C1.3 Déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions, et trouver des termes manquants dans des suites à motif répété et des suites croissantes.
Habileté : Déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions et trouver des termes manquants
L’étude des relations comprend la représentation de relations à l’aide de règles énoncées en langage courant.
Il est plus difficile de déterminer une règle de correspondance que de déterminer une règle de régularité. La détermination de la règle de correspondance en langage courant est une étape importante dans le développement de la pensée algébrique, puisqu’il s’agit d’une généralisation de la relation. La règle de correspondance permet aux élèves d’expliquer la relation entre les deux quantités en changement et de déterminer n’importe quel terme (par exemple, le 25e terme) sans avoir à prolonger la suite jusqu’au terme recherché.
Il est important de reconnaître que le cheminement vers l’expression d’une règle de correspondance peut différer d’une personne à l’autre, puisque le raisonnement se développe en partant de perceptions individuelles. L’exemple ci-dessous, inspiré d’une recherche de Radford, illustre la façon dont les élèves peuvent percevoir différemment la relation entre le rang de la figure dans une suite non numérique croissante et le nombre de cercles qui le composent.
Exemple
Image Dans un encadré on peut lire : « Je vois 2 rangées de cercles.
Dans la rangée supérieure, il y a toujours un cercle de plus, en bleu, que le rang de la figure et dans la rangée du
bas, il y a toujours 2 cercles de plus, en gris, que le rang de la figure. » Suite, non numérique à motifs croissants.
Rang un, 5 cercles, 2 jaunes, un bleu 2 gris. Rang 2, 7 cercles, 4 jaunes, un bleu 2 gris. Rang 3, 9 cercles, 6
jaunes, un bleu 2 gris.
En poursuivant son analyse, l’élève détermine que la figure 10 contiendra (10 + 1) + (10 + 2) cercles, soit 23 cercles.
Image
Dans un encadré on peut lire : « Pour trouver le nombre total de cercles, tu additionnes deux fois le rang de la
figure et tu ajoutes 3. Donc, pour le rang un, la phrase mathématique est : un plus un, plus 3 égal, 5 ; pour le rang
2 : 2 plus 2, plus 3 égal 7 et pour le rang 3 : 3 plus 3, plus 3 égal 9.» Suite, non numérique à motifs croissants.
Rang un, 5 cercles, 2 jaunes, 3 bleus. Rang 2, 7 cercles, 4 jaunes, 3 bleus. Rang 3, 9 cercles, 6 jaunes, 3 bleus.
Image Dans un encadré on peut lire : « Dans le rang un, je vois 5 cercles. Dans le rang 2, je vois les
5 cercles initiaux, auxquels on a ajouté un groupe de 2 cercles. Dans le rang 3, je vois les 5 cercles initiaux,
auxquels on a ajouté 2 groupes de 2 cercles. » Suite, non numérique à motifs croissants. Rang un, 5 cercles. Rang 2, 7
cercles, 5 jaunes, 2 bleus. Rang 3, 9 cercles, 5 jaunes, 4 bleus.
Note : L’élève peut présenter son interprétation à l’aide d’un tableau.
| Rang | Nombre de cercles | Explication à l'aide de la régularité | Relation entre le rang et le nombre de cercles qui le composent |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 5 | 5 + 0 x 2 |
| 2 | 7 | 5 + 2 | 5 + 1 x 2 |
| 3 | 9 | 5 + 2 + 2 | 5 + 2 x 2 |
| 4 | 11 | 5 + 2 + 2 + 2 | 5 + 3 x 2 |
| 25 | ? | 5 + 2 + 2 + 2 + ... | 5 + 24 x 2 |
Les règles qu’ont formulées les trois élèves proviennent de leur compréhension de cette relation. Chaque élève a perçu et a généralisé la situation à sa façon, ce qui a engendré trois règles de correspondance exprimées en mots, qui sont différentes mais équivalentes. Aucune n’est meilleure qu’une autre. Elles montrent toutefois que l’interprétation que les élèves se font d’une relation a un effet sur la règle de correspondance formulée. Il est important d’encourager ces différentes formulations d’une règle de correspondance.
Il peut y avoir des élèves qui passent trop rapidement de la suite non numérique à la table de valeurs correspondante. En partant de la suite non numérique précédente, par exemple, il leur est possible d’établir immédiatement la table suivante.
| Rang | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Nombre de cercles | 5 | 7 | 9 |
Les élèves procèdent ensuite par tâtonnements pour déterminer la règle de correspondance qui définit la relation, comme en font foi les explications ci-dessous d’une élève. Dans chaque cas, il y a lieu de remettre en question la profondeur de la compréhension qu’ont ces élèves de la relation représentée.
