C1. Suites et relations
Reconnaître, décrire, prolonger et créer une variété de suites, y compris des suites trouvées dans la vie quotidienne, et faire des prédictions à leur sujet.
Situation d’apprentissage : je grandis!
Durée totale : 90 minutes
Sommaire
Dans cette situation d’apprentissage, les élèves illustrent la croissance d’un arbre pendant cinq ans en créant une suite non numérique à motif croissant, construisent une table de valeurs qui représente les données et font des prédictions.
| Attente | Contenus d'apprentissage |
|---|---|
| C1. Suites et relations Reconnaître, décrire, prolonger et créer une variété de suites, y compris des suites trouvées dans la vie quotidienne, et faire des prédictions à leur sujet. |
C1.1 Reconnaître et décrire les éléments et les opérations qui se répètent dans diverses suites (numériques et non numériques), y compris des suites trouvées dans la vie quotidienne. C1.2 Créer des suites qui comprennent des éléments, des mouvements ou des opérations qui se répètent, à l’aide d’une variété de représentations, y compris des formes géométriques, des nombres et des tables de valeurs, et établir des liens entre les différentes représentations. C1.3 Déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions, et trouver des termes manquants dans des suites qui ont des éléments, des mouvements ou des opérations qui se répètent. |
Intention pédagogique
Cette situation d’apprentissage a pour but d’amener les élèves :
- à construire une table de valeurs pour comprendre le sens des nombres qu’elles et ils y insèrent;
- à établir des relations entre les rangs de la suite non numérique et les nombres dans la table;
- à développer, à utiliser ou à appliquer des stratégies de résolution de problèmes.
| Contexte pédagogique | Préalables |
|---|---|
| Au cycle primaire, les élèves explorent les motifs dans des suites non numériques et numériques et les
expliquent à l’aide de mots et de symboles. Elles et ils doivent pouvoir décrire et prolonger une suite à
motif croissant, analyser sa structure, organiser l’information et tirer des conclusions sur les relations qui
existent au sein de la suite. Les élèves découvrent la façon de construire une table de valeurs et d’expliquer
la règle à l’aide d’un vocabulaire approprié. Ces concepts sont fondamentaux pour pouvoir décrire les règles
au moyen d’expressions algébriques au cycle moyen.
Dans cette situation d’apprentissage, les élèves créent une suite non numérique à motif croissant. Elle les amène à découvrir la relation numérique qui sous-tend la suite à l’aide d’une table de valeurs. Des élèves utiliseront la représentation concrète, d’autres la représentation numérique pour déterminer les relations. Cependant, il est important qu’elles et ils découvrent et comprennent que les deux représentations ont la même règle. L’habileté à utiliser diverses représentations d’une relation est une composante essentielle de la pensée algébrique. |
Pour être en mesure de réaliser cette situation d’apprentissage, les élèves doivent être capables :
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Matériel
- quantité suffisante de mosaïques géométriques pour tout le groupe-classe
- grandes feuilles de papier (une ou deux par équipe de deux)
- crayons-feutres
- livre Les deux arbres
Vocabulaire mathématique
suite, motif, motif répété, motif croissant, élément, régularité, règle, attribut, semblable, différent, table de valeurs, rangée, colonne, nom des mosaïques géométriques (par exemple, trapèze, losange)
Avant l’apprentissage (mise en train)
Durée approximative : 30 minutes
Lire le conte Les deux arbres d’Élisabeth Brami. Il raconte l’histoire de deux arbres qui, séparés par la construction d’un mur, ne pourront se retrouver que quelques années plus tard, lorsque le petit arbre aura grandi. Discuter de l’histoire de l’arbre qui grandit et de la croissance des arbres en général.
Former des équipes de deux. Mettre à leur disposition des mosaïques géométriques et leur demander de créer un arbre en utilisant de deux à cinq mosaïques géométriques.
Circuler et observer. Une fois les arbres construits, dire aux élèves de circuler d’une équipe à l’autre pour observer la diversité des représentations (par exemple, quantité, forme, disposition des mosaïques géométriques choisies).
Exemples
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Poser aux élèves les questions suivantes :
- Comment un arbre grandit-il dans la nature? (Mettre l’accent sur le développement des différentes parties de l’arbre.)
- Qu’est-ce qui permet de voir qu’un arbre grandit?
- De quelle façon peut-on s’y prendre pour montrer que notre arbre grandit?
Pendant l’apprentissage (exploration)
Durée approximative : 30 minutes
Former des équipes de deux et présenter la situation-problème ci-dessous ainsi que les critères. Mettre à leur disposition une quantité suffisante de mosaïques géométriques.
Situation-problème
Montrer la croissance d’un arbre d’un an jusqu’à six ans.
Critères
- L’arbre doit être construit à l’aide de mosaïques géométriques.
- La croissance doit être montrée en créant une suite à motif croissant.
- La croissance doit être régulière d’année en année.
Demander aux élèves de résoudre le problème.
