C2.4 Résoudre des inégalités qui comprennent deux opérations et des nombres naturels jusqu’à 100, et vérifier et présenter les solutions à l’aide de modèles et de représentations graphiques.
Habileté : résoudre des inégalités, et vérifier et présenter les solutions à l’aide de modèles et de représentations graphiques
Pour faciliter l’apprentissage du concept d’inégalité, le personnel enseignant doit proposer aux élèves des activités qui les incitent à analyser des situations d’inégalité et à les traiter de manière algébrique. Il discute ensuite avec les élèves des stratégies utilisées pour analyser les inégalités en privilégiant celles qui font appel aux représentations concrètes et semi-concrètes, et qui mettent l’accent sur le sens de l’inégalité plutôt que sur l’application mécanique d’une procédure ou de calculs fastidieux.
Représenter les solutions à l’aide d’une droite numérique est une stratégie qui aide notamment les élèves à analyser une inégalité en misant sur leur sens du nombre, des opérations et du symbole, et à trouver l’intervalle des valeurs valides dans une situation d’inégalité.
Les élèves doivent consolider ces stratégies, puisqu’elles sont à la base d’une bonne compréhension des manipulations algébriques auxquelles elles et ils seront exposés au cours des années d’études suivantes. Les élèves peuvent aussi avoir recours à ces stratégies pour résoudre des équations simples.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 200.
L’inégalité
Description de la vidéo
[musique entraînante]
[Vidéodescription]
Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.
[Narratrice]
L'inégalité. Une inégalité est une relation d'ordre entre deux expressions ou quantités. Elle est représentée par divers signes mathématiques.
[Vidéodescription]
Plus petit que, plus grand que, plus petit ou égal à, plus grand ou égal à.
[Narratrice]
Dans cet exemple-ci, la somme d'argent d'Adam est plus grande, donc supérieure à la somme d'argent de Tyler.
[Vidéodescription]
Deux visages de garçons blancs sont placés côte à côte. Sous celui d'Adam, qui est à gauche, il y a un billet de cinq dollars et une pièce de deux dollars, ainsi que l'addition 5 + 2. Sous celui de Tyler, qui est à droite, il y a deux pièces de deux dollars et une pièce de un dollar, avec l'addition 2 + 2 + 1. Il y a un signe « plus grand que » entre les deux additions.
[Narratrice]
Il est aussi possible de dire que la somme d'argent de Tyler est plus petite, donc inférieure à celle d'Adam.
[Vidéodescription]
Les places sont échangées; Tyler se retrouve à gauche et Adam à droite. Le signe « plus grand que » est changé pour un signe « plus petit que ».
[Narratrice]
Utilisons cet exemple pour voir les propriétés de l'inégalité. La droite numérique nous permet d'ordonner les nombres 5 et 7. Lorsque nous ajoutons la même quantité aux deux membres d'une inégalité, nous obtenons une inégalité de même sens.
[Vidéodescription]
La droite numérique est graduée de 0 à 10. Les chiffres 5 et 7 sont encerclés, et en dessous, il est écrit : 5 plus petit que 7. Ensuite, les cercles quittent ces chiffres et vont encercler le 8 et le 10. Une flèche part de 5 et se rend à 8 en indiquant « 5 + 3 ». Une flèche relie 7 à 10 en indiquant « 7 + 3 ». Sous la droite, il est écrit : 8 plus petit que 10.
[Narratrice]
La même chose se produit lorsque nous enlevons la même quantité aux deux membres.
[Vidéodescription]
Sur la droite numérique, les chiffres 5 et 7 sont encerclés, et en dessous, il est écrit : 5 plus petit que 7. Ensuite, les cercles quittent ces chiffres et vont encercler le 2 et le 4. Une flèche part de 5 et se rend à 2 en indiquant « 5 - 3 ». Une flèche relie 7 à 4 en indiquant « 7 - 3 ». Sous la droite, il est écrit : 2 plus petit que 4.
[Narratrice]
Lorsque nous multiplions les deux membres d'une inégalité par un nombre positif différent de zéro, nous obtenons toujours une inégalité de même sens.
