C2.4 Résoudre des inégalités qui comprennent des nombres entiers, et vérifier et présenter les solutions à l’aide de modèles et de représentations graphiques.
Habileté : résoudre des inégalités et vérifier et présenter les solutions à l’aide de modèles et de représentations graphiques
Pour faciliter l’apprentissage du concept d’inégalité, le personnel enseignant doit proposer aux élèves des activités qui les incitent à analyser des situations d’inégalité et à les traiter de manière algébrique. Il discute ensuite avec les élèves des stratégies utilisées pour analyser les inégalités en privilégiant celles qui font appel aux représentations concrètes et semi-concrètes, et qui mettent l’accent sur le sens de l’inégalité plutôt que sur l’application mécanique d’une procédure ou de calculs fastidieux.
Lors de la multiplication ou de la division par un entier négatif, le signe d’inégalité doit être inversé pour que la solution soit vraie. Pour résoudre des inégalités comprenant des nombres entiers, il faut porter une attention particulière au signe d’inégalité afin de veiller à ce que la condition demeure valide. Il importe de comprendre qu’une inégalité possède un ensemble de solution et non une unique solution comme l’égalité.
Par exemple, quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut changer le signe d’inégalité :
- \(-2x < 6 \rightarrow x> -3\)
- on sait que 4 < 5, si on multiplie les deux côtés de l’inégalité par -10, cela fait \(\ -40 > -50\). C’est bien -50 qui est le plus petit donc il faut inverser le sens de l’inégalité.
La solution d’une inégalité qui a une variable, telle que \(-2x + 3x < 10\), peut être représentée graphiquement sur une droite numérique. Sur celle-ci, un point vide indique une relation d’inégalité stricte (« est inférieur à » ou « est supérieur à »); un point plein indique une relation d’inégalité large (« est inférieur ou égal à » ou « est supérieur ou égal à »).
L’une des stratégies possibles pour résoudre des inégalités consiste à considérer l’inégalité comme une égalité, puis à essayer des nombres supérieurs ou inférieurs à celui de la résolution de l’égalité pour déterminer l’intervalle des nombres qui constituent des réponses valables. Il est important d’encourager les élèves à représenter correctement leurs solutions à l’aide d’un point plein ou vide.
Il est à noter que la solution d’une inégalité qui a deux variables, telles que \(\ x + y < 4\), peut être représentée graphiquement sur un plan cartésien.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
L’inégalité
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Lorsque l’on résout une inéquation, il est préférable de regrouper les termes semblables ayant une variable sur le côté où le coefficient est le plus élevé (le plus positif), puisque ceci diminue les occasions d’erreurs en multipliant ou divisant par un négatif.
Cependant, il est important d’être capable d’isoler la variable si son coefficient est négatif.
Une fois que l’élève a résolu une inéquation, prendre l’habitude de vérifier sa solution en insérant cette valeur dans l’équation initiale est une excellente pratique à développer.
Exemple
Par exemple, pour \(\ -3m < 6\)< /span>, il faut diviser par -3 de chaque côté. En effectuant la division par un négatif, il faut renverser le symbole <, qui devient >.
On obtient donc \(\ m > -2\).
On peut vérifier la solution en remplaçant m par -3, -2 et -1.
- \(\begin{align} -3(-3) &< 6 \\ 9 &< 6 \end{align}\)Cette inégalité est fausse.
- \(\begin{align} -3(-2) &< 6 \\ 6 &< 6 \end{align}\)Cette inégalité est fausse.
- \(\begin{align} -3(-1) &< 6 \\ 3 &< 6 \end{align}\)Cette inégalité est vraie.
La résolution d’inéquations : isoler la variable et représenter l’ensemble-solution sur une droite numérique
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Connaissance : inégalité
Relation d’ordre entre deux expressions ou deux quantités. Il existe quatre symboles d’inégalité :
<, qui signifie « strictement inférieur à/plus petit que »;
>, qui signifie « strictement supérieur à/plus grand que »;
≤, qui signifie « inférieur ou égal à »;
≥, qui signifie « supérieur ou égal à ».
Non-égalité
Relation entre deux expressions ou deux quantités qui n’ont pas la même valeur.
La non-égalité est représentée par le signe ≠ (n’est pas égal à, n’égale pas).
Exemple
\(\begin{align}5 &\neq 5 + 1 \\ (3 \times 5) + 4 &\neq 3 \times (5 + 4) \\ 8a &\neq 25 \end{align}\)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 70.