Image
Dans un encadré on peut lire : « J’ai représenté la relation par une table de valeurs. J’ai comparé le rang eau nombre
de cercles correspondant en faisant plusieurs essais. Par exemple, j’ai commencé avec multiplié par 2, mais ça ne
fonctionnait pas; ensuite j’ai continué de cette façon et j’ai trouvé que dans chaque cas, c’était « fois deux plus 3
» ou le double du rang plus 3. »
Il importe de tenir compte des différentes façons qu’ont les élèves de percevoir les relations entre les termes d’une suite et d’adapter le questionnement en conséquence afin d’aider chaque élève à exprimer la règle de correspondance en mots avec précision. La situation ci-dessous met en évidence des exemples de questions adaptées.
Exemple
Présenter aux élèves la suite suivante.
À l’aide des questions ci-dessous, inciter les élèves à analyser la suite et à établir une relation entre le rang de la figure et le nombre de carrés qui la composent :
- Combien de carrés composent chacune des figures au 1er rang, au 2e rang et au 3e rang?
- Combien de carrés faut-il pour construire la figure au 4e rang? Construisez cette figure.
- Combien de carrés faut-il pour construire la figure au 5e rang? Construisez cette figure.
- Quelle règle de régularité voyez-vous dans le nombre de carrés?
- Construisez une table de valeurs qui représente la relation entre le nombre de carrés d’un rang à l’autre. Quelle règle de régularité voyez-vous dans la table de valeurs?
- Représentez la relation entre le rang de la figure et le nombre de carrés qui la composent. Quelle règle de correspondance voyez-vous?
- Combien y aura-t-il de carrés dans la figure au 6e rang? dans la figure au 10e rang? Comment le savez-vous?
- Y a-t-il d’autres façons de le déterminer?
Animer ensuite un échange mathématique qui met l’accent sur les différentes perceptions qu’ont les élèves de la relation. Leur poser des questions, comme celles présentées ci-dessous, afin de les amener à expliquer et à verbaliser leur stratégie et leur règle.
- Avez-vous trouvé une méthode rapide pour compter le nombre de carrés de la figure au 4e rang? Pouvez-vous nous l’expliquer?
Élève 1 : Dans la figure au 4e rang, je vois qu’il y a trois carrés à gauche, trois carrés à droite, trois carrés au haut et un carré au milieu, au bas. En tout, ça fait 3 + 3 + 3 + 1, soit 10 carrés.
- Qui a utilisé la même méthode? Y a-t-il quelqu’un qui a utilisé une autre méthode?
Élève 2 : J’ai utilisé une méthode semblable. Je vois un carré au milieu, au bas, et trois branches de trois carrés. En tout, ça fait 10 carrés.
Élève 3 : Moi, ma méthode est différente, mais j’ai obtenu la même réponse. Je vois une colonne de quatre carrés, puis trois carrés à gauche et trois carrés à droite. En tout, je compte 4 + 3 + 3, soit 10 carrés.
Image Figure composée de dix carrés. 7 carrés forment la partie
horizontale, et 3 carrés sont sur le carré du milieu et font de façon verticale, cela fait un groupe de 4 carrés.
Les carrés restants sont en groupe de 3.
Élève 4 : Moi, je vois les carrés d’une autre façon. Si je regarde la suite, elle commence par un carré et, à chaque rang, on ajoute un carré à trois endroits. Dans la figure au 4e rang, on a ajouté les trois carrés trois fois. En tout, on a 10 carrés.
Image Figure composée de dix carrés. 7 carrés forment la partie horizontale, et 3 carrés sont sur
le carré du milieu. Ce carré est le carré « un ». Des pointillés font un arc de cercle de 3 sur chaque rangée de
carrés.
- Votre méthode fonctionne-t-elle pour compter le nombre de carrés de la figure au 5e rang?
Élève 1 : Oui. Je vois qu’il y a quatre carrés à gauche, quatre carrés à droite, quatre carrés au haut et un carré au milieu, au bas. En tout, ça fait 4 + 4 + 4 + 1, soit 13 carrés.
Élève 2 : Oui. Je vois un carré au milieu, au bas, et trois branches de quatre carrés. En tout, ça fait 13 carrés.
Élève 3 : Oui. Je vois une colonne de cinq carrés, puis quatre carrés à gauche et quatre carrés à droite. En tout, je compte 5 + 4 + 4, soit 13 carrés.
Image Figure composée de dix carrés. 9 carrés forment la partie horizontale, et 4 carrés sont sur
le carré du milieu et font de façon verticale, cela fait un groupe de 5 carrés. Les carrés restants sont en groupe
de 4.
