C1.1 Reconnaître et décrire les éléments et les opérations qui se répètent dans diverses suites (numériques et non numériques), y compris des suites trouvées dans la vie quotidienne.
Habileté : reconnaître les éléments et les opérations qui se répètent dans diverses suites
Suites non numériques à motif répété
La suite non numérique à motif répété est la forme de suite la plus simple. Pour la reconnaître, il faut chercher la régularité. Elle se crée lorsque les éléments qui constituent le motif se répètent selon le même ordre. Les élèves doivent apprendre à repérer le début et la fin du motif dans la suite. Par exemple, dans la photo ci-dessous, l’élève qui a créé cette suite montre en laissant un espace entre les motifs que la perle orange indique le début du motif et la perle rouge, la fin.
En outre, il est important de demander aux élèves de « lire » la suite en nommant et en touchant chaque élément consécutif du motif pour qu’elles et ils se rendent compte de la répétition.
Du cycle préparatoire jusqu’à la fin du cycle primaire, les suites que les élèves apprennent à explorer et à créer doivent être de plus en plus complexes.
Voici une suggestion de démarche pour enseigner les suites non numériques à motif répété.
- Observer une suite ayant un attribut et un motif à deux éléments
Explorer d’abord une suite n’ayant qu’un seul attribut et dont le motif ne comprend que deux éléments. L’attribut pourrait être le mouvement, la position, le son, la forme ou la couleur.
Exemple
Dans la suite illustrée ci-dessus, l’attribut est la position. Les deux éléments à quatre pattes, debout bras tendus constituent le motif.
Note : Le changement de couleur est plus facile à reconnaître et à décrire lorsqu’une suite est construite avec du matériel concret, surtout en utilisant des objets qui ont tous la même forme comme les perles d’un collier, les carreaux algébriques ou les cubes emboîtables.
- Changer l’attribut
Explorer ensuite des suites ayant un autre attribut tel que la forme ou la grandeur, tout en ayant encore deux éléments dans le motif.
Exemple
Dans la suite illustrée ci-dessus, l’attribut est la forme. Les deux éléments voilier, ballon constituent le motif.
- Modifier la structure de la suite
Explorer des suites plus complexes en ajoutant plus d’éléments au motif ou plus d’attributs. Les élèves feront alors face à un défi cognitif qui les mènera à un nouvel apprentissage.
Exemple
La suite ci-dessous comprend deux attributs, soit la forme et la couleur, et un motif à trois éléments, soit rectangle bleu, rectangle bleu, triangle jaune. Sa structure est AAB.
Poursuivre en introduisant une troisième forme ou couleur. Par exemple, la suite ci-dessous comprend aussi deux attributs (forme et couleur) et un motif à trois éléments (rectangle bleu, triangle rouge, ovale jaune). Toutefois, sa structure est plus complexe, car il y a trois couleurs au lieu de deux et trois formes au lieu de deux. La structure de cette suite est ABC.
Note : Au début de la période de mathématiques, présenter des suites ayant des règles déjà explorées en classe afin que les élèves les repèrent plus facilement et plus efficacement.
- Changer le mode de représentation
Présenter des suites ayant la même structure, mais construites selon différents modes de représentations et vérifier si les élèves reconnaissent qu’elles ont la même structure. Présenter deux suites composées de matériel concret différent (par exemple, une suite de perles et une suite de cubes emboîtables) ou, comme dans les photos ci-dessous, deux suites dont l’une est une représentation concrète (suite de positions) et l’autre est une représentation semi-concrète (suite d’objets dessinés). Lorsque les élèves peuvent justifier que les deux suites différentes ont la même structure, elles et ils sont à un niveau d’abstraction plus élevé dans leur raisonnement algébrique.
image: 6 enfants réalisant une suite avec les corps. Ils alternent entre la position debout et la position allongée sur le sol, 3 fois.La légende se lit ainsi « suite de positions ayant la structure « A,» « B. »Un dessin d'une série d'objets, 2 crosses de hockey, un palet, répété 3 fois.La légende se lit ainsi « suite d’objets dessinés ayant la structure « A » « B. »
- Explorer des suites ayant un élément manquant dans le motif
Repérer un élément manquant dans le motif d’une suite est un défi intéressant à présenter aux élèves.
