C2.2 Déterminer ce qui doit être ajouté ou soustrait pour que des expressions comportant des additions et des soustractions deviennent équivalentes.
Habileté : déterminer ce qui doit être ajouté ou soustrait pour que des expressions comportant des additions et des soustractions deviennent équivalentes
Deux expressions numériques sont équivalentes lorsqu’elles représentent la même quantité.
Deux expressions numériques ne sont pas équivalentes lorsqu’elles représentent des quantités différentes. Dans une phrase mathématique, le signe d’égalité traversé d’une barre oblique (≠) est un symbole qui représente cette non-équivalence ou deux quantités différentes.
Remarque
Le signe d’égalité ne doit pas être considéré comme un symbole qui annonce la réponse à une équation, mais comme un symbole qui montre une relation entre deux quantités.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Les élèves qui raisonnent algébriquement, analysent les nombres, les symboles, les quantités et les opérations, puis généralisent.
Une étape mathématique significative pour les élèves, dans le développement de leur pensée algébrique, est de
comprendre qu’une situation d’égalité peut être représentée à l’aide de différents modèles.
Les élèves peuvent
utiliser différents modes de représentation. Les relations mathématiques peuvent être représentées à l’aide de
matériel concret ou semi-concret, de symboles ou de descriptions orales. Les élèves qui représentent une situation
algébrique à l’aide d’un ou de deux modes de représentation, utilisent une variété de modèles tels que des tableaux,
des grilles de nombres ou des droites numériques. Ces modèles les aident à organiser, à enregistrer et à communiquer
leur réflexion au moment d’explorer des situations d’égalité. La représentation d’expressions numériques, à l’aide de
modèles concrets, semi-concrets ou symboliques, de pair à une description orale, facilite l’observation de relations
et contribue au développement de la pensée algébrique. Les différentes représentations permettent aux élèves de
s’approprier les concepts algébriques.
Infographie
« Modes de représentations liés à des contextes réels. » Les modèles sont concrets, semi-concrets et symboliques. »
Ces modèles s'appliquent également aux « descriptions orales. »
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 15.
Il est primordial que les élèves explorent et représentent des relations d’égalité de diverses façons avant de les exprimer symboliquement par une phrase mathématique. Une phrase telle que 20 + 15 = 35 perd tout son sens lorsque l’accent est d’abord mis sur les symboles utilisés. Avant d’exécuter des calculs, les élèves doivent explorer les nombres à l’aide de modèles pour appuyer leur raisonnement. Le sens du symbole s’acquiert par l’utilisation de diverses représentations de relations d’égalité et d’inégalité. Le questionnement du personnel enseignant, conjugué à la manipulation des symboles et des nombres selon différentes stratégies, permettra aux élèves de proposer des conjectures et, par la suite, de généraliser.
En algèbre, les élèves doivent s’approprier le concept d’égalité et d’inégalité afin de bien comprendre l’équivalence en tant que relation entre deux quantités. Les élèves doivent d’abord explorer ces concepts à l’aide de matériel concret.
Devant une situation d’égalité représentée à l’aide de symboles, il importe d’amener les élèves à reconnaître la relation qui existe entre les deux expressions numériques de chaque côté du signe d’égalité. Dans la phrase mathématique, par exemple, 18 = 6 × 3, le 18 et le 6 × 3 constituent deux représentations du nombre 18, et le signe = est le symbole qui démontre la relation d’égalité entre ces représentations. Bien comprendre cette relation permettra par la suite, aux élèves, de manipuler plus efficacement les nombres, l’inconnue ou les variables qui figurent dans une équation.
La vidéo suivante clarifie la relation d’égalité entre deux expressions numériques.
Description de la vidéo
Description à venir
Dans cette vidéo, des élèves résolvent des équations en déterminant ce qui doit être ajouté pour que des expressions comportant des additions deviennent équivalentes, à l’aide du modèle de la balance mathématique.
Description de la vidéo
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Sens du symbole de l’égalité
Le symbole de l’égalité est un signe universellement connu, mais souvent mal interprété par plusieurs élèves qui perçoivent le signe = comme le symbole qui précède toujours, dans les phrases mathématiques, la réponse à un calcul de gauche à droite.