Exemples
Suite croissante simple : ajout d’un rectangle pour allonger le tronc chaque année
Suite croissante plus complexe : ajout de deux triangles pour le feuillage et d’un rectangle pour le tronc chaque année
Poser aux élèves les questions suivantes :
- Quelles mosaïques géométriques as-tu utilisées pour créer ton arbre d’un an?
- Quelles mosaïques géométriques ajoutes-tu chaque année pour montrer sa croissance?
- Combien de mosaïques géométriques de chaque forme (selon le cas) ajoutes-tu chaque année?
- Combien de mosaïques géométriques en tout ajoutes-tu chaque année?
S’assurer que chaque élève peut établir le lien entre l’âge de l’arbre et l’ajout de mosaïques géométriques et expliquer sa croissance.
Demander aux élèves de circuler dans la salle de classe et d’observer les différentes représentations de la croissance d’un arbre d’un an à six ans. Leur demander également de déterminer les mosaïques géométriques qui ont été ajoutées pour représenter sa croissance d’année en année.
Sélectionner des suites pour la discussion lors de l’échange mathématique. Choisir des suites de plus en plus complexes pour aider les élèves à comprendre la règle de régularité (c’est-à-dire à établir le nombre de mosaïques géométriques ajoutées d’une année à l’autre). S’assurer de choisir certaines suites ayant l’information nécessaire pour construire une table de valeurs.
| Observations possibles | Interventions possibles |
|---|---|
| Même après le questionnement, certaines équipes n’ont pas réussi à représenter la croissance de l’arbre pendant six ans. | Leur dire de poursuivre après l’échange mathématique ou de passer à la prochaine étape sans terminer la
représentation concrète. Note : Lors de l’échange, ces élèves auront l’occasion de discuter et d’observer la règle des différentes suites et de poursuivre leur représentation semi-concrète. |
| Certaines équipes créent une suite trop complexe pour représenter l’arbre d’année en année. | Leur demander d’expliquer leur suite. Si les élèves ne le peuvent pas, leur dire de la simplifier. |
| Certaines équipes n’ont pas respecté le critère de croissance régulière. | Compter avec elles et eux le nombre de mosaïques géométriques pour l’arbre d’un an ainsi que pour l’arbre de
deux ans. Leur demander de dire le nombre de mosaïques qui ont été ajoutées à l’arbre de deux ans. Expliquer qu’il faut ajouter cette même quantité à l’arbre d’année en année en vue de respecter le critère de croissance régulière. |
Certaines équipes représentent les ajouts sur le même arbre plutôt que de le construire chaque année.
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Leur demander la façon dont elles et ils vont voir les ajouts qui ont eu lieu chaque année. Dire : « Où est
l’arbre d’un an, de deux ans, de trois ans, etc.? » Leur demander aussi de regarder la croissance des arbres d’une autre équipe et montrer que, de cette façon, les ajouts sont plus faciles à déterminer. |
Des élèves font croître les arbres en partant de la droite vers la gauche.
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Expliquer aux élèves que la lecture d’une phrase se fait de gauche à droite. De cette façon, tout le monde comprend la même chose. Pour lire une suite, il faut faire comme en lecture. |
Demander aux élèves de représenter leur suite sur une feuille de papier en vue d’en discuter pendant l’échange mathématique et d’indiquer par des nombres la façon dont leur arbre grandit. Plusieurs représentations sont possibles. Quelques élèves traceront les formes, d’autres les dessineront; l’important est de respecter la régularité de la suite.
Exemples
Pour montrer la façon dont l’arbre grandit, des élèves n’indiquent que l’âge de l’arbre.
D’autres élèves indiquent l’âge de l’arbre ainsi que le nombre de mosaïques géométriques utilisées chaque année.
D’autres élèves indiquent la quantité de chaque forme de mosaïques géométriques pour chaque arbre, le nombre total de mosaïques par année ainsi que l’âge de chaque arbre.
Si aucun élève n’indique le nombre total de mosaïques géométriques nécessaires pour montrer la croissance de l’arbre chaque année, attendre l’échange mathématique pour leur poser des questions et le leur faire écrire.
Après l’apprentissage (objectivation/échange mathématique)
Durée approximative : 30 minutes
Échange mathématique 1
Afficher les suites choisies. Amener les élèves à réaliser que l’arbre croît de façon régulière d’année en année, que cette croissance est représentée par l’ajout d’un même nombre de mosaïques géométriques, ce qui crée une suite à motif croissant.
Pour ce faire, poser des questions telles que :
- De combien de mosaïques géométriques différentes l’arbre d’un an est-il constitué?
- Quelles mosaïques géométriques sont ajoutées à l’arbre chaque année?
- Combien de mosaïques géométriques de chaque forme sont ajoutées à l’arbre d’année en année?
- Combien de mosaïques géométriques en tout sont ajoutées chaque année?
- Quelle suite numérique est créée par l’ajout de mosaïques géométriques chaque année?
- Quelle est la règle de cette suite à motif croissant?
- Pourquoi est-ce une suite à motif croissant?
- Peux-tu prédire le nombre de mosaïques géométriques nécessaires pour construire l’arbre à 8 ans? à 10 ans? Comment le sais-tu?
