C2.1 Décrire de quelles façons les variables sont utilisées et les utiliser de manière appropriée dans une variété de contextes.
Habileté : utiliser les variables de manière appropriée et les décrire
Symboles dans la vie courante
Très jeunes, les enfants évoluent dans un monde où les signes omniprésents communiquent, par leur nature, un message clair ou définissent une fonction précise.
Exemples
- les feux de signalisation dictent un comportement (le rouge, un arrêt ou une interdiction d’avancer; le vert, l’autorisation d’avancer);
- les personnages sur les portes des salles de toilettes désignent au garçon ou à la fille la porte à choisir;
- à la garderie, plusieurs symboles indiquent l’endroit où ranger les jouets, les vêtements, etc.;
- une chanson ou une comptine annonce une activité précise (par exemple, le temps de la collation, du repos, du rangement);
- les signes de sécurité du SIMDUT, souvent présentés par les parents, sensibilisent les enfants à la toxicité des produits de nettoyage;
- les panneaux routiers, les logos et les enseignes commerciales deviennent rapidement significatifs pour les enfants.
Ces symboles, sans être systématiquement enseignés, mémorisés ou récités, s’acquièrent par l’expérience. Les enfants les connaissent rapidement bien que leur nature soit arbitraire. Ainsi, chaque symbole utilisé dans un contexte donné est associé à un sens précis et cette association ne sera plus contestée. Par contre, ils peuvent donner lieu à d’autres interprétations s’ils sont utilisés dans de nouveaux contextes.
Symboles en mathématiques
Les symboles mathématiques représentent des concepts fondamentaux sur lesquels s’appuie l’apprentissage des mathématiques et de l’algèbre. Plusieurs d’entre eux, que les adultes connaissent depuis longtemps, sont souvent présentés aux élèves de manière prématurée, dans des situations hors contexte ou sans explication au préalable. Il est donc essentiel, pour les expliquer clairement et précisément, de créer des situations dans lesquelles les élèves auront le loisir et le temps de se familiariser avec les symboles et de s’approprier leur sens.
| Symboles mathématiques | Exemples |
|---|---|
| Les symboles désignant des quantités Les chiffres (symboles numériques ou graphiques indo-arabes) |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
| Les symboles représentant des opérations fondamentales Les signes qui désignent les quatre opérations en numération |
– + × ÷ |
| Les symboles établissant des relations Le signe qui indique une égalité Les signes qui indiquent une inégalité |
= ≠ > < |
Sens du symbole en algèbre
« À mesure qu’elles et ils vivent des expériences variées et significatives, les élèves acquièrent le sens du symbole. Le sens du symbole est un niveau de compréhension mathématique qui englobe le sens du nombre. » (Picciotto et Wah, 1993, p. 42, traduction libre)
Luis Radford (2001) considère l’apprentissage de l’algèbre comme une appropriation d’une nouvelle manière mathématique de penser et d’agir où s’insèrent la production et l’utilisation de symboles. Ces symboles sont porteurs de sens pour les élèves dans la mesure où elles et ils les explorent dans des activités mathématiques contextualisées.
Un des éléments clés du raisonnement algébrique repose sur la capacité à reconnaître et à explorer les relations qui lient diverses quantités. Ces relations sont représentées par divers symboles que les élèves doivent apprendre à utiliser de façon appropriée.
Au cycle primaire, un tiret, une figure géométrique ou tout autre symbole dans une équation représente, pour les élèves, une quantité inconnue. Par exemple, dans l’équation 3 + Δ = 5, le triangle est un symbole qui représente la quantité 2. L’utilisation adéquate d’une case ou d’un tiret est une première étape vers le symbolisme plus formel de l’algèbre.
Les élèves qui en auront une compréhension juste sauront, au cycle moyen, interpréter ou manipuler plus efficacement les symboles littéraux utilisés couramment en algèbre pour représenter la variable. Le sens du symbole joue un rôle important dans le développement de la pensée algébrique. La compréhension des symboles découle de la maturité des élèves et de la diversité des expériences vécues.
Voici quelques points à considérer pour aider les élèves à développer le sens du symbole :
- Présenter les symboles dans des contextes stimulants et réalistes pour que les élèves en saisissent le sens et, ultimement, comprennent les concepts qu’ils sous-tendent.
