C1.1 Reconnaître et décrire des suites à motif répété ainsi que des suites croissantes et des suites décroissantes, y compris celles trouvées dans la vie quotidienne, et déterminer celles qui sont des suites croissantes linéaires.
Habileté : reconnaître et décrire des suites à motif répété
La suite à motif répété est la forme de suite la plus simple. Pour la reconnaître, il faut rechercher la règle de régularité. Elle est créée lorsque les éléments qui constituent le motif se répètent selon le même ordre. Les élèves doivent déterminer le début et la fin du motif dans la suite.
Du cycle préparatoire jusqu’à la fin du cycle moyen, les suites que les élèves apprennent à explorer et à créer doivent être de plus en plus complexes. Voici des suggestions afin de complexifier les suites à motif répété :
- Modifier la structure de la suite : Explorer des suites plus complexes en ajoutant plus d’éléments au motif ou plus d’attributs. Les élèves feront alors face à un défi cognitif qui les mènera à un nouvel apprentissage.
- Changer le mode de représentation : Présenter des suites ayant la même structure, mais construites selon différents modes de représentation, et vérifier si les élèves reconnaissent qu’elles ont la même structure.
- Explorer des suites ayant un élément manquant dans le motif : Examiner la suite pour déterminer l’élément qui manque au début, au milieu ou à la fin d’un motif augmente la compréhension des relations. Plusieurs explorations de ce genre aident les élèves à comprendre la suite comme un tout qui contient plusieurs motifs, plutôt que comme une séquence d’éléments changeants sans aucune relation.
- Repérer de fausses pistes : Reconnaître qu’un attribut peut être une fausse piste dans une suite contribue au développement du raisonnement algébrique.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 30-33.
Habileté : reconnaître et décrire des suites croissantes et décroissantes
Pour reconnaître une suite croissante ou décroissante, il faut chercher la relation entre chaque rang (règle de régularité) ou entre le rang de chaque figure et le nombre d’éléments dans la figure (règle de correspondance). Le nombre d’éléments qui composent une figure augmente ou diminue d’un rang à l’autre.
Source : En avant, les maths!, 3e année, CM, Algèbre, p. 3.
L’étude des relations devrait d’abord passer par des situations exprimées à l’aide de suites non numériques parce que ces situations possèdent une dimension visuelle et kinesthésique qui rend les relations qu’elles représentent moins abstraites.
Exemple : suite non numérique à motif croissant
Les suites non numériques à motif croissant ont les caractéristiques suivantes :
- Les éléments qui composent chaque figure de la suite sont disposés selon un ordre et une règle; par exemple, d’un rang à l’autre dans la suite ci-dessus, on ajoute un soleil au bout de chaque branche.
- Le motif est repérable dans chaque figure de manière que chaque figure provient de la croissance de la figure trouvée au rang précédent; par exemple, dans la suite ci-dessus, le motif de base est formé de trois soleils placés en forme de V.
Note : On peut utiliser de la couleur afin de faire ressortir le motif de base.
- Le nombre et l’emplacement des éléments qui composent chaque figure sont prévisibles; par exemple, dans la suite ci-dessus, on peut prévoir que la figure au 5e rang sera composée du motif de base, soit 3 soleils placés en forme de V, et de 4 soleils de plus sur chaque branche. Elle sera donc composée de 11 soleils en tout.
Une bonne connaissance des caractéristiques d’une suite non numérique croissante et décroissante aide les élèves à reconnaître ces types de suites. En effet, elles et ils peuvent reconnaître, par exemple, que la suite ci-dessous n’est pas une suite non numérique croissante, même si chaque figure est composée de la même quantité de soleils que dans la suite précédente, soit 3, 5, 7…, car ceux-ci ne sont pas disposés selon un ordre et une règle qui aident à prévoir l’emplacement des soleils qui composeront la prochaine figure.
Image Suite non
numérique à motifs croissants, étoiles avec couleur de base souligné. « Rang un » contient 3 étoiles jaunes, « Rang 2
», contient 5 étoiles, donc trois jaunes et 2 neutres, et « Rang 3 » contient 7 étoiles, donc 3 jaunes.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 42-43.
Si les mêmes images sont présentées sous forme décroissante, l’élève peut aussi constater qu’elles ne sont pas considérées comme étant une suite non numérique décroissante. Comme l’exemple ci-dessus, les figures ne sont pas disposées selon un ordre et une règle de régularité qui aident à prévoir l’emplacement des soleils qui composeront la prochaine figure.
Image Suite non
numérique à motifs croissants, étoiles avec couleur de base souligné. « Rang un » contient 3 étoiles jaunes, « Rang 2
», contient 5 étoiles, donc trois jaunes et 2 neutres, et « Rang 3 » contient 7 étoiles, donc 3 jaunes.
