C1.1 Reconnaître et décrire des suites à motif répété et des suites croissantes, y compris des suites trouvées dans la vie quotidienne.
Habileté : Reconnaître et décrire des suites à motif répété
La suite à motif répété est la forme de suite la plus simple. Pour la reconnaître, il faut chercher la règle de régularité. Elle se crée lorsque les éléments qui constituent le motif se répètent selon le même ordre. Les élèves doivent apprendre à identifier le début et la fin du motif dans la suite. Dans la photo ci-dessous, par exemple, l’élève qui a créé cette suite montre, en laissant un espace entre les motifs, que la perle orangée indique le début du motif et que la perle rouge en indique la fin. En outre, il est important de demander aux élèves de «lire» la suite en nommant et en touchant chaque élément consécutif du motif pour se rendre compte de la répétition.
Du cycle préparatoire jusqu’à la fin du cycle moyen, les suites que les élèves apprennent à explorer et à créer doivent être de plus en plus complexes. Pour enseigner les suites non numériques à motif répété, il importe de tenir compte des consignes suivantes.
Modifier la structure de la suite : Faire explorer aux élèves des suites plus complexes, en ajoutant plus d’éléments au motif ou plus d’attributs. Les élèves feront alors face à un défi cognitif qui les mènera à un nouvel apprentissage.
Changer le mode de représentation : Présenter aux élèves des suites ayant la même structure, mais construites selon différents modes de représentation. Vérifier si les élèves reconnaissent qu’elles ont la même structure.
Explorer des suites ayant un élément manquant dans le motif : Faire examiner aux élèves une suite pour déterminer l’élément manquant au début, au milieu ou à la fin d’un motif, cela augmente leur compréhension des relations. Plusieurs explorations de ce genre aident les élèves à comprendre la suite comme un tout qui contient plusieurs motifs, plutôt qu’une séquence d’éléments changeants sans aucune relation.
Repérer des fausses pistes : Amener les élèves à reconnaître qu’un attribut peut être une fausse piste dans une suite, cela contribue au développement de leur raisonnement algébrique.
Exemples
Suite A
Dans la suite A, les couleurs utilisées ne sont pas un attribut de la règle de régularité. Les élèves doivent donc éliminer l’attribut couleur et s’en tenir à l’attribut forme (triangle ou cercle).
Suite B
Dans la suite B, les différentes formes et couleurs créent de fausses pistes qui doivent être éliminées afin de découvrir l’attribut, soit la position de la base (figure placée sur un côté plat ou sur un sommet).
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 30-33.
Habileté : Reconnaître et décrire des suites croissantes
Pour reconnaître une suite croissante, il faut chercher la relation entre chaque terme (règle de régularité) ou entre le rang de chaque terme et le nombre d’éléments dans le terme ou la figure (règle de correspondance). Le nombre d’éléments qui composent un terme augmente d’un rang à l’autre.
Source : En avant, les maths!, 3e année, CM, Algèbre, p. 3.
Une relation peut être représentée par une situation exprimée à l’aide d’une suite de figures concrètes ou semi-concrètes ou à l’aide de mots. L’étude des relations devrait d’abord passer par des situations exprimées à l’aide de suites non numériques parce que ces situations ont une dimension visuelle et kinesthésique qui rend les relations qu’elles représentent moins abstraites.
Exemple d’une suite croissante
Image Suite non numérique à motifs croissants étoiles. Rang un : 3 étoiles Rang 2 : 5 étoiles.
Rang 3 :7 étoiles.
Les suites non numériques à motif croissant ont les caractéristiques suivantes.
- Les éléments qui composent chaque figure de la suite sont disposés selon un ordre et une règle. Dans la suite ci-dessus, par exemple, d’un rang à l’autre, un soleil est ajouté au bout de chaque branche.
- Le motif est repérable dans chaque figure, de manière que chaque figure provient de la croissance de la figure au rang précédent. Dans la suite ci-dessus, par exemple, le motif de base est formé de trois soleils placés en forme de V.
Note : Utiliser de la couleur peut aider à faire ressortir le motif de base.
Image Suite non numérique à motifs croissants étoiles avec couleur de base soulignée. Rang un : 3
étoiles jaunes. Rang 2 : 5 étoiles, trois jaunes et 2 blanches. Rang 3 : 7 étoiles, 3 jaunes et 4 blanches.
- Le nombre d’éléments qui composent chaque figure et leur position sont prévisibles. Dans la suite ci-dessus, par exemple, on peut prévoir que la figure au 5e rang sera composée du motif de base, soit trois soleils placés en forme de V, et de quatre soleils de plus sur chaque branche. Elle sera donc composée de 11 soleils en tout.
Une bonne connaissance des caractéristiques d’une suite non numérique croissante aide les élèves à reconnaître ce type de suite. Les élèves peuvent en effet reconnaître, par exemple, que la suite ci-dessous n’est pas une suite non numérique croissante, même si chaque figure est composée de la même quantité de soleils que dans la suite précédente, soit 3, 5, 7, …, car ceux-ci ne sont pas disposés selon un ordre et une règle qui permettent de prévoir la position des soleils qui composeront la prochaine figure.