Échange mathématique 2
Préciser que l’observation d’une représentation semi-concrète de leur suite va mener à la construction d’une table de valeurs, qui est une représentation numérique de leur suite. Il faut donc amener les élèves à voir l’importance :
- de la règle de régularité de la suite (par exemple, + 2, soit l’ajout de deux mosaïques géométriques chaque année);
- de l’âge de l’arbre (par exemple, à un an, l’arbre est construit avec quatre mosaïques géométriques; à deux ans, avec six mosaïques géométriques; etc.).
Pour ce faire, poser des questions aux élèves ayant indiqué clairement ce que les nombres représentent sur leurs dessins (le nombre de mosaïques géométriques ou l’âge de l’arbre). Par exemple :
- Comment peut-on savoir l’âge de chaque arbre?
- Comment pourrait-on l’indiquer?
- Est-ce que cela vous aiderait à mieux comprendre si l’on ajoutait l’âge de l’arbre? Pourquoi?
- Comment peut-on savoir le nombre total de mosaïques géométriques utilisées chaque année?
- Comment peut-on l’indiquer?
Souligner l’importance d’indiquer ce que les nombres représentent pour clarifier leur signification. Amorcer une discussion en demandant aux élèves : « Si je n’avais pas les dessins, comment pourrais-je indiquer ce que les nombres représentent? »
Dessiner une table de valeurs au tableau. Donner un titre aux colonnes ou aux rangées (selon la disposition de la table de valeurs). Séparer par un trait chaque arbre dessiné pour montrer la correspondance entre les nombres sur le dessin et ceux dans la table de valeurs.
Faire remarquer, dans la table de valeurs, les titres des rangées ou des colonnes, la correspondance des nombres avec les titres et leur insertion dans les cases.
Inviter des élèves à venir remplir la table de valeurs.
Une fois l’activité terminée, demander aux élèves de dire si le dessin et la table de valeurs représentent la même information et de justifier leur réponse. Leur expliquer que la table de valeurs permet de déterminer le nombre de mosaïques géométriques représentant l’arbre à différents âges sans avoir à le dessiner. Le leur montrer en prolongeant la suite numérique indiquant la croissance de l’arbre jusqu’à huit ans.
Inviter les équipes à ajouter l’information qui manque à leur dessin et à représenter la croissance de leur arbre à l’aide d’une table de valeurs.
Poser des questions aux élèves pour les amener à ajouter les éléments manquants. Respecter leur démarche (par exemple, organisation et disposition de la table de valeurs).
Prolongement 1 : comparons nos travaux!
Cette activité permet aux élèves de comparer des tables de valeurs et de consolider leur compréhension de cette représentation.
Inviter chaque équipe à afficher son travail. Demander aux élèves d’observer les différentes suites numériques correspondant au nombre de mosaïques géométriques utilisées chaque année.
Poser des questions telles que :
- Certaines suites se ressemblent-elles?
- Qu’est-ce qui est pareil? Qu’est-ce qui est différent?
- Pourquoi certaines suites ont-elles des dessins différents, mais des tables de valeurs qui sont pareilles?
Il est important que les élèves comparent les tables de valeurs et les règles qui s’en dégagent. Repérer et comparer des règles de différentes suites permettent aux élèves de généraliser. Même si les nombres dans certaines suites sont différents, il est possible que les suites aient la même règle.
Sur les photos ci-dessous, chaque suite a une règle de régularité de +1.
Prolongement 2 : activité d’association
Cette activité permet aux élèves de comparer différentes suites et d’explorer les ressemblances et les différences. Pour développer le raisonnement algébrique, il est très important que les élèves justifient les liens qu’elles et ils observent.
Former des équipes de deux. Leur demander d’illustrer une suite numérique croissante de leur choix sur une bande de papier. Ensuite, leur remettre une deuxième bande de papier et leur demander de construire la table de valeurs qui représente la suite. Ramasser toutes les bandes de papier.
Regrouper trois équipes. Remettre à chaque groupe trois bandes de papier illustrant des suites non numériques (suites illustrées par d’autres équipes) et les tables de valeurs correspondantes. Leur demander d’associer la table de valeurs à la suite correspondante et de justifier leurs réponses.
Différenciation pédagogique
La situation d’apprentissage peut être modifiée pour répondre aux différents besoins des enfants.
| Pour faciliter la tâche | Pour enrichir la tâche |
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Demander aux élèves :
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Demander aux élèves :
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Suivi à la maison
Les élèves peuvent apporter leur travail (dessin des six arbres et table de valeurs) à la maison et poursuivre l’enquête sur la croissance des arbres.
Suggestion de démarche :
- choisir un meuble (table, chaise, etc.) pour représenter le mur qui sépare les deux arbres dans le conte Les deux arbres;
- placer l’arbre de six ans sur un côté du « mur »;
- déterminer le nombre d’années de croissance nécessaires pour que l’arbre dépasse le « mur »;
- prolonger la table de valeurs de façon à se rendre au nombre d’années déterminé.
- De retour en classe, les élèves présentent et expliquent, à l’aide du vocabulaire approprié, leur table de valeurs prolongée.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 133-144.