Habileté : déterminer les suites croissantes linéaires
Les suites croissantes linéaires, tout comme les suites non linéaires, sont disposées selon un ordre et une règle qui aident à prévoir l’emplacement des termes qui composeront la prochaine figure. Cependant, la suite croissante linéaire augmente d’une valeur qui reste constante. Les élèves peuvent donc repérer, examiner et utiliser la constante qui définit la suite linéaire afin de la distinguer des autres suites non numériques. Dans un système de coordonnées, une suite croissante linéaire est représentée sous la forme d’une ligne droite.
Exemple : suite croissante non linéaire
Image Suite
croissante linéaire. Rang un : un carré jaune, un triangle bleu. Rang 2 : un carré jaune, 2 triangles bleus. Rang 3 :
un carré jaune, 4 triangles bleus. Rang 4 : un carré jaune, 5 triangles bleus. Rang 5 : un carré jaune, 7 triangles
bleus.
Cette suite a 1 carré et 1 triangle au 1er rang, 1 carré et 2 triangles au 2e rang, puis 1 carré et 4 triangles au 3e rang. Le nombre de triangles augmente d’abord de + 1 triangle par rapport à la figure trouvée au rang précédent, puis de + 2 triangles par rapport à la figure trouvée au rang précédent. On alterne de + 1 à + 2 d’un rang à l’autre. Puisque la croissance de chaque figure n’est pas constante d’un rang à l’autre, on ne peut pas affirmer que c’est une suite croissante linéaire.
Exemple : suite croissante linéaire
Cette suite est une suite croissante linéaire. Au 1er rang, il y a 6 cure-dents pour créer l’hexagone et 1 groupe de 3 cure-dents pour créer 1 carré. Au 2e rang, il y a 6 cure-dents pour créer l’hexagone et 2 groupes de 3 cure-dents pour créer les 2 carrés. Au 3e rang, il y a 6 cure-dents pour créer l’hexagone et 3 groupes de 3 cure-dents pour créer les 3 carrés. À chaque rang, on ajoute toujours 3 cure-dents pour créer 1 carré de plus.
Si l’on représente cette suite au moyen d’une représentation graphique, elle forme une ligne droite comme ceci :
Source : En avant, les maths!, 6e année, CM, Algèbre, p. 5-6.
Connaissance : suite non numérique
Ensemble de figures ou d’objets disposés selon un ordre et une règle.
Suite à motif répété
Ensemble de figures ou d’objets disposés selon un ordre et une régularité dans lequel on trouve un motif répété.
Suite croissante
L’exemple 1 représente une suite croissante : le motif de base est un carré auquel on ajoute 1 carré à chaque rang subséquent.
L’exemple 2 représente un coquillage spiral dont le 1er terme (motif de base) est la première spirale au centre du coquillage. Les autres termes sont obtenus selon une certaine régularité (souvent associé à la suite de Fibonacci et au nombre d’or). La suite que forment les différentes spirales est croissante, car la grosseur des spirales augmente selon une régularité.
L’exemple 3 représente une pyramide dont le 1er terme est un prisme rectangulaire au sommet, auquel on ajoute des pierres dont l’aire de la base croît selon une certaine régularité.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Suite croissante linéaire
Suite qui augmente (croît) par une valeur qui reste constante. Dans un système de coordonnées, elle est représentée sous la forme d’une ligne droite.
Exemple
Commence par trois carreaux au rang 1 (constante) et augmente de quatre carreaux à chaque rang suivant :
Image Suite
non numérique à motifs croissants. Un : 3 carrés verts. 2 : 3 carrés verts et 4 carrés rouges. 3 : 3 carrés verts, 4
carrés rouges et 4 carrés bleus. 4 : 3 carrés verts, 4 carrés rouges, 4 carrés bleus et 4 carrés jaunes.
Commence par quatre carreaux au rang 1 (constante) et augmente de trois carreaux à chaque rang suivant :
Image Suite
non numérique à motifs croissants. Un : 4 carrés jaunes. 2 : 4 carrés jaunes et 3 carrés bleus. 3 : 4 carrés jaunes, 3
carrés bleus et 3 carrés rouges. 4 : 4 carrés jaunes, 3 carrés bleus, 3 carrés rouges et 3 carrés verts.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques, de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Suite décroissante
Ensemble de figures ou d’objets disposés selon un ordre et une règle, qui implique une régression (par exemple, une diminution du nombre d’éléments) d’un terme à l’autre.
Exemple
Image Suite
décroissante à motif non numérique : Un : 4 ronds violets et 4 triangles bleus. 2 : 3 ronds violets et 3 triangles
bleus. 3 : 2 ronds violets et 2 triangles bleus. 4 : un rond violet et un triangle bleu.
Connaissance : suite numérique
Suite numérique croissante
Suite où les termes sont des nombres qui croissent (augmentent). Les termes d’une suite croissante proviennent de règles de régularité liées à l’addition et à la multiplication.
Exemples
- 4, 6, 8, 10... (La règle de régularité de cette suite est d’additionner 2 afin d’obtenir le terme au rang subséquent.)
- 1, 2, 4, 7, 11… (La règle de régularité de cette suite est d’additionner 1 de plus que la fois précédente afin d’obtenir le terme au rang subséquent.)