Examiner la suite pour déterminer l’élément qui manque au début, au milieu ou à la fin d’un motif augmente leur compréhension des relations. Plusieurs activités de ce genre aident les élèves à comprendre la suite comme étant un tout qui contient plusieurs motifs, au lieu d’une séquence d’éléments changeants sans aucune relation entre eux.
Exemple
La perle manquante est une perle rouge.
- Repérer de fausses pistes
Reconnaître qu’un attribut peut être une fausse piste dans une suite contribue au développement du raisonnement algébrique.
Exemples
Suite A :
Dans cette suite, les couleurs utilisées ne sont pas un attribut de la règle. Les élèves doivent donc éliminer l’attribut couleur et s’en tenir à l’attribut forme (triangle ou cercle).
Suite B :
Dans cette suite, les différentes formes et couleurs créent de fausses pistes qui doivent être éliminées afin de découvrir l’attribut, soit la position de la base (figure placée sur un côté plat ou sur un sommet).
L’observation de similitudes et de différences entre certaines suites consolide l’apprentissage des élèves et développe leur habileté à communiquer. Reconnaître deux suites qui sont semblables exige un niveau de raisonnement plus élevé, et aide les élèves à miser sur les relations qui existent entre les suites. La compréhension des relations est de toute première importance, car savoir reconnaître des relations deviendra ultérieurement une stratégie de résolution de problèmes.
Lors des échanges mathématiques, le personnel enseignant doit amener les élèves à comparer les caractéristiques particulières des suites telles que :
- les attributs utilisés;
- le choix et la quantité d’éléments dans chaque motif;
- la structure de chaque suite;
- la régularité dans chaque suite.
Exemple
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Suite 1 |
Suite 2 |
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Attributs : la forme et la couleur |
Attribut : les symboles |
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Motif à trois éléments : un cercle jaune et deux trapèzes bleus |
Motif à trois éléments : un symbole x et deux symboles o |
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Structure : ABB |
Structure : ABB |
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Règle : un cercle jaune suivi de deux trapèzes bleus, toujours dans le même ordre. |
Règle : le symbole x suivi de deux symboles o, toujours dans le même ordre. |
L’habileté à comparer des suites facilite l’acquisition de l’habileté à les prolonger et, par la suite, à en créer de nouvelles.
Pour amener les élèves à se créer une image mentale d’une régularité, le personnel enseignant peut aussi faire comparer les suites en utilisant des exemples et des non-exemples de suites. Cette stratégie permet aux élèves de reconnaître une suite, de trouver la règle, de la décrire et de justifier leur raisonnement tout en utilisant un vocabulaire mathématique approprié.
Exemple d’une suite à motif répété (régularité respectée)
Non-exemple d’une suite (aucune régularité)
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 30-34.
Suites non numériques à motif croissant
Les suites non numériques à motif croissant les plus simples sont celles dont la figure au rang 1 est composée d’un élément et dont chaque figure au rang subséquent n’augmente que d’un élément (Exemple A). Les suites dont la figure au rang 1 est composée de plus d’un élément et dont chaque figure au rang subséquent augmente d’un élément (Exemple B) ou de plus d’un élément (Exemple C) sont plus complexes.
Exemples de suites non numériques à motif croissant
Lorsque les élèves construisent les figures d’une suite non numérique à motif croissant selon une disposition rectangulaire, comme dans l’exemple C, elles et ils mettent en pratique le concept de multiplication.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 40-41.