Image Suite non
numérique à motif croissant, étoile avec couleur de base soulignée. « Rang un » contient 3 étoiles jaunes, « Rang 2 »,
contient 5 étoiles, donc trois jaunes et 2 neutres, et « Rang 3 » contient 7 étoiles, donc 3 jaunes.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 42-43.
Certaines règles peuvent servir à renforcer le sens du nombre chez les élèves, tout en développant leur pensée algébrique. Il est préférable d’utiliser des situations contextuelles, car elles sont moins abstraites. Les situations peuvent présenter une variété de règles. Voici deux exemples.
Note : Les situations où l’on s’intéresse d’abord à l’analyse des règles peuvent être utilisées dans un contexte de résolution de problèmes ou comme un prolongement à l’apprentissage. Il est important de choisir des situations d’apprentissage qui ne sont pas nécessairement orientées vers la recherche d’une règle en symboles, mais vers l’application informelle de celle-ci en mots.
Exemple 1
Dominique fait des économies pour acheter un jeu vidéo dont le prix est de 74 $ (taxes comprises). Or, dans son portefeuille, il n’a que 35 $. Chaque semaine, ses parents lui donnent 5 $ qu’il conserve précieusement dans son portefeuille.
| Nombre de semaines | 1 | 2 | 3 | … | … | … |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de dollars dans le portefeuille | 40 | 45 | 50 | … | … | … |
Décris la suite croissante.
Règle de régularité (addition)
On peut représenter la relation entre le nombre de dollars dans le portefeuille de Dominique d’une semaine à l’autre par une table de valeurs. Chaque terme augmente d’une valeur de 5. La règle de régularité est de +5.
Image
Tableau de valeurs représentant le nombre de semaines et le nombre de dollars dans le portefeuille. Semaine un : 40
dollars. Semaine 2 : 45 dollars. Semaine 3 : 50. Semaine 4 : 55 dollars. Semaine 5 : 60 dollars. Des feuilles
représentent les bonds de plus 5 d’une case à l’autre pour les nombres de dollars.
Règle de correspondance
On peut représenter la relation entre le nombre de semaines qui passent et le nombre de dollars dans le portefeuille à l’aide de mots.
La 1re semaine, Dominique a 35 $ et 1 billet de 5 $ dans son portefeuille, ce qui lui donne 40 $.
La 2e semaine, Dominique a 35 $ et 2 billets de 5 $ dans son portefeuille, ce qui lui donne 45 $.
La 3e semaine, Dominique a 35 $ et 3 billets de 5 $ dans son portefeuille, ce qui lui donne 50 $.
La 4e semaine, Dominique a 35 $ et 4 billets de 5 $ dans son portefeuille, ce qui lui donne 55 $.
La 5e semaine, Dominique a 35 $ et 5 billets de 5 $ dans son portefeuille, ce qui lui donne 60 $.
Exemple 2
Émilie garde régulièrement des enfants. Un couple lui demande de garder leur enfant 6 heures par jour pendant 10 jours et lui offre de la payer selon la table de valeurs suivante.
| Numéro du jour | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
|---|---|---|---|---|---|
| Salaire pour la journée ($) | 1 | 2 | 4 | 8 | … |
Décris la suite croissante.
Règle de régularité (multiplication)
J’ai remarqué que le salaire double chaque jour. La règle de régularité est donc ×2.
Image Table
des valeurs qui représente le numéro du jour et le salaire pour la journée en dollars. Jour un : un dollar. Jour 2 : 2
dollars. Jour 3 : 4 dollars. Jour 4 : 8 dollars. Jour 5 : 16 dollars. Jour 6 : 32 dollars. Jour 7 : 64 dollars. Jour
7 : 64 dollars. Jour 8 : 128 dollars. Jour 9 : 256 dollars. Jour dix : 512 dollars. Des flèches représentent les bonds
de multiplier par 2 d’une case à l’autre du salaire pour la journée.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 35-37.
Connaissance : Suite non numérique
Ensemble de figures ou d’objets disposés selon un ordre et une règle.
Suite à motif répété
Ensemble de figures ou d’objets disposés selon un ordre et une règle, dans lequel on retrouve un motif répété.
Suite A
Suite croissante
Ensemble de figures ou d’objets disposés selon un ordre et une règle, dans lequel on distingue un motif de base qui croît d’un rang à l’autre.
Exemples
Le premier exemple représente une suite croissante. Le motif de base est un carré auquel un carré est ajouté à
chaque rang subséquent.
Le deuxième exemple représente un coquillage en spirale, dont le premier rang (motif de base) est la première spirale au centre du coquillage. Les termes aux autres rangs s’obtiennent selon une certaine régularité (souvent associé à la suite de Fibonacci et au nombre d’or). La suite que forment les différentes spirales est croissante, car la grosseur des spirales augmente selon une régularité.
