit 13 carrés.

Élève 4 : Oui. Si je regarde la suite, elle commence par un carré et, à chaque rang, on ajoute un carré à 3 endroits. Dans la figure au 5^e rang, on a ajouté les 3 carrés 4 fois. En tout, on a 1 + (4 × 3), soit 13 carrés.

• Selon votre méthode, combien de carrés y aura-t-il dans la figure au 10^e rang?

Élève 1 : Il y aura 28 carrés. Il y aura 1 carré au centre, puis 9 carrés à gauche, 9 carrés à droite et 9 carrés au-dessus du centre. En tout, il y aura 9 + 9 + 9 + 1, soit 28 carrés.

• Comment sais-tu combien il y en aura à gauche, à droite et vers le haut?

Élève 1 : D’après les premières figures de la suite, il y a toujours 1 carré de moins que le rang de la figure à chacun de ces trois endroits.

Élève 2 : C’est presque la même chose.

• Pourquoi dis-tu que c’est la même chose que l’autre stratégie (élève 1)?

Élève 2 : Lui (élève 1) mentionne qu’il additionne 9 + 9 + 9. Moi, je dis que je multiplie, c’est-à-dire que je fais 3 × 9, car multiplier, c’est comme additionner plusieurs fois une même quantité.

Élève 3 : J’ai aussi obtenu 28, puisqu’il y aura une colonne de 10 carrés, puis 9 carrés à gauche et 9 carrés à droite, donc 10 + 9 + 9 = 28 carrés.

• Comment sais-tu que c’est bien 10 carrés, puis 9 carrés deux fois?

Élève 3 : D’après les premières figures de la suite, le nombre de carrés dans la colonne est égal au rang de la figure et le nombre de carrés à gauche et à droite est toujours 1 de moins que ce rang.

Élève 4 : D’après ma façon de voir les figures, il y aura 1 carré au centre. Ensuite, on ajoute chaque fois 3 carrés pour passer à la figure suivante. On doit le faire pour les figures du 2^e au 10^e rang, soit 9 fois. En tout, on aura alors 1 + (9 × 3), ou 28 carrés.

Note : On remarque que les calculs effectués sont similaires. Cependant, les façons variées de voir l’organisation des carrés dans la figure et l’expression de cette organisation ont généré des règles différentes, mais équivalentes.

• Votre méthode rapide de compter (votre règle) peut-elle être utilisée pour déterminer le nombre de carrés qu’il y aura dans la figure au 25^e rang?

En expliquant au moyen de mots la façon de déterminer la valeur d’une figure d’un rang éloigné (par exemple, la figure au 10^e ou au 25^e rang) en relation avec le rang d’une figure, les élèves utilisent leur règle pour interpréter la relation.

Comme les élèves ont souvent de la difficulté à déterminer les quantités en jeu, le personnel enseignant pose ensuite des questions telles que celles ci-dessous afin de les amener à énoncer leur règle plus clairement et à exprimer la relation à l’aide d’une équation.

• Comment pouvez-vous déterminer le nombre de carrés qui composent la figure à n’importe quel rang?

Élève 1 : Pour déterminer le nombre de carrés qui composent n’importe quelle figure à un rang quelconque, j’additionne un nombre 3 fois, puis 1.

• Quel est ce nombre? Comment peux-tu l’identifier ou le nommer?

Élève 1 : C’est toujours le rang de la figure précédente.

• Peux-tu alors exprimer ta règle de correspondance pour déterminer le nombre de carrés qui composent une figure à n’importe quel rang avec plus de précision?

Élève 1 : Pour déterminer le nombre de carrés qui composent la figure de n’importe quel rang, j’additionne le rang de la figure précédente 3 fois, puis 1.

• Peux-tu maintenant exprimer cette règle de correspondance à l’aide d’une équation?

L’équation serait $c=(r-1)+(r-1)+(r-1)+1$, où r représente le rang de la figure et c, le nombre de carrés qui le composent.

Élève 2 : Pour déterminer la valeur de n’importe quel terme, je multiplie par 3 et j’ajoute 1.

• Qu’est-ce que tu multiplies par 3? Qu’est-ce que tu détermines?

Élève 2 : Je multiplie le rang de la figure précédente par 3 et j’ajoute 1. Cela me donne le nombre de carrés qui composent la figure en question.

• Si on représente le rang de la figure par n, comment peut-on représenter le rang de la figure précédente?

Élève 2 : Il s’agit de $r-1$. Donc, l’équation est $c=1+3\times (r-1)$, où r représente le rang de la figure et c, le nombre de carrés qui le composent.

Élève 3 : Dans chaque figure, il y a toujours 3 branches. Une branche qui a le même nombre de carrés que le rang de la figure, et deux autres qui ont 1 carré de moins que le rang de la figure. Pour déterminer le nombre de carrés, j’additionne ces 3 nombres.

• Peux-tu m’expliquer cette règle de correspondance de façon plus concise?