Suites numériques
Très tôt, les enfants prennent conscience des régularités dans leur environnement, dans la nature, dans les objets qui les entourent. C’est pourquoi il est possible de présenter les suites numériques dès la 3e année. Parallèlement, les élèves développent leur sens du nombre, peuvent compter par intervalles et à rebours et, par la suite, s’approprient le concept d’addition en tant que regroupement d’objets. Tous ces concepts ont un lien important avec l’apprentissage des régularités numériques.
« Puisque le système de numération est construit sur un système de régularités prévisibles, les élèves doivent être capables de non seulement identifier les régularités qu’elles et ils voient, mais aussi de justifier leur raisonnement à l’aide de l’évidence qui explique l’existence de ces régularités. »
(Economopoulos, 1998, traduction libre)
Dès que les élèves commencent à explorer le système de numération à base 10, synonyme de système décimal, elles et ils découvrent qu’il y a répétition des chiffres de 0 à 9 lorsqu’elles et ils comptent au-delà de 9 (10, 11, 12, 13, 14, 15…). Voir et justifier cette régularité dans le système décimal améliore la compréhension du sens du nombre et des regroupements (unités, dizaines, centaines, etc.). Par exemple, en comptant par bonds de 2, à partir de 16, les élèves observent une régularité prévisible dans les nombres (16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32…). C’est un premier pas vers l’exploration des multiples de 2. Cette compréhension mène aussi à une capacité de compter à partir de tout nombre par n’importe quel bond. De même, lorsque les élèves comptent par 5, elles et ils reconnaissent rapidement une régularité, c’est-à-dire que le chiffre des unités alterne entre le chiffre 0 et le chiffre 5 (5, 10, 15, 20…). Les élèves peuvent généraliser cette découverte informellement en disant que tout nombre qui est un multiple de 5 va se terminer par le chiffre 5 ou 0.
Tout comme lors de l’apprentissage des concepts relatifs aux suites non numériques, c’est en développant l’habileté à reconnaître, entre autres, des suites numériques avec une régularité d’addition et de soustraction que les élèves du cycle primaire construisent leur pensée algébrique. Les démarches décrites précédemment pour développer cette habileté s’appliquent aussi aux suites numériques.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 49-50.
Habileté : décrire les éléments et les opérations qui se répètent dans diverses suites
Suites non numériques à motif répété
Pendant une activité, il importe que le personnel enseignant pose des questions pertinentes aux élèves afin de les amener à verbaliser leurs observations, à cerner les relations et à expliquer la façon dont elles et ils ont repéré la règle.
Afin d’aider les élèves à établir une compréhension intuitive de la structure de la suite, le personnel enseignant les encourage à verbaliser les éléments du motif qui se répète. Par exemple, pour décrire la suite de mouvements claquer des doigts, claquer des doigts, lever le bras devant soi…, il leur demande de dire tout haut : « claque, claque, lève… »; pour décrire une suite de perles formant un collier, il leur demande de toucher les perles en les nommant à haute voix : « perle bleue, perle mauve, perle rouge… » Lorsque les élèves décrivent leur suite, il est important qu’elles et ils expliquent la relation entre les motifs (les éléments du motif sont représentés dans le même ordre) et utilisent le vocabulaire mathématique approprié.
Exemples de questions
- Quels sont les attributs utilisés pour créer la suite?
- Quels sont les éléments du motif?
- Pourquoi est-ce une suite?
À titre d’exemple, elles et ils peuvent décrire la suite illustrée ci-dessous comme suit : « Les attributs sont la forme et la position. Le motif est composé de trois éléments : un triangle pointant vers le haut suivi d’un triangle pointant vers le bas suivi d’un soleil. Les trois éléments du motif se répètent toujours dans cet ordre. »
Les élèves peuvent aussi laisser des traces pour montrer leur compréhension. Voici des exemples de traces :
image Suite, non numérique à motifs répétés. Triangle pointe vers le haut, triangle pointe vers le bas, soleil. Cette séquence est répétée 3 fois.Des vagues indiquent les motifs. Au-dessus de chaque élément figure un chiffre de 1 à 9. C’est le rang. En dessous de chaque nombre se trouve une séquence de lettres » « A, » « B » « C » répétée 3 fois. C’est la structure de la suite.La régularité : les figures triangle pointant vers le haut, triangle pointant vers le bas et le soleil se répètent dans le même ordre.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 37-38.