Lorsque, par la suite, les élèves explorent la représentation symbolique d’une situation d’égalité ou d’équivalence, par exemple l’équation 4 + 3 = □ + 2, elles et ils croient que le nombre 7 doit être inséré dans la case de l’inconnue, puisqu’il représente la réponse à l’opération 4 + 3, figurant à gauche du signe d’égalité. Lorsqu’on leur demande de traiter le nombre 2, elles et ils l’ajoutent au 7, comme si la phrase mathématique se poursuivait simplement de gauche à droite : 4 + 3 = 7 + 2. Les élèves ne perçoivent pas le signe égal comme le symbole de la relation d’égalité ou d’équivalence entre les expressions figurant de part et d’autre de ce signe.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 36.
Cette fausse conception provient, en partie, du fait que les élèves voient souvent des situations d’égalité présentées à l’aide de simples phrases mathématiques telles que 4 + 1 = 5. Pour remédier à cette méprise, il est possible de :
- poser aux élèves la question suivante : « Est-ce que 14 + 6 représente la même quantité que 6 + 14? »;
Note : Ce type de questionnement favorise une meilleure compréhension des concepts de relation et d’égalité. - présenter aux élèves différents types de phrases mathématiques pour leur permettre d’explorer le concept du signe égal en tant que relation. En voici quelques-unes :
| Types de phrases mathématiques | Exemples |
|---|---|
| Phrases ne présentant qu’un nombre de part et d’autre du signe =. | 5 = 5 60 = 60 |
| Phrases incitant au recours à une stratégie, par exemple la stratégie comparer des termes. | 8 – 7 = 9 − 8 |
| Phrases qui recourent à une propriété, par exemple la propriété de commutativité. | 5 + 10 = 10 + 5 |
| Phrases dont l’une des expressions numériques présente plus de deux termes. | 5 = 2 + 2 + 1 55 = 25 + 25 + 5 |
| Phrases dont les opérations diffèrent de chaque côté du signe =. | 29 + 2 = 33 – 2 |
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 37.
Le signe d’égalité représente la relation entre les expressions et non le symbole qui précède systématiquement la réponse à une opération.
Il est important d’encourager les élèves à exprimer, de façon explicite, leur propre compréhension du signe d’égalité. Ces échanges permettent de vérifier la compréhension qu’en ont les élèves, et, aux élèves, d’utiliser des arguments mathématiques, une des assises de la pensée algébrique.
Habileté : rétablir une situation d’égalité
Pour développer le raisonnement algébrique, il est aussi important, pour les élèves, d’explorer des situations d’inégalité. Ces situations requièrent le recours à des stratégies qui visent à rétablir l’égalité (la rendre vraie) et exigent un niveau de pensée plus élevé (analyse). Rétablir l’égalité d’une situation s’effectue d’abord à l’aide de matériel concret, puis à l’aide de symboles.
Important! Les élèves qui utilisent du matériel concret pour rétablir une situation d’égalité, comparent des quantités, donc, explorent des situations d’équivalence, puis rétablissent l’égalité entre les quantités.
Rétablir une situation d’égalité à l’aide de matériel concret
Les exemples ci-dessous montrent l’usage de divers types de matériel concret pour rétablir une situation d’égalité. Il est important de toujours présenter aux élèves les situations dans un contexte signifiant.
Exemple 1
Demander aux élèves de construire, à l’aide de cubes emboîtables, deux tours de couleur et de hauteur différentes. Puis, leur demander de décrire l’inégalité; par exemple:
- Les tours ne sont pas égales parce que la tour rouge est plus grande que la tour jaune. Elle compte deux cubes de plus que la tour jaune. La quantité 9 cubes est plus grande que la quantité 7 cubes (9 > 7), il y a donc inégalité (9 ≠ 7).
Demander ensuite aux élèves de décrire ce qu’ils peuvent faire pour rétablir l’égalité; par exemple :
Pour rétablir l’égalité, je peux transférer un cube de la tour rouge vers la tour jaune afin que les deux tours aient la même hauteur.