- 3, 9, 27, 81… (La règle de régularité de cette suite est de multiplier par 3 afin d’obtenir le terme au rang subséquent.)
Suite numérique décroissante
Suite où les termes sont des nombres qui diminuent. Les termes d’une suite décroissante proviennent de règles de régularité liées à la soustraction et à la division.
Exemples
- 14, 11, 8… (La règle de régularité de cette suite est de soustraire 3 afin d’obtenir le terme au rang subséquent.)
- 144, 72, 36… (La règle de régularité de cette suite est de diviser par 2 afin d’obtenir le terme au rang subséquent.)
Connaissance : motif
Plus petite partie d’une suite non numérique à partir de laquelle est créée la règle.
Suite à motif répété
Le motif est :
.
Suite non numérique croissante
Le motif est :
.
En examinant chacune des figures de la suite, on peut reconnaître qu’elles sont construites en relation avec le motif, puisqu’on peut le repérer à l’intérieur de chaque figure.
Connaissance : attribut
Propriété observable d’une personne ou d’un objet. Les attributs comprennent la couleur, la forme, la texture, l’épaisseur, l’orientation, les matériaux, les mouvements, les sons, les objets ou les lettres. L’attribut est reflété dans un objet au moyen d’une caractéristique; par exemple, si l’attribut est la couleur, les caractéristiques peuvent être rouge, bleu et jaune.
Dans la suite, les attributs qui décrivent la suite sont la forme et la couleur. Les caractéristiques de la forme sont le rectangle, le trapèze et le triangle. Les caractéristiques de la couleur sont bleu, vert et orangé.
Source : adapté du curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Connaissance : terme
Chaque figure, objet ou mouvement qui compose une suite non numérique ou chaque nombre qui compose une suite numérique.
Suite à motif répété
Dans la suite, chacune des figures planes est un terme.
Suite non numérique croissante
Dans la suite, chacune des figures est un terme.
Suite non numérique décroissante
Dans la suite, chacune des figures est un terme.
Suite numérique croissante
2, 4, 6, 8…(1er terme : 2, 2e terme : 4, 3e terme, 6)
4, 10, 16, 22, 28...(1er terme : 4, 2e terme : 10, 3e terme : 16)
Suite numérique décroissante
21, 14, 7...(1er terme : 21, 2e terme : 14, 3e terme : 7)
72, 60, 48...(1er terme : 72, 2e terme : 60, 3e terme : 48)
Connaissance : règle de régularité
Règle qui assure le prolongement d’une suite en respectant la différence entre les termes (aussi appelé bond constant).
Suite à motif répété
La règle de régularité dans la suite, une répétition du motif rectangle bleu, trapèze vert, triangle orangé, et ce, toujours dans le même ordre.
Suite non numérique croissante
La règle de régularité dans la suite, un cube est toujours ajouté à la rangée du bas du rang précédent.
Suite C
Suite non numérique décroissante
La règle de régularité dans la suite, un cube est toujours enlevé à la rangée du bas de la figure au rang précédent.
Connaissance : règle de correspondance
Règle qui assure le prolongement d’une suite en établissant la relation entre le rang et son terme.
Dans la suite ci-dessous, la règle de correspondance est que le nombre de triangles dans la figure est 3 fois plus que son rang.
Image Tableau de valeur représentant le rang de la figure « R » et le nombre de triangles « t ». Rang 1, 3 triangles, Rang 2, 6 triangles, Rang 3, 9 triangles, Rang 4, 12 triangles. Une flèche pointe vers la droite elle représente le bond multiplier par 3.
Le nombre de triangles (t) est égal à trois fois le rang (r) : t = 3r.
Dans la suite ci-dessous, le triangle vert est constant d’un rang à l’autre et le nombre de groupes de 2 carrés orangés correspond au rang de la figure.
Au 1er rang, il y a 1 triangle vert et 1 groupe de 2 carrés orange.
Au 2e rang, il y a 1 triangle vert et 2 groupes de 2 carrés orange.
Au 3e rang, il y a 1 triangle vert et 3 groupes de 2 carrés orange.
Au 4e rang, il y a 1 triangle vert et 4 groupes de 2 carrés orange.
Le nombre de figures planes (f) est égal à 2 fois le rang (r) plus 1 : f = 2r + 1
Connaissance : structure
Représentation à l’aide de lettres de la règle de régularité d’une suite à motif répété.
Dans la suite A, chaque élément du motif peut être identifié par une lettre comme suit : rectangle bleu (A), trapèze vert (B), triangle orangé (C). La structure de la suite A est donc ABC.
Suite A
Connaissance : rang
Position qu’occupe chaque terme dans une suite. Le rang est indiqué par un nombre. Il est utilisé pour aider à décrire les relations dans une suite et à prédire les prochains termes dans la suite sans devoir la prolonger.
Exemples
Dans les suites B et C, chaque figure a son rang : la figure 1 occupe le 1er rang, la figure 2 occupe le 2e rang, etc.
Suite B
Suite C
Source : adapté de Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 29.