Suites non numériques à motif croissant
En misant sur le changement d’un rang à l’autre, les élèves décrivent la règle de façon informelle. Par exemple, les élèves pourraient décrire la règle de régularité dans les suites ci-dessous comme suit :
Suite A :
La règle de régularité consiste à ajouter une étoile à la figure du rang précédent.
Suite B :
La règle de régularité consiste à ajouter une rangée de trois carrés à la figure du rang précédent.
Note : La suite est décrite en fonction du nombre d’éléments et non en fonction des attributs qui, eux, n’influencent pas la croissance de la suite.
Pour décrire la suite et voir les relations entre chaque rang, les élèves doivent aussi être en mesure de justifier la disposition des éléments qui composent chacune des figures. Le questionnement aide les élèves à développer leur habileté à raisonner et à reconnaître les relations. Afin de les aider, poser des questions telles que :
- Pouvez-vous dire la façon dont on a réussi à construire la figure au 3e rang de la suite A? de la suite B?
- Comment sera construite la figure au 4e rang de la suite B?
- Que faut-il faire pour obtenir la figure au 5e rang de la suite A? de la suite B?
- À partir de quelle figure avez-vous découvert une règle dans la suite A? dans la suite B?
Les élèves doivent explorer les suites non numériques à motif croissant en utilisant du matériel concret. Ensuite, les élèves discutent des façons de les créer et des relations remarquées. Les élèves expliquent leur compréhension de la règle : « Chaque arbre est construit en ajoutant un rectangle au tronc de l’arbre précédent. »
Pour décrire la suite, les élèves peuvent aussi laisser des traces sur leurs travaux, comme dans les exemples ci-dessous.
Dans les suites non numériques à motif croissant, il existe aussi une relation entre le rang de chaque figure et le nombre d’éléments dans chacune. Cette relation est un concept mathématique très important qui est mis en évidence à l’aide d’une table de valeurs et qui mène à une généralisation plus formelle, soit la formulation de la règle de correspondance.
Les élèves apprennent à définir la règle de correspondance de la suite. Par exemple, en analysant attentivement la suite d’arbres, les élèves voient que la figure au rang 1 comprend cinq formes, que la figure au rang 2 en a six, que la figure au rang 3 en a sept, etc. Les élèves constatent donc qu’il y a toujours quatre formes géométriques de plus que le rang de la figure. Cette constatation, soit la règle de correspondance, permet de trouver n’importe quel terme de la suite sans avoir à la prolonger. Les élèves peuvent alors prédire que la figure au 10e rang sera composée de 14 formes géométriques.
L’étude des suites, qu’elles soient non numériques ou numériques, est la pierre angulaire de la compréhension des régularités. L’exploration des suites est un travail qui exige de la manipulation, des interventions et des discussions qui permettront à chaque élève de faire un premier pas dans le monde algébrique.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 44-46.
Vocabulaire lié aux suites non numériques
Afin de bien saisir les concepts sous-jacents à la grande idée de régularités et de relations, voici quelques notes explicatives sur le vocabulaire mathématique lié aux suites non numériques.