Le troisième exemple représente une pyramide, dont le terme au premier rang est un prisme rectangulaire au sommet, auquel lui sont ajoutées des pierres dont l’aire de la base croît selon une certaine régularité.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Connaissance : Suite numérique
Suite numérique croissante
Une suite dans laquelle les termes sont des nombres qui croient. La règle de régularité d’une suite croissante est une addition ou une multiplication d’un nombre.
Exemples
- 4, 6, 8, 10, … (La règle de régularité est +2. Il est possible de déduire le terme au prochain rang de la suite en additionnant 2; par exemple, 10 + 2 = 12.)
- 1, 3, 5, 7, 9, 11, … (La règle de régularité est +2. Il est possible de déduire que le terme au prochain rang sera 13, soit 11 + 2 = 13.)
- 3, 9, 27, 81, … (La règle de régularité est ×3. Il est possible de déduire que le terme au prochain rang sera 243, soit 81 × 3 = 243.)
Suite numérique décroissante
Une suite dans laquelle les termes sont des nombres qui décroissent (diminuent). Les termes d’une suite décroissante s’obtiennent de régularités liées à la soustraction ou à la division.
Exemples
- 14, 11, 8, … (Soustraire trois afin d’obtenir le terme au prochain rang.)
- 144, 72, 36, … (Diviser par deux afin d’obtenir le terme au prochain rang.)
Connaissance : Motif
La plus petite partie d’une suite non numérique à partir de laquelle est créée la règle.
Suite à motif répété
Suite A
Le motif est :
Suite croissante
Suite B
Le motif est :
En examinant les figures de la suite, on peut reconnaître qu’elles sont construites en relation avec le motif, puisqu’on peut le repérer à l’intérieur de chacune d’elles.
Connaissance : Attribut
Caractéristique qui décrit un objet que l’on observe ou que l’on manipule. Les attributs peuvent comprendre la couleur, la forme, la texture, l’épaisseur, l’orientation, les matériaux, les mouvements, les sons, les objets ou les lettres. Les attributs qui décrivent la suite A ci-dessous sont la forme et la couleur.
Suite A
Connaissance : Terme
Chaque figure, objet ou mouvement qui compose une suite non numérique ou chaque nombre qui compose une suite numérique.
Suite à motif répété
Dans la suite A ci-dessous, chacune des figures planes est un terme.
Suite A
Suite non numérique croissante
Dans la suite B ci-dessous, chacune des figures est un terme.
Suite B
Suite non numérique décroissante
Dans la suite C ci-dessous, chacune des figures est un terme.
Suite C
Suite numérique croissante
2, 4, 6, 8, …
4, 10, 16, 22, 28, …
Connaissance : Règle de régularité
Règle qui permet de prolonger une suite en respectant la différence entre les termes (aussi appelé bond constant).
Suite à motif répété
Suite A
La règle de régularité dans la suite A est la répétition du motif rectangle bleu, trapèze vert, triangle orangé, et ce, toujours dans le même ordre.
Suite croissante
La règle de régularité dans la suite B est l’ajout d’un carré au rang précédent.
Suite B
La règle de régularité dans la suite C est toujours l’ajout d’un cube à la rangée du bas du rang précédent.
Suite C
Connaissance : Règle de correspondance
Règle qui permet de prolonger une suite en établissant la relation entre le rang et son terme.
Dans la première suite ci-dessous, la règle de correspondance est que le nombre de triangles dans la figure est trois fois plus que son rang. Dans la deuxième suite, le triangle vert est constant d’un rang à l’autre et le nombre de groupes de deux carrés orangés correspond au rang.
Image Tableau de valeur représentant le rang de la figure « R » et le nombre de triangles « t ». Rang 1, 3 triangles Rang 2, 6 triangles Rang 3, 9 triangles Rang 4, 12 triangles. Une flèche pointe vers la droite elle représente le bond multiplier par 3.
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Au 1er rang, il y a 1 triangle vert et 1 groupe de 2 carrés orange. Au 2e rang, il y a 1 triangle vert et 2 groupes de 2 carrés orange. Au 3e rang, il y a 1 triangle vert et 3 groupes de 2 carrés orange. Au 4e rang, il y a 1 triangle vert et 4 groupes de 2 carrés orange. |
Connaissance : Structure
Représentation à l’aide de lettres de la règle de régularité d’une suite à motif répété.
Dans la suite A ci-dessous, chaque élément du motif peut être identifié par une lettre, comme suit : rectangle bleu (A), trapèze vert (B), triangle orangé (C). La structure de la suite A est donc ABC.
Suite A
Connaissance : Rang
Position qu’occupe chaque terme dans une suite. Le rang est indiqué par un nombre. Il est utilisé pour aider à décrire les relations dans une suite et à prédire les prochains termes dans la suite sans avoir à la prolonger.
Suite à motif répété
Dans la suite A ci-dessous, il y a un rectangle bleu au 1er, au 4e et au 7e rang, un trapèze vert au 2e, au 5e et au 8e rang, etc.
Suite A
Suite croissante
Dans les suites B et C, chaque figure occupe un rang : la figure 1 occupe le premier rang, la figure 2 occupe le deuxième rang, etc.
Suite B
Suite C