Élève 4 : Oui. Si j’observe la suite, elle commence par un carré et, à chaque rang, on ajoute un carré à trois endroits. Dans la figure au 5e rang, on a ajouté les trois carrés quatre fois. En tout, on a 13 carrés.
Image Figure composée de dix carrés. 9 carrés forment la partie horizontale, et 4 carrés sont sur
le carré du milieu. Ce carré est le carré « un ». Des pointillés font un arc de cercle de 3 sur chaque rangée de
carrés.
- Selon votre méthode, combien de carrés y aura-t-il dans la figure au 10e rang?
Élève 1 : Il y aura 28 carrés. Il y aura un carré au milieu, au bas, puis neuf carrés à gauche, neuf carrés à droite et neuf carrés au haut. En tout, il y aura 9 + 9 + 9 + 1, soit 28 carrés.
- Comment sais-tu combien il y en aura à gauche, à droite et au haut?
D’après les figures aux rangs précédents de la suite, il y a toujours un carré de moins que le rang de la figure à chacun de ces trois endroits.
Élève 2 : C’est presque la même chose.
- Pourquoi dis-tu que c’est la même chose que l’autre stratégie (élève 1)?
Lui (élève 1) mentionne qu’il additionne 9 + 9 + 9. Moi, je multiplie, c’est-à-dire que je fais 3 × 9, car multiplier, c’est comme additionner plusieurs fois une même quantité.
Élève 3 : Moi, j’ai aussi obtenu 28, puisqu’il y aura une colonne de 10 carrés, puis neuf carrés à gauche et neuf carrés à droite, donc 10 + 9 + 9 = 28 carrés.
- Comment sais-tu que c’est bien 10 carrés, puis neuf carrés deux fois?
D’après les figures aux premiers rangs de la suite, le nombre de carrés, dans la colonne, est égal au rang de la figure et le nombre de carrés à gauche et à droite est toujours un de moins que le rang.
Élève 4 : D’après ma façon de voir les figures dans les rangs, il y a un carré au milieu, au bas. Ensuite, on ajoute trois carrés à la figure du rang suivant. On devra le faire pour les figures aux rangs 2 à 10, soit neuf fois. En tout, on aura alors 1 + (9 × 3), ou 28 carrés.
Note : On remarque que les calculs effectués sont similaires. Cependant, les différentes façons de voir l’organisation des carrés dans la figure et l’expression de cette organisation ont généré des règles de correspondance différentes, mais équivalentes.
- Est-ce que votre méthode rapide de compter (votre règle de correspondance) peut être utilisée pour déterminer le nombre de carrés qu’il y aura dans la figure au 25e rang?
Les élèves qui expliquent en mots la façon de déterminer la valeur d’une figure à un rang éloigné (par exemple, la figure au 10e rang ou au 25e rang) en relation avec le rang d’une figure, utilisent leur règle de correspondance pour interpréter la relation.
Les élèves peuvent souvent avoir de la difficulté à identifier les quantités en jeu. Il importe alors de leur poser des questions telles que celles présentées ci-dessous afin de les amener à exprimer leur règle de correspondance plus clairement.
- Comment pouvez-vous déterminer le nombre de carrés qui composent une figure à n’importe quel rang?
Élève 1 : Pour déterminer le nombre de carrés qui composent une figure à n’importe quel rang, j’additionne un nombre trois fois, puis j’ajoute un.
- Quel est ce nombre? Comment peux-tu l’identifier ou le nommer?
C’est toujours le rang de la figure précédente.
- Peux-tu alors exprimer ta règle de correspondance pour déterminer le nombre de carrés qui composent une figure à n’importe quel rang avec plus de précision?
Pour déterminer le nombre de carrés qui composent une figure à n’importe quel rang, j’additionne le rang de la figure précédente trois fois, puis j’ajoute un.
Élève 2 : Pour déterminer la valeur de n’importe quel terme, je multiplie par trois et j’ajoute un.
- Qu’est-ce que tu multiplies par trois? Qu’est-ce que tu détermines?
Je multiplie le rang de la figure précédente par trois et j’ajoute un. Cela me donne le nombre de carrés qui composent la figure au rang en question.
Élève 3 : Dans la figure, à chaque rang, il y a toujours trois branches. Une branche qui a le même nombre de carrés que le rang de la figure et deux autres qui ont un carré de moins que le rang de la figure. Pour déterminer le nombre de carrés, j’additionne ces trois nombres.
Image Figure composée de dix carrés. 9 carrés forment la partie horizontale, et 4 carrés sont sur
le carré du milieu et font de façon verticale, cela fait un groupe de 5 carrés. Les carrés restants sont en groupe
de 4.