| Suite non numérique : ensemble de figures ou d’objets disposés selon un ordre et une régularité. | |
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Suite non numérique à motif répété Suite A 
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Suite non numérique à motif croissant Suite B 
Suite C 
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Attribut : caractéristique qui décrit un objet que l’on observe ou que l’on manipule. Dans la suite A, les attributs qui décrivent la suite sont la forme et la couleur. |
Dans une suite à motif croissant, l’analyse des attributs n’est plus importante, puisque l’accent est mis sur la croissance du motif. |
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Terme : chaque figure, objet ou mouvement qui compose une suite non numérique. Dans la suite A, chacune des figures planes est un terme. |
Dans les suites B et C, chacune des figures est un terme. |
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Motif : plus petite partie d’une suite à partir de laquelle est créée la régularité. Motif dans la suite A : un rectangle bleu suivi d’un trapèze vert et d’un triangle orangé. Chaque objet qui compose le motif est appelé élément du motif. |
Motif dans la suite B : un carré (figure au rang 1). Motif dans la suite C : deux cubes superposés (figure au rang 1). |
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Règle : phénomène uniforme qui définit une suite et qui aide à déterminer chacun de ses termes. Règle de régularité dans la suite A : répétition du motif rectangle bleu, trapèze vert, triangle orangé, et ce, toujours dans le même ordre. |
Règle de régularité dans la suite B : un carré est ajouté à la figure précédente. Règle de régularité dans la suite C : un cube est toujours ajouté à la rangée du bas de la figure au rang précédent. |
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Structure : représentation à l’aide de lettres de la règle d’une suite à motif répété. Dans la suite A, chaque élément du motif peut être identifié par une lettre : rectangle bleu (A), trapèze vert (B), triangle orangé (C). La structure de la suite A est donc ABC. |
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Rang : position qu’occupe chaque terme dans une suite. Le rang est indiqué par un nombre. Il est utilisé pour aider à décrire les relations dans une suite et à prédire les prochains termes dans la suite sans devoir la prolonger. Dans la suite A, on trouve un rectangle bleu au 1er, au 4e et au 7e rang, un trapèze vert au 2e, au 5e et au 8e rang, etc. |
Dans les suites B et C, chaque figure a son rang : la première figure occupe le 1er rang, la deuxième figure occupe le 2e rang, etc. |
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 29.
Suites numériques
Les démarches décrites précédemment pour décrire les suites non numériques à motif répété et à motif croissant s’appliquent aussi aux suites numériques.
Exemple
Suite C :
2, 4, 8, 16, 32
La régularité consiste à doubler le nombre précédent.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 50.
Comparer des suites sur une même grille de nombres permet d’établir des relations entre les nombres.
Exemple
Présenter aux élèves les deux suites numériques suivantes :
Suite A : 3, 6, 9, 12, 15…
Suite B : 6, 12, 18, 24, 30…
Utiliser des jetons transparents pour représenter la suite A et ombrer les cases appropriées pour représenter la suite B dans une grille de 100.
Ensuite, amener les élèves à réfléchir et à comparer les suites en posant des questions telles que :
- Qu’observez-vous une fois les deux suites représentées dans la grille?
- Observations possibles : certains nombres sont recouverts d’un jeton transparent; certains nombres recouverts d’un jeton transparent sont aussi ombrés; les suites forment des droites obliques; il y a toujours une différence de 3 entre les nombres recouverts d’un jeton; il y a toujours une différence de 6 entre les nombres ombrés.
- Y a-t-il des nombres qui font partie des deux suites?
- Quelle est la relation entre ces nombres?
- Quelle est la règle dans chaque suite?
- Quelle ressemblance et quelle différence y a-t-il entre la suite A : 3, 6, 9, 12, 15… et la suite C : 5, 8, 11, 14, 17...?
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 59-60.
Vocabulaire lié aux suites numériques
Afin de bien saisir les concepts sous-jacents à la grande idée de régularités et de relations, voici quelques notes explicatives sur le vocabulaire mathématique lié aux suites numériques.
