La vue d'ensemble

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Un remaniement des guides d'enseignement efficace en mathématiques

C2.3 Déterminer et utiliser des relations d’équivalence comprenant des nombres naturels jusqu’à 100, dans divers contextes.

Habileté : déterminer et utiliser des relations d’équivalence comprenant des nombres naturels jusqu’à 100

Dans une classe de mathématiques visant à développer la pensée algébrique chez les élèves, l’objectif traditionnel de l’enseignement, apprendre à calculer, n’est pas omis; il est largement dépassé.

Développer la pensée algébrique est un cheminement complexe qui mise sur trois processus fondamentaux : abstraire, généraliser et opérer sur l’inconnue.

Note importante : Bien que les propriétés des opérations (par exemple, la commutativité) soient explorées dans le domaine Nombres, le processus pour arriver à les comprendre et à généraliser relève de la pensée algébrique.

Généraliser

Généraliser, c’est tirer des conclusions valables, vraies dans tous les cas, à partir de l’observation et de l’analyse de quelques exemples

(H. Squalli, « Le développement de la pensée algébrique à l’école primaire : un exemple de raisonnement à l’aide de concepts mathématiques », Instantanés mathématiques, vol. XXXIX, automne 2002, p. 9, adaptation, cité dans ministère de l’Éducation de l’Ontario, Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année – Modélisation et algèbre, fascicule 2, 2008, p. 16).

En ce qui concerne les situations d’égalité, les élèves peuvent formuler plus aisément une généralisation lorsque celle-ci se situe à la suite d’un processus de proposition et de vérification d’une conjecture.

Une conjecture est l’expression d’une idée perçue comme étant vraie dans toutes les situations semblables.

Les élèves qui constatent un phénomène récursif en explorant diverses situations d’égalité, sont en mesure de proposer une conjecture; par exemple, si l’on additionne le nombre 0 à un nombre quelconque, la quantité initiale ne change pas.

Les élèves doivent ensuite vérifier si leur conjecture est valable dans d’autres situations semblables. Ainsi, dans la situation de l’exemple précédent, la conjecture pourrait être vérifiée à l’aide de divers nombres ainsi qu’en se servant de matériel concret.

Lorsqu’une conjecture semble s’appliquer à toutes les situations semblables, les élèves formulent une généralisation en mots ou à l’aide de symboles.

Exemple

Il y a donc trois étapes importantes dans le processus de généraliser.

Infographies : « Proposer une conjecture », flèche vers : « vérifier une conjecture », flèche vers « formuler une conjecture ».

Au cycle primaire, les conjectures sont généralement exprimées en mots par les élèves. Elles peuvent aussi être représentées à l’aide de matériel concret ou semi-concret afin d’illustrer le plus clairement possible le raisonnement mathématique.

Il importe d’exposer les élèves à diverses situations-problèmes qui les incitent à exercer l’habileté à proposer et à vérifier une conjecture; par exemple, leur présenter la phrase mathématique 50 + 6 – 6 = 50, et leur demander ce qu’ils remarquent. Ensuite, leur proposer la conjecture suivante : Lorsqu’on additionne et soustrait le même nombre dans une phrase mathématique, est-ce identique à ajouter ou à soustraire zéro. Puis, inviter les élèves à discuter de cette conjecture et à déterminer si elle est toujours vraie.

Les élèves vérifient cette conjecture avec d’autres phrases mathématiques, mais ne croient pas qu’elle s’applique à n’importe quelle phrase mathématique ou à tous les nombres, notamment aux grands nombres. Au cours des échanges, les élèves proposent leurs propres conjectures, comme celle illustrée ci-après.

Deux élèves négocient leur raisonnement mathématique. « Élève un » dit « La phrase mathématique cent plus 5 moins 5 égale cent est vrais parce que si on soustrait un nombre de lui-même, c’est comme si on ne l’avait jamais ajouté. Alors, la phrase devient cent est égale à cent. »« Élève 2 » dit : «Je crois que la phrase mathématique est vrais puisque soustraire un nombre de lui-même équivaut à l’additionner d’un zéro. La quantité de départ ne change pas. Donc, la phrase deviendrait cent plus zéro est égale à cent.

Après une vérification de diverses phrases mathématiques, les élèves concluent que la conjecture est vraie et formulent une généralisation.

Exemple

Une équation à compléter qui amène l'élève à comprendre qu'il faut entrer les mêmes nombres dans les mêmes formes. L'équation est la suivante : carré, plus losange, moins losange, égal carré.

Comme le vocabulaire des élèves au primaire n’est pas encore très développé et très précis, les premières conjectures doivent habituellement être reformulées ou clarifiées. L’idéal est donc de pratiquer la formulation d’une conjecture en groupe-classe, comme le démontre l’exemple ci-après. Au moment des échanges, les élèves peuvent souligner les limites de la conjecture proposée par une autre personne et contribuer à la formulation d’une conjecture commune plus claire et plus pertinente. Il importe, cependant, d’établir un climat d’apprentissage dans lequel les élèves perçoivent les questions des autres comme des interactions positives susceptibles d’alimenter l’échange.

