C2.2 Résoudre des équations qui comprennent des nombres naturels jusqu’à 50, dans divers contextes, et vérifier les solutions.
Habileté : Résoudre des équations
Les élèves prennent connaissance d’équations à résoudre au cycle primaire, généralement dans le domaine d’étude Algèbre, ainsi que dans le domaine d’étude Nombres. Ces équations proviennent de situations-problèmes, et leur résolution se fait souvent à l’aide de représentations concrètes et d’illustrations.
Au cycle moyen, les élèves résolvent davantage des équations. Il est essentiel qu’elles et ils maîtrisent la notion d’égalité, comme expression d’équilibre, avant de commencer à résoudre des équations. De plus, il importe que ces équations proviennent de situations-problèmes afin que les élèves puissent leur donner un sens ainsi qu’à leur solution.
Résoudre de telles équations signifie déterminer la valeur inconnue qui maintient l’égalité. La résolution d’équations doit s’effectuer dans un contexte de compréhension et d’analyse de l’égalité. Il est alors important d’inviter régulièrement les élèves à expliquer leur démarche de résolution d’équations, à justifier les gestes qu’elles et ils font et à montrer leur compréhension des concepts présents afin d’éviter que la résolution d’équations ne devienne qu’une application aveugle de procédures.
Résolution d’équations par essais systématiques
Selon cette stratégie élémentaire, les élèves choisissent, de façon systématique, des valeurs potentielles de la valeur inconnue, jusqu’à ce qu’une de ces valeurs rende l’égalité vraie. Pour résoudre, par exemple, l’équation 2 × p + 6 = 22, elles et ils choisissent successivement p = 1, 2, 3… et constatent que l’égalité est vraie lorsque p = 8.
Pour résoudre certaines équations, comme 125 – b = 32, les élèves peuvent utiliser des stratégies qui font appel à leur sens du nombre de manière à diminuer le nombre d’essais. Ainsi, pour résoudre cette équation, il ne serait pas sage de procéder en utilisant b = 1, b = 2, b = 3, et ainsi de suite, car cela prendrait beaucoup trop de temps. Elles et ils pourraient penser comme suit : Je sais que 125 – 100 = 25, et 25, c’est près de 32. Si je soustrais 105, j’obtiens 20. Je m’éloigne de la quantité cherchée. Donc, je vais soustraire un peu moins que 100. Je vais essayer b = 99, b = 98, et ainsi de suite.
Avantages de la résolution d’équations par essais systématiques :
- Les élèves mettent en évidence ce que signifie résoudre une équation, c’est-à-dire déterminer la valeur inconnue qui maintient l’égalité.
- Les élèves travaillent de façon systématique et non de façon aléatoire. Elles et ils peuvent aussi faire appel à leur sens du nombre.
Inconvénient de la résolution d’équations par essais systématiques :
- La communication du travail effectué peut être désorganisée, car il peut être difficile de laisser des traces des essais. Il est possible de garder de telles traces en créant une table de valeurs. Voici un exemple de table de valeurs utilisée pour résoudre l’équation 125 – b = 32 :
| b | 100 | 105 | 99 | 98 | 95 | 93 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 125-b | 25 | 20 | 26 | 27 | 30 | 32 |
Note : Certaines notations doivent être évitées. Pour résoudre, par exemple, l’équation 2 × p + 6 = 22,
l’élève qui essaie p = 1 ne doit pas écrire « 2 × 1 + 6 = 22 », puisque cette égalité est fausse. Elle ou il
peut évaluer le membre de gauche pour obtenir 2 × 1 + 6 = 8 ou utiliser l’équation sous la forme interrogative (par
exemple,
Résolution d’équations par inspection
Selon cette stratégie, les élèves reconnaissent la relation d’égalité représentée par l’équation. Elles et ils comparent les quantités et font appel à leur sens du nombre pour déterminer la valeur inconnue. Voici trois exemples de la résolution de l’équation c + 45 = 98 par inspection.
Exemple 1
Un élève reconnaît qu’il doit trouver le nombre qui, additionné à 45, donne une somme de 98. Pour ce faire, il utilise son sens du nombre. Puisqu’il sait que 45 + 45 = 90, il conclut que le nombre qu’il cherche est 8 de plus que 45, soit 53.