image Suite
numérique : ensemble de nombres disposés salon un ordre et une régularité.Régularité : Phénomène uniforme qui définit
une suite qui permet de déterminer chacun de ces termes. Au cycle primaire, la régularité à l’étude en est d’addition
ou de soustraction d`s la première année ou de la multiplication ou de division dès la troisième année.Régularité dans
la suite « A » ci-dessous : chaque terme est toujours 5 de plus que le terme précédent. Suite avec une régularité
d’addition :Suite « A » 5, dix, 15, 20, 25, 30…Chaque nombre est un terme.Régularité dans la suite « B » ci-dessous :
chaque terme est toujours 5 de moins que le terme précédent.Suite avec une régularité de soustraction.Suite « B »,
30,25,20,15, dix,5 zéro.Rang : Position qu’occupe chaque terme dans une suite. Le rang est indiqué par un nombre. Il
est utilisé pour aider à décrire les relations dans une suite et à redire les prochains termes dans la suite sans
avoir à la prolonger.Dans la suite « A », le nombre 5 occupe le premier rang, le nombre dix, le deuxième rang,
etc…Dans la suite « B » le nombre 30 occupe le premier rang, le nombre 25 le deuxième rang, etc…
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 50.
Habileté : reconnaître et décrire des suites trouvées dans la vie quotidienne
Les jeunes enfants ont une curiosité et un intérêt naturels pour les régularités qui les entourent. Les régularités peuvent être de nature littéraire, artistique, musicale, scientifique ou numérique. On trouve des régularités dans bien des événements (par exemple, succession des saisons et des jours de la semaine, croissance des êtres vivants, activités quotidiennes), dans les comptines et les chansons (par exemple, rythme, rimes, nombre de syllabes), dans des histoires à structures répétées (par exemple, le conte Boucle d’or et les trois ours), dans la musique (par exemple, différents sons d’instruments), dans des gestes (par exemple, debout, accroupi, assis) ainsi que dans le monde que nous avons construit (par exemple, feux de circulation, numéros de maison pairs ou impairs). Les motifs répétés décorant les objets (par exemple, vases, vêtements, bijoux) venant de diverses cultures offrent de bons exemples de régularités.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 26.
Connaissance : suite non numérique
Il y a deux sortes de suites non numériques : les suites non numériques à motif répété et les suites non numériques à motif croissant.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 28.
Suite non numérique à motif répété
La suite non numérique à motif répété est la forme de suite la plus simple. Pour la reconnaître, il faut chercher la règle. Elle se crée lorsque les éléments qui constituent le motif se répètent selon le même ordre.
Il est important de présenter le motif complet au moins trois fois avant de demander aux élèves de trouver le motif ou de prolonger la suite. Ainsi, elles et ils peuvent cerner plus facilement la relation entre les éléments du motif et entre les motifs de la suite.
Les élèves arrivent à généraliser quand elles et ils réalisent qu’une règle se crée lorsque les éléments du motif se répètent toujours dans le même ordre.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 30.
Suite non numérique à motif croissant
Les suites non numériques à motif croissant sont plus complexes que les suites non numériques à motif répété puisque le nombre d’éléments qui composent une figure augmente d’un rang à l’autre de façon prévisible.
Note : Au début, les élèves devraient explorer les suites non numériques à motif croissant à l’aide de matériel de manipulation.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 40.
Les suites non numériques à motif croissant ont les caractéristiques suivantes :
- Les éléments qui composent la figure de chaque rang de la suite sont disposés selon un ordre et une régularité. Par exemple, d’un rang à l’autre dans la suite ci-dessus, on ajoute un soleil au bout de chaque branche.
- Le motif est repérable dans chaque figure, de manière que chaque figure vient de la croissance de la figure au rang précédent. Par exemple, dans la suite ci-dessus, le motif de base est formé de trois soleils placés en forme de V.
Note : On peut utiliser de la couleur afin de faire ressortir le motif de base.
- Le nombre et l’emplacement des éléments qui composent chaque figure sont prévisibles. Par exemple, dans la suite ci-dessus, on peut prévoir que la figure au rang 5 sera composée du motif de base, soit trois soleils placés en forme de V, et de quatre soleils de plus sur chaque branche. Elle sera donc composée de 11 soleils en tout.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la 4e à la 6e année, p. 42.