Exemple

Présenter aux élèves la phrase mathématique 54 + 0 = 54 et leur demander si elle est vraie ou fausse.

  • Élève : La phrase mathématique est vraie.
  • Personnel enseignant : Comment peux-tu l’affirmer?
  • Élève : Lorsqu’un zéro est ajouté à un nombre, il n’ajoute rien en réalité, on obtient donc le nombre de départ. 

Présenter aux élèves d’autres phrases mathématiques semblables. Après plusieurs échanges de ce type, leur demander alors de formuler une conjecture.

  • Élève : Tous les nombres additionnés d’un zéro restent les mêmes.
  • Autre élève présente un contre-exemple : Non, puisque 10 + 10 = 20. Les nombres 10 et 10 sont composés de zéros. Additionnés, ils ne restent pas les mêmes.

Après d’autres échanges, un élève formule une autre conjecture :

  • Élève : Lorsque tu joins un zéro à un autre nombre, tu obtiens l’autre nombre. 
  • Autre élève : C’est faux. 
  • Personnel enseignant : Alors, tu fais référence au nombre qui est juste à côté d’un zéro? 
  • Élève : Non, additionné à un autre nombre. 

Après maints échanges, la formulation suivante est retenue : Zéro, additionné à un autre nombre, est égal à ce nombre. Lorsque les élèves constatent que cette conjecture s’applique à tous les nombres, elles et ils peuvent généraliser.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 8-11.

Lorsque les nombres sont décomposés, les parties sont équivalentes à leur tout.

Remarque : La commutativité et l’associativité permettent aux élèves de constater l’égalité d’une phrase mathématique, de démontrer leur compréhension de ces propriétés et de constater l’égalité d’une phrase mathématique sans effectuer de calculs.

Il n’est pas attendu que les élèves soient capables de nommer ou de définir ces propriétés, mais qu’elles et ils les utilisent de manière appropriée.

Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.

Habiletés liées aux situations d’équivalence

Au cycle primaire, les élèves développent l’habileté à reconnaître, à expliquer, à créer, à rétablir et à maintenir des situations d’équivalence par l’application de stratégies et de modèles (par exemple, cadres à 10 cases, droite numérique). Ces habiletés doivent être développées à chaque année d’études en utilisant des nombres de plus en plus grands, en conformité avec les exigences du programme-cadre.

Au début, les situations d’égalité et d’inégalité sont essentiellement explorées oralement et à l’aide de matériel concret et, par la suite, les élèves sont graduellement exposés à la représentation symbolique. Toutefois, le recours au matériel concret demeure tout aussi important et doit s’inscrire conjointement avec les représentations plus abstraites.

Habileté à reconnaître une situation d’équivalence

L’utilisation efficace du matériel concret favorise l’apprentissage des concepts algébriques, quel que soit le niveau des élèves […]. Puisque cette stratégie fait appel aux sens, entre autres au toucher, à la vue et à l’ouïe, elle leur donne l’occasion de faire la transition entre le concret, le semi-concret, le semi-abstrait et l’abstrait

(Conseil des écoles catholiques de langue française du Centre-Est, Les mathématiques… un peu, beaucoup, à la folie : Guide pédagogique – Modélisation et algèbre, 1re année, 2003, p. 6, cité dans ministère de l’Éducation de l’Ontario, Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année – Modélisation et algèbre, fascicule 2, 2008, p. 51).

Dans une résolution de problèmes, le recours au matériel concret et semi-concret, de même qu’aux modèles, permet aux élèves de reconnaître et de représenter des situations d’égalité et d’inégalité.

Exemples

Cadre à dix cases complétées par des points de couleurs.Un élève travaille sur une droite numérique au tableau. L'élève équilibre l'équation du haut et du bas.

Ce n’est d’ailleurs qu’après avoir manipulé divers modèles à plusieurs reprises dans le même but, soit reconnaître une situation d’égalité ou d’inégalité, que les élèves sont en mesure d’aborder la représentation purement symbolique (la phrase mathématique) de cette situation. Par ailleurs, pour déterminer la nature de la relation entre les quantités, les élèves doivent comprendre que les éléments qui figurent de chaque côté du signe d’égalité sont des données à analyser et non pas uniquement des expressions à calculer.

Exemple 1

Explorer la propriété de commutativité permet aux élèves de constater l’égalité de la phrase mathématique 43 + 24 = 24 + 43. Il importe, à l’aide d’interventions, d’inciter les élèves à observer que les mêmes nombres se retrouvent de chaque côté du symbole de l’égalité et que les termes de l’addition sont simplement intervertis.

