GEEM - Habiletés et connaissances

C2.1 Déterminer et utiliser des symboles comme variables dans des expressions et des équations.

Habileté : Déterminer et utiliser des symboles comme variables

Saisir le sens du symbole qui représente une variable exige un haut niveau d’abstraction. L’acquisition du sens du symbole et de l’aisance à manipuler les symboles se fait de façon graduelle. Les élèves doivent d’abord apprendre à décrire des relations à l’aide de divers modes de représentation. Elles et ils doivent utiliser des représentations concrètes et semi-concrètes tout le long de leur apprentissage. Driscoll montre que pour aider les élèves à faire la transition vers les représentations symboliques à l’aide de lettres, il est profitable d’utiliser des dessins ou des formes pour représenter des quantités avant d’utiliser des lettres comme variables.

Ainsi, au cycle primaire, la variable est d’abord représentée par une case ou par un trait à remplir (par exemple, 4 + _ = 6). Les élèves progressent ensuite vers l’utilisation d’un dessin ou d’une forme géométrique (par exemple, ♥ + 5 = 12) pour représenter une quantité manquante dans une équation. L’utilisation de la lettre, comme variable, devrait se faire au cours du cycle moyen, parce que les élèves doivent être en mesure de faire la différence entre son rôle dans le langage écrit et son rôle en algèbre. La transition ne se fait pas facilement et les élèves doivent se familiariser progressivement avec l’usage des symboles littéraux dans une équation. La façon dont le personnel enseignant présente ces symboles influe sur la perception qu’ont les élèves de ceux-ci. Selon Kieran et Chalouh (1999, p. 62), l’utilisation de symboles littéraux pour représenter une quantité doit être un sujet de discussion en classe. Diverses recherches (Demonty et Vlassis, 1999, p. 16-27), ont recensé des méprises d’élèves concernant l’utilisation de ces symboles dans les équations. En voici quelques exemples :

Les élèves pensent que a = 1, b = 2, c = 3, etc.
Les élèves pensent, par exemple, que la lettre a doit représenter une valeur inférieure à la lettre c, puisque la lettre a précède la lettre c dans l’alphabet.
Les élèves pensent que si une lettre prend une valeur quelconque dans une équation, alors elle prendra cette même valeur dans d’autres équations.
Les élèves ignorent la lettre (par exemple, l’expression algébrique 2p + 3p est réduite à 5 en ignorant le p).
Les élèves pensent que la lettre représente l’abréviation d’un nom commun ou d’une unité de mesure (par exemple, dans l’expression algébrique 3b + 6b, les élèves pensent que le b peut représenter « biscuits »). Il est à noter qu’au cycle primaire les élèves peuvent utiliser une lettre comme étiquette dans une phrase mathématique (par exemple, 3b + 6b = 9b), mais cette lettre ne représente pas une valeur.

Les élèves peuvent aussi confondre la lettre x et le signe de multiplication ×. Dans leur parcours en mathématiques, les élèves apprennent que, pour représenter une multiplication, le signe × peut être remplacé par un point (par exemple, 3 • 5 = 15, a • b = 32) ou même omis [par exemple, 3 × (2 + 4) = 3(2 + 4), 5 × a = 5a]. Il est donc préférable de ne pas utiliser la lettre x comme variable au cycle moyen. On utilise plutôt des lettres qui sont liées au contexte (par exemple, la lettre n pour représenter le nombre d’objets). Les élèves doivent comprendre que la lettre représente une quantité et non un objet ou une personne (par exemple, la lettre m représente l’âge de Marie et non Marie elle-même).

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 85-87.

Au cycle moyen, les élèves continuent à utiliser les symboles et à s’en approprier le sens. Notamment, elles et ils remplacent progressivement les symboles personnels par des symboles littéraux pour représenter des variables (par exemple, 13 + a = 19). Elles et ils utilisent aussi les symboles pour communiquer un raisonnement algébrique.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 69.

L’équation est sans doute l’outil le plus utile en algèbre. Or, l’équation est plus complexe qu’on ne le pense, ce qui fait qu’elle est souvent mal comprise. Wagner ( 1982, p. 107-118,), par exemple, a présenté les équations 7 × W + 22 = 109 et 7 × N + 22 = 109 à des élèves âgées et âgés de 10 à 18 ans et leur a demandé laquelle des variables, W ou N, avait la plus grande valeur. Moins de la moitié des élèves ont répondu correctement que les deux variables avaient la même valeur. Les équations sont des égalités qui comportent une ou des valeurs indéterminées, soit des variables (par exemple, a + 135 = 178 et m = 3 × b + 4). L’habileté à représenter une relation d’égalité de façon symbolique à l’aide d’une équation requiert une bonne compréhension de la relation, un bon sens du symbole et l’utilisation de la pensée algébrique. Les premières expériences qu’ont les élèves avec les équations proviennent de situations-problèmes. De fait, elles et ils sont amenés à représenter des situations-problèmes de façon symbolique à l’aide d’une équation, comme dans l’exemple suivant.