[Vidéodescription]
La droite numérique est graduée de 0 à 15. Les chiffres 5 et 7 sont encerclés, et en dessous, il est écrit : 5 plus petit que 7. La droite numérique rétrécit et migre en haut de l'écran tandis qu'apparaît une droite identique, mais de la taille originale, avec 5 et 7 encerclés. Une flèche part de 0 et se rend à 5, et une flèche relie 5 à 10 en indiquant « 2 fois 5 ». Une flèche part de 0 et se rend à 7, et une flèche relie 7 à 14 en indiquant « 2 fois 7 ». Sous la droite, il est écrit : 2 plus petit que 4. Les cercles quittent 5 et 7 et vont encercler 10 et 14. Sous la droite, il est écrit 10 plus petit que 14.
[Narratrice]
La même chose se produit lorsque nous divisons les deux membres d'une inégalité par un nombre positif différent de zéro.
[Vidéodescription]
Sur la droite numérique graduée de 0 à 15, les chiffres 5 et 7 sont encerclés, et en dessous, il est écrit : 5 plus petit que 7. Une flèche relie 10 à 5 en indiquant « 10 divisé par 2 ». Une flèche relie 14 à 7 en indiquant « 14 divisé par 2 ».
[Narratrice]
Attention, lorsque nous multiplions les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif différent de zéro, nous obtenons une inégalité de sens contraire.
[Vidéodescription]
Sur une double droite numérique, le cercle entoure 0 d'abord, mais vient entourer successivement -2, -4, -6, -8 et -10. Des flèches bondissent de 0 à -2, de -2 à -4, de -4 à -6, de-6 à -8 et de -8 à -10 en indiquant « 5 fois (-2). » Ensuite, des flèches bondissent de 0, à -2, à -4, et ainsi de suite jusqu'à -14 en indiquant « 7 fois (-2) ». -10 et -14 sont encerclés.
[Narratrice]
Par exemple, 5 x (-2) n'est pas inférieur à 7 x (-2). C'est plutôt -14 qui est inférieur à -10. Autrement dit, -10 est supérieur à -14.
La même chose se produit lorsque nous divisons les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif différent de zéro. Par exemple, si on divise -10 par -1, on doit faire 10 bonds de 1 dans le sens négatif. Donc (-10) / (-1) = 10. De la même façon, (-14) / (-1) = 14. Ainsi, (-10) / (-1) n'est pas supérieur à (-14) / (-1). C'est plutôt 10 qui est inférieur à 14.
Continuons. Une inéquation est une inégalité mathématique comportant une ou plusieurs variables pour lesquelles nous cherchons un ensemble de valeurs pour que l'inéquation soit toujours vraie.
[Vidéodescription]
2b + 5 plus grand ou égal à 10. b = point d'interrogation.
[Narratrice]
Dans cette capsule, nous utilisons simplement le mot « Inégalité », qui est un terme englobant. Soit l'exemple suivant : Madia achète une boîte de crayons de couleur qui coûte 5 $. Elle veut aussi acheter des sacs de bonbons qui coûtent 2 $ chacun. Combien de sacs de bonbons peut-elle acheter si elle a 10 $?
[Vidéodescription]
Au centre de l'écran se trouve le visage de Madia, une jeune femme blanche. À sa gauche il y a la boîte de crayons étiquetée à 5 dollars, à sa droite il y a le sac de bonbons étiquetté à 2 dollars, et en haut de sa tête il y a un point d'interrogation.
[Narratrice]
Si la variable b représente le nombre de sacs de bonbons, alors cette inégalité représente le problème : 2 $ fois le nombre de sacs de bonbons plus 5 $ est inférieur ou égal à 10 $.
[Vidéodescription]
2b + 5 plus petit ou égal à 10.
[Narratrice]
Résoudre cette inégalité revient à trouver l'ensemble des valeurs de b pour que l'inégalité soit toujours vraie. Comme le nombre de sacs de bonbons ne peut être que des entiers naturels, si b est égal à 1, alors 7 est inférieur ou égal à 10. L'inégalité est vraie, 1 est une solution.
[Vidéodescription]
Si b = 1, alors, 2 fois 1 plus 5 plus petit ou égal à dix; 2 + 5 plus petit ou égal à 10; 7 plus petit ou égal à 10.
[Narratrice]
Si b est égal à 2, alors 9 est inférieur ou égal à 10. L'inégalité est vraie, 2 est aussi une solution.