- Inciter les élèves à déterminer les éléments à représenter dans une situation-problème, à choisir un mode de représentation adéquat et à utiliser des symboles personnels.
Sur la photo ci-dessus, les élèves utilisent la première lettre du nom de chaque animal pour formuler la phrase mathématique; par exemple, C représente le crapaud, G représente la grenouille et R représente la rainette.
- Encourager les élèves à déterminer le moment où elles et ils doivent utiliser des symboles et la manière de les utiliser (par exemple, représenter une quantité manquante dans une équation par un carré).
- Proposer des activités qui amènent les élèves à créer des liens entre divers modes de représentation, à discuter de ces liens et à les justifier à l’aide d’arguments mathématiques.
Pour développer le sens du symbole, les élèves doivent :
- décrire des relations à l’aide de divers modes de représentation avant de les explorer symboliquement;
- établir des liens entre les représentations.
L’utilisation efficace de différents modes de représentation s’inscrit comme un cheminement progressif intégré au domaine Nombres. Son but dépasse de loin le simple recours mécanique aux symboles et aux « trucs » de mémorisation en algèbre. Il consiste plutôt à développer la capacité à percevoir des régularités, à généraliser des relations et à résoudre des problèmes.
Voici un exemple d’une situation-problème authentique illustrant un cheminement progressif vers le développement du sens du symbole.
| Cheminement pour développer le sens du symbole | Exemples |
|---|---|
| Exposer la situation et les données. | Une ou un élève pourrait exposer la situation suivante : « Dans l’autobus, il y a 10 personnes après le 1er arrêt et 15 personnes après le 2e arrêt. Combien de personnes sont montées dans l’autobus au 2e arrêt? sont descendues? » |
| Proposer une conjecture. | « Je crois que le nombre de personnes qui descendent est toujours plus petit que le nombre de personnes qui montent. » |
| Représenter la situation-problème à l’aide de matériel concret ou de dessins. | Les élèves utilisent des cubes pour représenter les personnes.
Les élèves représentent les personnes par des dessins. 
|
| Délaisser graduellement les représentations semi-concrètes et utiliser des symboles personnels pour communiquer sa compréhension de la situation. | Sur la photo, l’élève a choisi les symboles ci-dessous comme étiquettes :
p pour les personnes; d pour les personnes qui descendent de l’autobus; m pour les personnes qui montent dans l’autobus. 
|
| Utiliser des symboles conventionnels pour représenter la situation-problème par une phrase mathématique. | Sur la photo ci-dessous, l’élève donne un sens à la phrase mathématique 10 – 3 + 8 = 15.
La différence entre les huit personnes qui montent et les trois personnes qui descendent est de 5, ce qui correspond à la différence entre le nombre de personnes après le 2e arrêt (15) et le nombre de personnes après le 1er arrêt (10). |
| Généraliser oralement ou à l’aide de symbole. | « La différence entre le nombre de personnes qui montent et le nombre de personnes qui descendent correspondra toujours à la différence entre le nombre de personnes après le 2e arrêt et le nombre de personnes après le 1er arrêt. » |
Pour consolider le sens du symbole, les élèves doivent :
- reconnaître qu’un même symbole utilisé plus d’une fois dans une phrase mathématique représente la même quantité, la même valeur.
Exemple
- recourir aux symboles pour communiquer une généralisation.
Exemple
L’équation représente symboliquement la propriété d’associativité de l’addition.
- explorer les quantités représentées par les symboles en remplaçant ces derniers par différents nombres.
Exemple
Si  représente |
3 x représente |
|---|---|
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
Sens de la variable
En algèbre, l’utilisation des symboles pour représenter des variables exige un certain niveau d’abstraction. D’ailleurs, être en mesure de déterminer la valeur d’une quantité inconnue constitue une étape importante du développement de la pensée algébrique. Les élèves saisiront le sens de l’équation et percevront la relation entre la variable et la quantité qu’elle représente dans la mesure où l’équation est représentative d’une situation-problème significative.
Exemple
Il y a 15 moineaux perchés sur un fil téléphonique. Certains d’entre eux s’envolent lorsqu’une automobile passe. Puis, trois moineaux reviennent se percher sur le fil. Je peux maintenant en dénombrer 10. Combien de moineaux se sont envolés lorsque la voiture est passée?
L’équation ci-dessous est la représentation symbolique de cette situation-problème.