Exemple

Pierre et Misha préparent un sac de billes qu’ils veulent offrir à leur ami. Pierre dépose 40 billes dans le sac. Misha en dépose aussi. Il y a maintenant 76 billes dans le sac. Combien de billes Misha a-t-il déposées dans le sac?

Lorsque les élèves saisissent bien cette situation, elles et ils peuvent la représenter à l’aide de l’équation 40 + m = 76, où m représente le nombre de billes que Misha a déposées dans le sac. Il importe de reconnaître qu’il n’est pas toujours facile pour les élèves de représenter une relation d’égalité à l’aide d’une équation. Il leur est facile, par exemple, de comprendre la situation dans laquelle Pierre a quatre billes de plus que Misha. Cependant, les élèves peuvent éprouver plus de difficulté à représenter cette situation à l’aide d’une équation. Elles et ils auront besoin d’utiliser du matériel concret avant de proposer l’équation p = 4 + m, où p représente le nombre de billes de Pierre et m, le nombre de billes de Misha.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 83-84.

CONNAISSANCE : Variable

Terme indéterminé dans une équation ou une inéquation qui peut être remplacé par une ou plusieurs valeurs.

Une variable peut être un symbole ou une lettre utilisée pour représenter une valeur inconnue.

Exemple

n + 6 = 20 − 5

Il y a des variables dans une équation qui représente une relation entre deux quantités changeantes.

Exemple

n + p = 15

Il y a des variables dans une formule.

Exemple

Aire d’un rectangle ou d’un parallélogramme : A = b × h

Il y a des variables dans une équation qui généralise une relation d’égalité.

Exemple

a × b = b × a (commutativité de la multiplication)

Note : Dans une équation, il est possible que deux variables différentes prennent la même valeur en même temps. Dans l’équation a + b = 6, par exemple, si a prend la valeur de 3, b aura aussi la valeur 3.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 85.

Connaissance : Expression algébrique

Une expression est un symbole ou un ensemble de symboles qui peuvent être liés entre eux à l’aide d’un signe d’opération. Plus précisément, une expression comme 3 + n + 4 est une expression algébrique, puisqu’elle contient des nombres et des symboles.

Notes : Une expression contenant exclusivement des nombres est une expression numérique, par exemple 5 – 2.

Les expressions ne contiennent pas de signe d’égalité; elles ne peuvent pas être qualifiées d’équations.

Connaissance : Équation

L’équation est une façon symbolique de représenter une relation qui peut être difficile à comprendre, entre autres, parce qu’il existe divers types d’équations dont la fonction varie selon la situation. Au cycle moyen, les élèves rencontrent quatre types d’équations.

Équation à résoudre : Une équation comme 2 + r = 14 doit être résolue. Elle provient généralement d’une situation-problème et décrit une relation d’égalité. La lettre r représente une valeur inconnue qui doit être déterminée.
Équation qui représente une relation entre deux quantités changeantes : Une équation comme c = 2r + 3 sert à exprimer une relation, par exemple la relation entre le rang d’une figure (r) dans une suite non numérique et le nombre de cure-dents (c) qui le composent. Les lettres r et c sont des variables, puisqu’elles peuvent prendre diverses valeurs.
Équation qui sert de formule : Pour calculer l’aire (A) d’un carré, l’équation A = c × c peut être utilisée. Une telle équation est appelée formule, puisqu’elle est employée pour calculer l’aire d’un carré ayant des côtés de longueur c. Une telle équation ne se résout pas.
Équation qui généralise une situation d’égalité : Il est possible de généraliser la relation d’égalité entre l’addition de deux nombres identiques quelconques et la multiplication de ce nombre par deux (par exemple, 4 + 4 = 2 × 4) par l’équation r + r = 2 × r. Une telle équation ne se résout pas et il ne s’agit pas d’une formule. De plus, elle ne représente pas une relation entre deux quantités changeantes.

Note : Les précisions quant aux divers types d’équations sont données afin de reconnaître que les concepts algébriques ne sont pas rencontrés et traités exclusivement dans le cadre d’activités en Algèbre. On retrouve, par exemple, régulièrement des équations qui servent de formule en mesure. Cependant, au cycle moyen, les élèves n’ont pas nécessairement à faire la distinction entre ces types d’équations.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4^e à la 6^e année, p. 89.