[Vidéodescription]
Si b = 2, alors, 2 fois 2 + 5 plus petit ou égal à 10; 4 + 5 plus petit ou égal à 10, 9 plus petit ou égal à 10.
[Narratrice]
Si b est égal à 3, alors 11 est supérieur à 10. L'inégalité n'est pas respectée, 3 n'est pas une solution.
[Vidéodescription]
Si b = 3, alors 2 fois 3 + 5 plus petit ou égal à 10; 6 + 5 plus petit ou égal à 10; 11 plus petit ou égal à 10.
[Narratrice]
Donc, Madia peut acheter un ou deux sacs de bonbons. Récapitulons. Une inégalité représente une relation d'ordre entre deux expressions ou quantités.
[Vidéodescription]
4 + 6 plus petit que 2 fois 6. 4 + 6 + 4 plus petit que 2 fois 6 + 4. 14 plus petit que 16.
[Narratrice]
Il est possible d'ajouter ou d'enlever le même nombre à chaque membre d'une inégalité pour que celle-ci reste vraie.
[Vidéodescription]
14 plus petit que 16. 14 - 5 plus petit que 16 - 5. 9 plus petit que 11.
[Narratrice]
Il est possible de multiplier ou de diviser chaque membre d'une inégalité par le même nombre positif.
[Vidéodescription]
9 plus petit que 11. 9 fois 4 plus petit que 16 fois 4. 36 plus petit que 44.
36 divisé par 2 plus petit que 44 divisé par 2. 18 plus petit que 22.
[Narratrice]
L'inégalité est toujours de même sens. Toutefois, si chaque membre d'une inégalité est multiplié ou divisé par le même nombre négatif, alors l'inégalité est de sens contraire.
[Vidéodescription]
18 plus petit que 22. 18 fois (-2) plus petit que 22 fois (-2). -36 plus petit que -44. Un gros X vient raturer -36 plus petit que -44. Le signe « plus petit que » s'inverse pour devenir « plus grand que ». -36 plus grand que -44.
-36 plus grand que -44. -36 divisé par (-4) plus grand que -44 divisé par -4. 9 plus grand que 11. Un gros X vient raturer 9 plus grand que 11. Le signe « plus grand que » s'inverse pour devenir « plus petit que ». 9 plus petit que 11.
[Narratrice]
Une inéquation est une inégalité mathématique comportant une ou plusieurs variables.
[Vidéodescription]
2b + 5 plus petit ou égal à 10. Le visage de Madia encadré de deux sacs de bonbons apparait. b = 1 ou 2.
[Narratrice]
Résoudre une inéquation revient à trouver un ensemble de valeurs pour que l'inéquation soit toujours vraie.
[Chanson]
C'est pour toi, Eurêka!
[Fin de la vidéodescription]
Représenter les solutions à l’aide d’une droite numérique
Cette stratégie consiste à lire attentivement la phrase mathématique donnée et à remplacer la variable afin de trouver l’intervalle des valeurs valides dans la situation d’inégalité. Un tableau aide à trouver plusieurs valeurs pour la variable. Par la suite, la solution peut être représentée graphiquement sur une droite numérique.
Exemple
7y + 31 ≥ 78
La première colonne dans le tableau représente le numéro par lequel la variable y sera remplacée dans l’expression algébrique 7y + 31.
La deuxième colonne dans le tableau représente la solution de l’expression algébrique lorsque la variable y est remplacée par le numéro dans la première colonne.
7 (0) + 31
0 + 31
0 + 31 = 31
La troisième colonne dans le tableau confirme ou réfute la validité de la valeur de la variable y.
Est-ce que 31 ≥ 78? La réponse est non.
| y | 7y + 31 | ≥ 78 |
|---|---|---|
| 0 | 31 | non |
| 1 | 38 | non |
| 2 | 45 | non |
| 3 | 52 | non |
| 4 | 59 | non |
| 5 | 66 | non |
| 6 | 73 | non |
| 7 | 80 | oui |
| 8 | 87 | oui |
| 9 | 94 | oui |
| 10 | 101 | oui |
L’intervalle des valeurs valides peut être représenté à l’aide d’une droite numérique :
La solution est donc y ≥ 7.