Exemple 2
Une élève reconnaît qu’en enlevant une même quantité de chaque côté de l’égalité, l’équation est modifiée, mais l’égalité est maintenue.
c + 45 = 98
c + 45 – 45 = 98 – 45
c = 98 – 45
c = 53
Note : Il est important que les élèves effectuent ce raisonnement par étapes, sinon elles et ils risquent de simplement appliquer mécaniquement une procédure incomprise. De plus, ce raisonnement peut être utilisé pour mieux saisir le concept d’opération inverse, c’est-à-dire que la soustraction est l’opération inverse de l’addition.
Exemple 3
Un élève décompose un nombre, puis compare ou annule les nombres
Image « c » plus 45 égal 98 « c » plus 45 égal 90 plus 8 « décompose ». « c » plus 45 égal 45 plus 45 plus 8 « décompose et compare ». « c » égal 53 Un trait fait un lien entre le « c » et le 45 plus 8. « c » plus 45 égal 98 « c » plus 45 égal 90 plus 8 « décompose ». « c » plus 45 égal 45 plus 45 plus 8 « décompose et annule ». « c » égal 53 Un 45 de chaque côté de l’égal est barré à la troisième ligne.
Avantages de la résolution d’équations par inspection :
- Les élèves s’exercent à décoder l’équation, c’est-à-dire à donner un sens au symbolisme de l’équation. Elles et ils développent ainsi leur sens du symbole, de l’équation et de l’égalité.
- Les élèves réfléchissent aux opérations et aux nombres au lieu de chercher à utiliser une procédure vide de sens.
Dans les exemples ci-dessus, on constate que les élèves peuvent résoudre une même équation par inspection en utilisant diverses stratégies. Les stratégies comparer des termes, décomposer des termes et modifier l’équation qui ont été explorées dans le cadre de l’analyse d’une égalité s’appliquent très bien dans les situations de résolution d’équations par inspection, puisque l’équation représente une égalité. Il importe d’aider les élèves à établir ce lien en faisant ressortir la similitude entre une égalité et une équation à résoudre.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 90-92.
La vidéo suivante démontre la résolution d’équations par inspection et à l’aide du modèle de la balance.
Description de la vidéo
[musique entraînante]
[Vidéodescription]
Voici une capsule d'Eurêka, ton service d'appui à l'apprentissage, un service du Centre franco.
[Formateur]
La résolution d'équations.
[Vidéodescription]
Un garçon au teint basané réfléchit. Dans un phylactère de pensée, il est écrit : « x + 18 = 51 ». L'équation se transforme et devient « x = point d'interrogation ». Ensuite, le phylactère disparait, et trois générations de personnes au teint basané, une dame âgée, une femme adulte et une enfant, se placent à côté du garçon.
[Formateur]
L'équation est une relation d'égalité qui comporte une ou plusieurs variables. On utilise l'équation pour résoudre un problème quantitatif. Pour ce faire, on détermine d'abord la ou les valeurs inconnues et on traduit l'énoncé écrit en équation.
[Vidéodescription]
Le garçon émet à nouveau un phylactère de pensée, dans lequel se trouve un point d'interrogation qui clignote. Ensuite, le garçon disparait et le trio générationnel migre au centre de l'écran.
[Formateur]
On résout ensuite l'équation pour trouver la solution. Soit le problème suivant : si l'âge de grand-maman, 70 ans, est égal à celui de maman, 35 ans, plus 5 fois l'âge de Yasmine, alors quel est l'âge de Yasmine ? Pour résoudre ce problème,on le représente par l'équation 70 = 35 + 5a. Résoudre cette équation revient trouver la valeur de a, c'est-à-dire l'âge de Yasmine, pour que l'égalité soit vraie.
[Vidéodescription]
70 = 35 + 5a.
[Formateur]
Une première approche est la résolution d'équations par inspection. Dans cette approche, on compare les termes des deux membres de l'équation. Pour y arriver, on décompose 70 de façon à avoir des termes semblables à ceux de l'autre côté.
[Vidéodescription]
35 + 35 = 35 + 5a.
[Formateur]
On compare ensuite les termes des deux membres de l'équation et on décompose 35 en 5 groupes de 7.