Exemple 2

La stratégie annuler des termes ou des expressions égales permet aux élèves de constater l’égalité d’une phrase mathématique. Annuler des termes consiste à rayer les termes identiques qui figurent de chaque côté du signe d’égalité. Le fait de rayer ou d’annuler les termes qui se trouvent de chaque côté du signe d’égalité permet d’établir plus facilement des relations entre les termes qui restent et aide les élèves à développer leur raisonnement algébrique. Par exemple :

Une équation 3 barrée plus 4 barrés plus étoile est égale à 3 barrés plus 7 barré plus 7, donc étoile est égale à 7.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 39-41.

Habileté à expliquer une situation d’égalité

Les élèves ont besoin de discuter de ce qui est égal/inégal, pareil/différent, plus que/moins que, en équilibre/en déséquilibre. C’est par le dialogue authentique que les élèves construisent la signification du concept d’égalité.

(J. Taylor-Cox, « Algebra in the Early years? Yes! », Young Children: Teaching and Learning about MATH, janvier 2003, p. 17, traduction libre, citée dans ministère de l’Éducation de l’Ontario, Guide d’enseignement efficace des mathématiques, de la maternelle à la 3e année – Modélisation et algèbre, fascicule 2, 2008, p. 53).

Pour développer leur habileté à expliquer une situation d’égalité, les élèves doivent aborder différentes étapes. Le transfert du concret vers la représentation symbolique s’effectue plus aisément lorsque la relation d’égalité se construit en suivant ces différentes étapes.

  • Explorer à l’aide de matériel concret ou semi-concret.
    L’élève démontre, à l’aide de jouets, la situation suivante : l’ajout de 0 jouet à 10 jouets.
  • Décrire à l’aide de mots et de matériel.
    L’élève dit : « Si j’ajoute 0 jouet à 10 jouets, la quantité ne changera pas, puisque je n’ajoute rien. Elle sera encore égale à 10 jouets. »
  • Représenter à l’aide de symboles.
    L’élève exprime symboliquement cette égalité en écrivant la phrase mathématique 10 + 0 = 10.
  • Généraliser pour tous les nombres
    Des questions adéquates posées lors d’autres situations similaires amènent l’élève à généraliser que l’ajout de 0 à toute quantité ne change pas la quantité.
    Carré vide plus zéro égal carré vide.

Les élèves développent aussi leur habileté à expliquer une situation d’égalité en ayant recours à des modèles. En effet, l’utilisation de modèles permet aux élèves de communiquer efficacement leur raisonnement.

Exemple

Pour expliquer l’expression 27 + 5 – 5 = 27, les élèves peuvent utiliser une droite numérique ouverte afin d’appuyer leur raisonnement : « J’effectue un bond de 27 et j’ajoute un bond de 5. Je refais un bond de 5 dans l’autre direction; je reviens donc à 27. C’est comme si je n’avais jamais ajouté un bond de 5. »

Une droite numérique avec une flèche allant de zéro à 27. Une flèche marquée plus cinq pointes vers 32. Et une flèche marquée moins cinq revient à 27.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 41-42.

Habileté à créer une situation d’égalité

Pour amener les élèves à créer une situation d’égalité, il est important, au début, de leur présenter une situation d’égalité représentée à l’aide de matériel concret. Leur demander de la représenter à l’aide d’une phrase mathématique, de comparer les différentes phrases proposées par les autres élèves et de déterminer si elles sont toutes vraies.

Exemples

Image, sous-titrée, « Situation d`égalité représentée avec du matériel concret. » Dans une assiette il y a un jeu, 3 reptiles en plastique, 4 loupes et 2 balles.» Image sous-titrée : « Phrases mathématiques pour représenter cette situation d’égalité. » Elle se lit comme suit : un plus 3, plus 4, plus 2 égale dix.Puis : dix égale 2, plus 4, plus 3, plus un.

Par la suite, les élèves peuvent créer leur propre situation d’égalité. Leur proposer d’écrire des phrases mathématiques et de les représenter avec du matériel concret. Les élèves doivent avoir l’occasion de créer des situations d’égalité représentées par des phrases mathématiques composées de grands nombres afin d’être en mesure d’utiliser les propriétés des opérations ou des stratégies au lieu de calculer.

Main d'un élève écrivant des phrases mathématiques égales.

Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 42-43.

Connaissance : relation d’équivalence

Une relation qui compare des quantités pour montrer qu’elles ont la même valeur.

Exemple

352 est équivalent à 350 et 2.

Source : En avant, les maths!, 3e année, CM, Algèbre, p. 2.

Exemples

  • Représenter un nombre de différentes façons à l’aide de réglettes.
  • Représenter un nombre de différentes façons à l’aide de matériel de base 10.
  • Représenter un nombre de différentes façons à l’aide d’un Rekenrek.
  • …

Connaissance : égalité

Relation entre deux quantités égales.

Connaissance : phrase mathématique

Représentation symbolique qui représente une relation. Dans une phrase mathématique, il n’y a pas d’inconnue ni de variable.

Exemple

Phrases vraies (égales) \(75 + 5 = 5 + 75\) ou \(50 = 20 + 20 + 10\)

Phrase fausses {inégales) \(100 = 95 – 5\) ou \(45 + 10 = 15 + 45\)