Note : Sur une droite numérique, un point vide indique une relation d’inégalité stricte (« est inférieur à » ou « est supérieur à »); un point plein indique une relation d’inégalité large (« est inférieur ou égal à » ou « est supérieur ou égal à »).
La résolution d’inéquations : isoler la variable et représenter l’ensemble-solution sur une droite numérique.
Description de la vidéo
[musique entraînante]
[Vidéodescription]
Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.
[Intervenant]
La résolution d'une inéquation du premier degré. Résoudre une inéquation, c'est-à-dire une inégalité mathématique, revient à trouver l'ensemble de valeurs d'une ou de plusieurs variables pour que l'inégalité soit toujours vraie.
[Vidéodescription]
-5x + 7 est plus grand ou égal à 12.
[Intervenant]
Pour y arriver, il suffit d'isoler la ou les variables en respectant les propriétés de l'inégalité.
[Vidéodescription]
X égale point d'interrogation.
[Intervenant]
Kheira et ses amis veulent amasser des fonds pour payer leur sortie de fin d'année scolaire. Ils dépensent 64 $ en prévision d'une vente de barbe à papa.
[Vidéodescription]
Les visages de trois jeunes personnes, deux blanches et une afrodescendante, apparaissent à l'écran. Ils disparaissent pour faire place à trois billets de 20 dollars et deux pièces de deux dollars avoisinant une barbe à papa sur bâton. L'argent s'efface, puis la barbe à papa migre au centre de l'écran. Un point d'interrogation vient s'y superposer.
[Intervenant]
Ils se demandent le nombre de barbes à papa qu'ils devront vendre pour réaliser un profit si le prix d'une barbe à papa est de 2 $.
[Vidéodescription]
La barbe à papa se déplace à gauche de l'écran et se munit d'une étiquette indiquant deux dollars. Une flèche pointe à droite vers un sac d'argent.
[Intervenant]
Si la variable b représente le nombre de barbes à papa, alors cette inégalité représente le problème : 2 $ fois le nombre de barbes à papa doit être supérieur à 64 $.
[Vidéodescription]
b = barbe à papa. 2b = 64.
[Intervenant]
Pour isoler la variable b, nous devons diviser les deux membres de l'inégalité par 2.
[Vidéodescription]
2b divisé par 2 est plus grand que 64 divisé par 2. L'on simplifie l'équation en raturant les deux premiers 2.
[Intervenant]
Ainsi, b est supérieur à 32. Kheira et ses amis doivent donc vendre plus de 32 barbes à papa pour réaliser un profit.
[Vidéodescription]
Dix ensembles de trois et un ensemble de deux barbes à papa avoisinent un sac d'argent. Tout s'efface pour faire place à la formule « 2b est plus grand que 64 ».
[Intervenant]
Vérifions quelques solutions pour s'assurer que l'inégalité demeure toujours vraie.
[Vidéodescription]
2 fois 50 est plus grand que 64.
[Intervenant]
Si b est égal à 50, alors 100 est supérieur à 64. C'est vrai.
[Vidéodescription]
2 fois 33 est plus grand que 64.
[Intervenant]
Si b est égal à 33, alors 66 est supérieur à 64. C'est vrai.
[Vidéodescription]
2 fois 32 est plus grand que 64.
[Intervenant]
Si b est égal à 32, alors 64 est supérieur à 64. C'est faux. Cela confirme que notre solution est bonne.
[Vidéodescription]
b est plus grand que 32.
[Intervenant]
Illustrons l'ensemble de solutions sur une droite numérique.
[Vidéodescription]
La droite numérique est graduée de 31 à 37. Le nombre 32 est encerclé.
[Intervenant]
Puisque b est supérieur et non égal ou supérieur à 32, les élèves doivent vendre plus de 32 barbes à papa pour réaliser un profit. Le point est placé sur le nombre 32 est donc vide, car il est exclu de l'ensemble des solutions.
[Vidéodescription]
Un X rouge se trace sur le nombre 32. La droite s'efface pour céder la place à un sac d'argent qui s'installe à gauche de l'écran.
[Intervenant]
Pour amasser plus d'argent, les élèves décident d'acheter des bracelets afin de les revendre.