Élève 3 : Pour déterminer le nombre de carrés qui composent une figure quelconque, j’additionne 3 valeurs, soit le rang de la figure et deux fois le rang de la figure précédente. Donc, $c=r+(r-1)+(r-1)$, où r représente le rang de la figure et c, le nombre de carrés qui le composent.

Élève 4 : Je fais 3 fois un nombre pour déterminer le nombre de carrés sur les 3 branches et j’ajoute 1 pour celui qui est au centre. En fait, je multiplie le rang de la figure précédente par 3 et j’ajoute 1. Donc $c=(r-1)\times 3+1$, où r est le rang de la figure et c, le nombre de carrés qui le composent.

Le personnel enseignant invite ensuite les élèves à vérifier la validité de leur équation. Pour valider les équations, on utilise la table de valeurs.

• D’après votre règle, si r prend une valeur de 4, quelle est la valeur correspondante de c?

Élève 1 : Mon équation devient $c=(4-1)+(4-1)+(4-1)+1$. Donc, $c=10$.

Élève 2 : Mon équation devient $c=1+3\times (4-1)$. Donc, $c=10$.

Élève 3 : Mon équation devient $c=4+(4-1)+(4-1)$. Donc, $c=10$.

Élève 4 : Mon équation devient $c=(4-1)\times 3+1$. Donc, $c=10$.

• À quoi correspond cette valeur de c dans votre équation?

Élève 1 : La variable c représente le nombre de carrés qui composent la figure. Dans la suite donnée, il est vrai que la figure au 4^e rang est composée de 10 carrés.

• D’après votre équation, $c=10$ lorsque $r=4$. À quoi cela correspond-il dans la table de valeurs?

Élève 2 : Selon la table de valeurs, la figure au 4^e rang est composée de 10 carrés. Cela correspond à ce que j’obtiens avec l’équation.

L’exemple précédent suit une certaine démarche qui peut être résumée comme suit : demander aux élèves de prolonger la suite de figures, d’analyser la règle et de la décrire, de créer une table de valeurs, puis de formuler une règle en mots et à l’aide d’une équation. Cette démarche permet d’explorer toutes sortes de relations, même certaines qui peuvent, au premier abord, sembler hors de la portée des élèves. Cette démarche est utilisée pour des suites croissantes et décroissantes.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la 4^e à la 6^e année, p. 54-64.

Habileté : utiliser les représentations symboliques des règles pour trouver des valeurs inconnues dans des suites croissantes linéaires

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Parmi les représentations symboliques des suites croissantes, les règles sous forme d’équations permettent plus facilement et précisément de faire des interpolations ainsi que des extrapolations que les représentations graphiques.

Pour établir ces règles, il est important d’aider les élèves à généraliser, c’est-à-dire :

• les guider dans l’observation et l’analyse des situations;
• les inciter à proposer des conjectures;
• leur demander d’appuyer leurs conjectures à l’aide de représentations mathématiques ou d’arguments mathématiques;
• les inviter à vérifier leurs conjectures dans d’autres situations;
• les accompagner dans la formulation d’une généralisation, si cela est possible.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 7^e à la 10^e année, p. 12.

Dans cette vidéo, on apprend comment une équation est utilisée pour modéliser une situation de la vie quotidienne.

Exemple de représentation de la relation entre deux quantités changeantes

Écrire l’équation $c=p\times 2$ au tableau et présenter le contexte d’où elle provient :

Éric invite des amies et amis chez lui. À leur arrivée, il leur demande d’enlever leurs chaussures et de les placer sur une marche de l’escalier. On s’intéresse à la relation entre le nombre de personnes invitées (p) et le nombre de chaussures (c).

Avec les élèves, créer une table de valeurs représentant la relation ainsi qu’une suite non numérique.

Demander aux élèves d’expliquer ce que représentent la variable p (le nombre de personnes invitées), la variable c (le nombre de chaussures) et le « × 2 » (le nombre de chaussures par personne).

Questions pertinentes

• Comment pouvez-vous représenter cette situation à l’aide d’un autre modèle?
• Quelle est la règle de correspondance dans la suite? Que représente-t-elle?
• Comment avez-vous trouvé le nombre total de chaussures dans la table de valeurs?
• Combien de chaussures se trouveront dans l’escalier si Éric invite 6 personnes?
• Combien de souliers y aura-t-il lorsque la 15^e personne se déchaussera?

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 238.

Connaissance : interpolation

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Opération qui consiste à estimer la valeur d’une variable entre deux valeurs connues.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Exemple

Trouver la valeur du coût lorsque la quantité est 7.

Note : Dans ce cas, l’élève peut faire la moyenne entre les coûts des quantités 6 et 8.

Connaissance : extrapolation

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Opération qui consiste à estimer la valeur d’une variable à partir de données à l’extérieur de l’intervalle observé.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1^re à la 8^e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Exemple

Trouver la valeur du coût si la quantité est 22.

Note : Dans ce cas, l’élève peut d’abord déterminer que l’équation est c = 3q, puis calculer le coût en remplaçant q par 22, ce qui donne 66 $.