En mathématiques, si la variable représente bien une quantité, une valeur, une entité en soi, il est toutefois important de préciser que la variable est également le nom donné à la valeur qui rend l’équation vraie. Précisons donc que la variable peut être utilisée pour :
- représenter une quantité déterminée;
Exemple
- explorer une situation d’égalité ou d’inégalité;
Exemple
- représenter une propriété mathématique.
Exemple
Les élèves du cycle primaire doivent analyser les variables dans des situations-problèmes et les représenter, graduellement, de façon plus abstraite. Au début, la variable est surtout représentée par des figures géométriques ou des tirets.
Exemples
Elle peut également être représentée dans un tableau.
Exemples
| Si représente |
7 - représente |
|---|---|
| 1 | 6 |
| 2 | 5 |
| 3 | 4 |
La variable peut être représentée par une lettre (un symbole littéral) ayant un lien direct avec la situation-problème afin que la lettre ait un sens pour les élèves.
Exemple
15 – m + 3 = 10, l’inconnue m représente le nombre de moineaux envolés.
Pour développer le sens de la variable, les élèves doivent explorer une variété de situations authentiques qui font appel à des données signifiantes et qui favorisent la transition du concret vers l’abstrait.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année, p. 51-59.
Représenter des situations-problèmes est une composante fondamentale de la pensée algébrique.
Les situations réelles représentées au départ à l’aide de matériel concret ou semi-concret seront graduellement représentées par des symboles.
Afin de construire une base solide pour bien comprendre les concepts en algèbre, il est important de faire cheminer les élèves de façon progressive vers une représentation symbolique plus formelle. L’utilisation de symboles facilite l’atteinte d’un niveau d’abstraction plus élevé, tout particulièrement lorsqu’on veut représenter des nombres dans des situations d’égalité.
Les symboles peuvent être employés pour représenter et décrire, de façon abstraite, la suite créée dans un mode concret ou semi-concret.
Par exemple, les élèves utilisent une représentation semi-concrète pour illustrer une suite de briques placées à la verticale et à l’horizontale.
Exemple
Les élèves réalisent rapidement que c’est très long de dessiner les briques. À la suite de cette constatation, elles et ils décident alors d’utiliser des symboles tels que D (debout) et C (couchée) pour représenter les éléments brique debout et brique couchée dans la suite et décrire sa structure.
En utilisant des symboles significatifs, les élèves approfondissent leur compréhension d’une représentation symbolique. Les symboles deviennent alors un moyen efficace de représenter la situation et la régularité observée.
Exemple
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 17.
Voici d’autres exemples de variables utilisées pour représenter des quantités dans une relation.
- Dans la généralisation des propriétés des opérations :
a + b = b + a (commutativité) - Dans les formules :
Périmètre d’un carré = c + c + c + c
- Dans une table de valeurs :
| Nombre de bicyclettes (b) | Nombre de roues (roues = 2 × b) |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Connaissance : symbole
Les symboles peuvent servir à représenter des quantités qui changent ou des quantités inconnues.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Note : Dans une équation, si le même symbole apparaît plus d’une fois, sa valeur est identique. Par exemple, 
. Deux symboles différents dans un équation peuvent avoir des valeurs variées. Par exemple, 
, les deux symboles peuvent avoir des valeurs de 10 et 10, 19 et 1, etc.
Source : En avant les maths!, 2e année, CM, Algèbre.
Connaissance : variable
Un terme dans une équation (symboles ou lettres) qui peut être remplacé par une ou plusieurs valeurs.
Exemple
Dans l’équation 
ou \(10 = x + y\), les formes ou les lettres sont des variables, car les quantités sont inconnues.
Source : En avant les maths!, 2e année, CM, Algèbre.
Connaissance : constante
Les quantités qui restent les mêmes sont appelées constantes.
Exemple
En observant la suite ci-dessous, on remarque qu’à chaque rang, la constante est le groupe de huit carrés violets. Ce qui change, ce sont les groupes de carrés rouges.
image Une suite à motifs croissants avec des blocs violets et rouges. Premièrement : Huit blocs violets, puis 2 blocs rouges. Deuxièmement : huit blocs violets et les quatre blocs rouges.Troisièmement : huit blocs violets et 6 blocs rouges. Les blocs constants de huit sont encerclés.