C1.3 Déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites, faire et justifier des prédictions, et trouver des termes manquants dans des suites qui ont des éléments, des mouvements ou des opérations qui se répètent.
Habileté : déterminer et utiliser les règles pour prolonger des suites
Analyse du changement
Les élèves vivent dans un monde en changement. Comprendre que le changement fait partie de la vie et que la majorité des choses changent avec le temps (par exemple, chaque année pendant la période de croissance, la taille croît, le poids augmente, les pieds allongent) est une dernière composante du développement de la pensée algébrique. Les changements observés peuvent être décrits de façon qualitative (par exemple, je suis plus grand que l’an dernier, mes cheveux sont plus longs, le seau s’est rempli d’eau rapidement pendant l’orage, il fait plus froid que ce matin) et de façon quantitative (par exemple, j’ai grandi de 2 cm cette année, le seau d’eau s’est rempli de 50 ml en 30 minutes, la température a chuté de 6 °C en trois heures). Les élèves doivent apprendre à observer et à comprendre les changements dans les régularités.
Le changement et les régularités sont deux concepts qui ne peuvent être dissociés dans l’étude des suites. Les élèves réalisent que le changement d’un terme influe sur le terme suivant. Par la suite, l’observation de changements et de relations entre ces changements permet de prédire d’autres termes de la suite et ainsi de généraliser. En observant la suite à motif croissant ci-dessous, les élèves peuvent la prolonger et trouver la règle. Les élèves peuvent décrire la règle en expliquant l’ajout d’une rangée de carrés à la base et d’une colonne à la droite du carré existant.
Suite à motif croissant
En examinant le changement d’un rang à l’autre, les élèves observent une règle qui leur permet de prédire le nombre de carrés unitaires composant la figure au prochain rang. Les élèves peuvent construire une table de valeurs pour organiser les données afin de mieux voir le changement et trouver la règle.
Table de valeurs
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 21-22.
Les relations entre les termes
En utilisant diverses représentations et du matériel varié, les élèves explorent le concept de régularité dans des suites non numériques et numériques, et communiquent dans leurs propres mots ou par des représentations personnelles leurs observations et leurs perceptions des relations entre les termes de la suite.
Au cycle primaire, les élèves apprennent à reconnaître des relations qui existent entre les termes dans une suite. En examinant et en explorant des suites, elles et ils cernent la façon dont cette information peut être utilisée pour déterminer ce qui doit être ajouté à une suite pour la prolonger. En découvrant les relations, les élèves réalisent que les prochains termes dans la suite ne sont pas choisis aléatoirement. La recherche de régularités est, en soi, une importante stratégie de résolution de problèmes.
Les élèves redéfinissent continuellement l’image mentale qu’elles et ils se font des régularités. Leur représentation est souvent limitée par les exemples qu’on leur présente ou par leurs expériences personnelles. Il importe donc que le personnel enseignant présente, lors d’activités, une variété de représentations et de règles pour faciliter l’intégration du concept. L’essentiel est de développer le raisonnement algébrique chez les élèves, en les rendant capables de justifier le prolongement d’une suite non numérique ou numérique et en explicitant les relations qui existent entre les termes de la suite.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 27.
Suites non numériques
Afin de prolonger une suite, les élèves doivent indiquer les éléments du motif et leur ordre. En prolongeant une suite et en justifiant leur choix, les élèves communiquent leur compréhension de ce qu’est la règle. Par exemple, une ou un élève peut dire : « Je vais être le voilier parce que juste avant moi c’est le ballon et la suite c’est toujours voilier, ballon, voilier, ballon… qui se répètent. »
Avec leur corps ou du matériel de manipulation, les élèves peuvent explorer le prolongement d’une suite et faire des changements avec plus de facilité. Les élèves peuvent aussi prolonger une suite construite par d’autres.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 38.
Suites numériques
Très tôt, les enfants prennent conscience des régularités dans leur environnement, dans la nature, dans les objets qui les entourent. C’est pourquoi il est possible de présenter les suites numériques dès la 1re année. Parallèlement, les élèves développent leur sens du nombre, peuvent compter par intervalles et à rebours et, par la suite, s’approprient le concept d’addition en tant que regroupement d’objets. Tous ces concepts ont un lien important avec l’apprentissage des régularités numériques.
Dès que les élèves commencent à explorer le système de numération à base 10, synonyme de système décimal, elles et ils découvrent qu’il y a répétition des chiffres de 0 à 9 lorsqu’elles et ils comptent au-delà de 9 (10, 11, 12, 13, 14, 15…). Voir et justifier cette régularité dans le système décimal améliore la compréhension du sens du nombre et des regroupements (unités, dizaines, centaines, etc.). Par exemple, en comptant par bonds de 2, à partir de 16, les élèves observent une régularité prévisible dans les nombres (16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32…). C’est un premier pas vers l’exploration des multiples de 2. Cette compréhension mène aussi à une capacité de compter à partir de tout nombre par n’importe quel bond.