[Vidéodescription]
Une flèche part du sac d'argent et pointe à droite vers un ensemble de bracelets.
[Intervenant]
Le site Web Top-mode propose un paquet de 10 bracelets à 17 $ et la livraison est gratuite. Quant à lui, le site Web Stylistes propose les mêmes bracelets à 14 $, mais il y a des frais de livraison de 12 $. À partir de combien de paquets de bracelets l'option Stylistes est-elle équivalente à l'option Top-mode, ou même plus avantageuse? Si la variable p représente le nombre de paquets de bracelets, alors cette inégalité représente le problème : 14 $ fois le nombre de paquets de bracelets + 12 $ pour les frais de livraison doit être inférieur ou égal à 17 $ fois le nombre de paquets de bracelets.
[Vidéodescription]
14p + 12 est plus petit ou égal à 17p.
[Intervenant]
Pour isoler la variable p, nous devons soustraire 14p des deux membres et ensuite diviser par trois les deux membres.
[Vidéodescription]
14p + 12 - 14p est plus petit ou égal à 17p - 14p. 12 divisé par 3 est plus petit ou égal à 3p divisé par 3.
[Intervenant]
Ainsi, 4 est inférieur ou égal à p, où p est supérieur ou égal à 4. Les élèves doivent donc acheter au moins quatre paquets de bracelets pour que l'option Stylistes soit équivalente ou plus avantageuse que l'option Top-mode.
[Vidéodescription]
14p plus 12 est plus petit ou égal à 17p.
[Intervenant]
Il faut vérifier quelques solutions pour s'assurer que l'inégalité demeure toujours vraie.
[Vidéodescription]
14 X 5 + 12 est plus petit ou égal à 17 X 5. 70 + 12 est plus petit ou égal à 85.
[Intervenant]
Si p est égal à 5, alors 82 est inférieur à 85. C'est vrai.
[Vidéodescription]
14 X 4 + 12 est plus petit ou égal à 17 X 4. 56 + 12 est plus petit ou égal à 68.
[Intervenant]
Si p est égal à 4, alors 68 est égal à 68. C'est vrai.
[Vidéodescription]
14 X 3 + 12 est plus petit ou égal à 17 X 3. 42 plus 12 est plus petit ou égal à 51.
[Intervenant]
Si p est égal à 3, alors 54 est inférieur ou égal à 51. C'est faux. Cela confirme que notre solution est bonne.
[Vidéodescription]
b est plus grand que 32.
[Intervenant]
Illustrons un ensemble de solutions sur une droite numérique.
[Vidéodescription]
La droite est graduée de 3 à 9. Le chiffre 4 est encerclé. En dessous, il est écrit « p est plus grand ou égal à 4 ».
[Intervenant]
Puisque p est égal ou supérieur à 4, les élèves doivent vendre au moins quatre paquets de bracelets Stylistes pour que l'option soit avantageuse. Le point placé sur le chiffre 4 est donc plein, car il est inclus dans l'ensemble des solutions. Récapitulons en utilisant l'inéquation -5x + 7 est supérieur ou égal à 12. Pour déterminer les valeurs possibles de la variable x qui valide l'inégalité, nous devons l'isoler. Nous devons d'abord soustraire 7, puis diviser par -5 les deux membres, sans oublier d'inverser le sens de l'inégalité puisqu'il s'agit d'un nombre négatif. X est donc inférieur ou égal à -1. Ainsi, un point plein est utilisé pour illustrer l'ensemble des solutions sur une droite numérique.
[Vidéodescription]
La droite numérique est graduée de -5 à 3. Il y a un point plein à -1, et la droite est surlignée de jaune entre -1 et -5.
[Chanson]
C'est pour toi, Eurêka!
[Fin de la vidéodescription]
Connaissance : inégalité
Relation d’ordre entre deux expressions ou deux quantités.
L’inégalité est représentée par divers signes :
< (est inférieur à, est plus petit que);
> (est supérieur à, est plus grand que);
≤ (est inférieur ou égal à);
≥ (est plus grand ou égal à).
Non-égalité
Relation entre deux expressions ou deux quantités qui n’ont pas la même valeur.
La non-égalité est représentée par le signe ≠ (n’est pas égal à, n’égale pas).
Exemple
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 70.