[Vidéodescription]
35 + 5 X 7 = 35 + 5a. On simplifie l'équation en raturant les 35, les plus et les 5 de chaque côté, ce qui donne 7 = a.
[Formateur]
On peut donc déduire que a = 7. Une autre méthode est celle de la balance algébrique. L'objectif est d'isoler la variable dans un des membres de l'équation en utilisant les propriétés de l'égalité.
[Vidéodescription]
Du côté gauche de la balance, il y a 7 cubes d'une valeur de 10. Du côté droit de la balance, il y a 3 cubes d'une valeur de 10, 1 cube d'une valeur de 5 et 5 cubes d'une valeur de a. Sous la balance, il est écrit : « 70 = 35 + 5a ».
[Formateur]
On enlève d'abord 35 de chaque côté de la balance. Ensuite, on divise chaque membre par 5. On voit donc que a = 7. Pour vérifier notre solution, on remplace a par 7 dans l'équation initiale, donc 70 = 35 + 5 x 7. Puisque 70 = 35 + 35, l'égalité est vraie.
[Vidéodescription]
La fillette du trio apparaît à côté de l'équation. Elle émet un phylactère qui dit : « Moi, j'ai 7 ans!».
[Formateur]
Utilisons la stratégie de la balance pour résoudre une autre équation, soit 15 - n/4 = 10. Ici, le coefficient de la variable n est une fraction négative, soit -1/4. Puisque la variable représente un nombre inconnu, alors toutes les propriétés des nombres s'appliquent à elle. On ajoute n/4 à chaque membre pour se débarrasser du signe négatif du coefficient.
[Vidéodescription]
15 - n sur 4 + n sur 4 = 10 + n sur 4. En simplifiant l'équation, cela donne 15 = 10 + n sur 4.
[Formateur]
On soustrait 10.
[Vidéodescription]
15 - 10 = n sur 4 ou 5 = n sur 4.
[Formateur]
On multiplie par 4.
[Vidéodescription]
5 X 4 = n sur 4 X 4. On simplifie l'équation en raturant les deux 4 à droite du signe égal.
[Formateur]
n est donc égal à 20. Pour vérifier notre solution, on remplace n par 20 dans l'équation.
[Vidéodescription]
15 - 20 sur 4 = 10. 15 - 5 = 10. 10 = 10.
[Formateur]
Oui, notre réponse est juste. Récapitulons.
[Vidéodescription]
Le garçon émet un phylactère de pensée qui contient l'équation « 10 = x + 8 ».
[Formateur]
Résoudre une équation revient à trouver la valeur de la variable pour que l'égalité demeure vraie.
[Vidéodescription]
L'équation migre au centre de l'écran. 8 + 4 = x + 8. On simplifie l'équation en raturant les deux 8. 4 = x.
[Formateur]
Pour résoudre l'équation, on peut procéder par inspection et comparer les membres de l'équation ou opter pour la méthode de la balance algébrique en isolant la variable et en utilisant les propriétés de l'égalité.
[Vidéodescription]
12 = x + 8, ou 12 - 8 = x + 8 - 8, ou 4 = x.
12 = x + 8 , ou 12 = 4 + 8, ou 12 = 12.
[Formateur]
Pour vérifier notre solution, on remplace la variable par sa valeur et on s'assure que l'égalité demeure vraie.
[Vidéodescription]
12 = x + 8 , ou 12 = 4 + 8, ou 12 = 12.
[Chanson]
C'est pour toi, Eurêka!
[Fin de la vidéodescription]
Connaissance : Équation
Relation d’égalité qui comporte une ou plusieurs variables.
Exemple
20 + 44 = ____ + 20
a + b = 10
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Connaissance : Variable
Terme indéterminé (symbole ou lettre), dans une équation, qui peut être remplacé par une ou plusieurs valeurs.
Exemple
Dans l’équation, 10 = Δ + 9, le triangle est une variable, car la valeur est inconnue. Il est possible de remplacer le symbole par une seule valeur, soit par 1, pour rendre l’équation vraie.
Dans l’équation 10 = Δ + * ou 10 = x + y, les symboles ou les lettres sont des variables, car ils peuvent être remplacés par différentes valeurs.
Source : En avant, les maths!, 3e année, CM, Algèbre, p. 2.