De même, lorsque les élèves comptent par 5, elles et ils reconnaissent rapidement une régularité, c’est-à-dire que le chiffre des unités alterne entre le chiffre 0 et le chiffre 5 (5, 10, 15, 20…). Les élèves peuvent généraliser cette découverte informellement en disant que tout nombre qui est un multiple de 5 va se terminer par le chiffre 5 ou 0.
Il peut être utile pour le personnel enseignant de proposer aux élèves d’indiquer les régularités dans une grille de nombres pour les aider à développer la compréhension conceptuelle du nombre et du système de numération à base 10.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 49-50.
Habileté : faire et justifier des prédictions
L’utilisation de matériel concret et semi-concret, d’une variété de représentations et de règles permet aux élèves de faire et de justifier des prédictions proches et lointaines.
Faire une prédiction proche consiste à indiquer ou à représenter les prochains termes d’une suite donnée. La prédiction peut être vérifiée simplement en prolongeant la suite.
Faire une prédiction lointaine consiste à indiquer ou à représenter une suite bien au-delà d’une suite donnée. Des calculs sont souvent nécessaires pour faire une prédiction juste ou pour vérifier sa vraisemblance.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 3e à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Les élèves peuvent mieux décrire une suite lorsqu’elles et ils comprennent la relation entre chaque terme de la suite et la position que chacun occupe dans la suite. Il leur suffit de numéroter successivement chaque terme de la suite.
Ainsi, les élèves peuvent se référer à certains termes de la suite (par exemple, dans cette suite, les soleils se trouvent au 3e, 6e et 9e rang à partir de la gauche). En analysant la relation entre le rang et le terme, les élèves peuvent facilement prédire le rang des prochains termes dans la suite, sans avoir à la prolonger. Cette analyse leur permet de généraliser (par exemple, un soleil sera au 12e rang puisqu’il est au 3e rang de chaque motif. Le rang du soleil est toujours un multiple de 3).
Dans la situation-problème « Combien de soleils y aura-t-il dans la suite de 10 motifs? », les élèves du cycle primaire peuvent discuter informellement, modeler, créer des représentations multiples, les décrire et conclure en trouvant le nombre de soleils et en justifiant leur démarche. L’exploration de ce genre de problème permet aux élèves de développer leur pensée algébrique et sert de fondement à l’utilisation d’une règle et de variables dans les années d’études à venir.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 38-39.
Dans les suites non numériques à motif croissant, il existe aussi une relation entre le rang de chaque figure et le nombre d’éléments dans chacune. Cette relation est un concept mathématique très important et qui mène à une généralisation plus formelle, soit la formulation de la règle de correspondance.
Par exemple, en analysant attentivement une suite, les élèves voient que la figure au 1er rang comprend deux formes géométriques, que la figure au 2e rang en a quatre, que la figure au 3e rang en a six, etc. Les élèves constatent donc qu’il y a toujours deux fois plus de formes géométriques que le rang de la figure. Cette constatation, soit la règle de correspondance, permet de trouver n’importe quel terme de la suite sans avoir à la prolonger.
Des discussions informelles traitant des relations entre le rang et le nombre d’éléments qui le composent peuvent se produire en déterminant la règle de correspondance et en prolongeant la suite.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 45-46.
Habileté : trouver des termes manquants dans des suites
Dans les suites non numériques et numériques, les élèves doivent déterminer ce qui se trouve à une position prédéterminée (avant, après ou à l’intérieur de la suite). Elles et ils ont donc besoin de déterminer la règle pour ensuite cibler la figure ou le nombre manquant.
Exemple
Trouve le terme au 4e rang de la suite à motif croissant suivante.
Source : En avant, les maths!, 3e année, CM, Algèbre, p. 4.
L’étude des régularités dans une suite numérique peut se poursuivre avec une grille de nombres ou une droite numérique ayant des nombres manquants. Les élèves doivent d’abord trouver la règle afin de découvrir les nombres manquants, puis expliquer la règle de régularité d’addition ou de soustraction. Elles et ils peuvent utiliser une calculatrice pour résoudre ce genre de problèmes.
Exemples
Nombres manquants dans une grille partielle
Nombres manquants sur une droite numérique ouverte
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 67.
Connaissance : règles
Règle de régularité : règle qui permet de prolonger une suite en respectant la différence entre les termes (aussi appelé bond constant).
Règle de correspondance : règle qui permet de prolonger une suite en établissant la relation entre le rang et son terme.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.