- Peux-tu m’expliquer cette règle de correspondance de façon plus concise?
Pour déterminer le nombre de carrés qui composent une figure à un rang quelconque, j’additionne trois valeurs, soit le rang de la figure et deux fois le rang précédent.
Élève 4 : Je fais trois fois un nombre pour déterminer le nombre de carrés sur les trois branches et j’ajoute un pour celui qui est au centre. En fait, je multiplie le rang de la figure précédente par trois et j’ajoute un.
Image Figure composée de dix carrés. 9 carrés forment la partie horizontale, et 4 carrés sont sur
le carré du milieu. Ce carré est le carré « un ». Des pointillés font un arc de cercle de 3 sur chaque rangée de
carrés.
Inviter ensuite les élèves à vérifier la validité de leur règle de correspondance. Pour valider les règles de correspondance, on utilise la table de valeurs.
L’exemple précédent comporte une certaine marche à suivre qui peut être résumée comme suit : demander aux élèves de prolonger la suite de figures, d’analyser la règle de régularité, de la décrire, de créer une table de valeurs, puis de formuler une règle de correspondance en mots. Cette marche à suivre permet d’explorer toutes sortes de relations, même certaines qui, au premier abord, peuvent sembler être hors de la portée des élèves.
Exemple
Voici une suite de figures. On étudiera la relation entre le rang de la figure et le nombre de carrés qui le composent.
À première vue, cette situation peut sembler très complexe, puisque la suite correspondant au nombre de carrés qui composent la figure à chaque rang (2, 6, 12, 20, …) ne présente pas une simple règle de régularité d’addition. Avant de mettre une telle situation de côté, il importe de l’examiner de plus près. Il faut d’abord prolonger la suite de figures, puis analyser la règle de régularité et enfin construire une table de valeurs.
Prolongement de la suite de figures
Analyse de la règle de régularité
En examinant les figures, on constate qu’il y a une régularité, car une colonne et une rangée sont toujours ajoutées.
Le nombre de carrés augmente de 4, de 6, de 8, et ainsi de suite. On peut observer ces quantités dans la suite non numérique.
Pour passer de la figure au 1er rang à la figure au 2e rang, quatre carrés sont ajoutés, soit une rangée de deux carrés et une colonne de deux carrés.
Pour passer de la figure au 2e rang à la figure au 3e rang, six carrés sont ajoutés, soit une rangée de trois carrés et une colonne de trois carrés.
Pour passer de la figure au 3e rang à la figure au 4e rang, huit carrés sont ajoutés, soit une rangée de quatre carrés et une colonne de quatre carrés.
Construction d’une table de valeurs
La table de valeurs permet de représenter la régularité.
Formulation d’une règle de correspondance en mots
Il est aussi possible d’analyser chacun des termes afin de reconnaître la relation entre le rang de la figure et le nombre de carrés qui la composent. Les élèves, par exemple, peuvent expliquer leur observation comme suit.
- Au 2e rang, il y a 3 colonnes de 2 carrés.
- Au 3e rang, il y a 4 colonnes de 3 carrés.
- Au 4e rang, il y a 5 colonnes de 4 carrés.
- Alors, au 10e rang, il y aura 11 colonnes de 10 carrés.
- Une figure est toujours composée de colonnes de carrés. Le nombre de colonnes correspond à un de plus que le rang de la figure et le nombre de carrés, dans chacune des colonnes, correspond au rang de la figure.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 52-65.
Connaissance : Règle de régularité
Règle qui permet de prolonger une suite en respectant la différence entre les termes (aussi appelé bond constant).
Suite à motif répété
Règle de régularité dans la suite A : répétition du motif rectangle bleu, trapèze jaune, triangle orangé, et ce, toujours dans le même ordre.
Suite croissante
Règle de régularité dans la suite B : un carré est ajouté au rang précédent.
Règle de régularité dans la suite C : un cube est toujours ajouté à la rangée du bas du rang précédent.
Connaissance : Règle de correspondance
Règle qui permet de prolonger une suite en établissant la relation entre le rang et son terme.
Dans la première suite ci-dessous, la règle de correspondance est que le nombre de triangles dans la figure est trois fois plus que son rang. Dans la seconde suite, le triangle vert est constant d’un rang à l’autre et un groupe de deux carrés orangés est toujours ajouté au prochain rang.
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Au 1er rang, il y a 1 triangle vert et 1 groupe de 2 carrés orange. Au 2e rang, il y a 1 triangle vert et 2 groupes de 2 carrés orange. Au 3e rang, il y a 1 triangle vert et 3 groupes de 2 carrés orange. Au 4e rang, il y a 1 triangle vert et 4 groupes de 2 carrés orange. |