Par la suite, les élèves peuvent plus aisément représenter cette situation (rétablir l’égalité) symboliquement : 9 – 1 = 7 + 1.
Pour rétablir l’égalité, je peux également retirer deux cubes de la tour rouge afin qu’elle soit égale à la tour jaune.
Les élèves peuvent aussi représenter cette situation symboliquement : 9 – 2 = 7.
Exemple 2
Présenter aux élèves deux tours comme celles illustrées ci-dessous et leur demander d’expliquer l’inégalité représentée à savoir que 3 + 6 ≠ 7; par exemple :
- La tour rouge et bleue compte deux cubes de plus que la tour jaune. Puisque la quantité 3 + 6 cubes est plus grande que la quantité 7 cubes (3 + 6 > 7), il y a donc inégalité.
Inviter les élèves à rétablir la situation d’égalité en utilisant les mêmes stratégies que dans l’exemple précédent, puis à la représenter symboliquement par des phrases mathématiques; par exemple :
- J’enlève un cube rouge de la première tour et je le place sur la deuxième tour (6 – 1 + 3 = 7 + 1).
- J’enlève un cube bleu de la première tour et je le place sur la deuxième tour (6 + 3 – 1 = 7 + 1).
- J’enlève deux cubes rouges de la première tour (6 – 2 + 3 = 7).
- J’enlève deux cubes bleus de la première tour (6 + 3 – 2 = 7).
- J’enlève un cube bleu et un cube rouge de la première tour (6 – 1 + 3 – 1 = 7).
Exemple 3
En se servant d’un cadre à dix cases, les élèves doivent reconnaître et expliquer l’inégalité avant de chercher à la rétablir.
Présenter aux élèves le problème suivant :
Un jardinier plante des bulbes de tulipes dans deux plates-bandes. Dans la première, il plante 5 bulbes de tulipes rouges et 5 bulbes de tulipes jaunes. Dans l’autre, il plante 3 bulbes de tulipes orange et 6 bulbes de tulipes bleues.
Demander aux élèves de représenter d’abord 5 + 5 dans un cadre à dix cases, puis 3 + 6 dans un autre cadre à dix cases. Attirer l’attention des élèves sur l’inégalité (5 + 5 ≠ 3 + 6), puis sur la nature de la relation d’inégalité entre les deux cadres (5 + 5 > 3 + 6).
Image 2 cadres avec dix cases. Le premier montre 5 cercles rouges et 5 cercles jaunes dans les
cases. Une équation
au-dessus du cadre affiche 5 plus 5. Le deuxième cadre contient 3 cercles jaunes et 6 cercles bleus. L'équation
au-dessus de ce cadre indique : 3 plus 6.
Demander aux élèves de démontrer ce que le jardinier pourrait faire s’il voulait avoir une quantité égale de tulipes dans chaque plate-bande.
Stratégie 1 : Les élèves rétablissent l’égalité en enlevant un jeton dans le cadre qui en a le plus; par exemple :
Le jardinier pourrait enlever 1 bulbe de tulipe rouge de la plate-bande contenant 10 bulbes de tulipes.
Image 2 cadres avec dix cases. Le premier montre 5 cercles rouges, un des cercles rouges est
retiré de son espace
avec une flèche pointant vers lui. Ensuite, 5 cercles jaunes dans les cases en dessous. Le deuxième cadre contient 3
cercles jaunes et 6 cercles bleus. L'équation au-dessus des cadres indique : 5 moins un plus 5 égal 3 plus 6.
Stratégie 2 : Les élèves rétablissent l’égalité en ajoutant un jeton au cadre qui en a le moins; par exemple :
Le jardinier pourrait ajouter 1 bulbe de tulipe bleue dans la plate-bande contenant 9 bulbes de tulipes.
Image
2 cadres avec dix cases. Le premier montre 5 cercles rouges et 5 cercles jaunes dans les cases. Le deuxième cadre
contient 3 cercles jaunes et 6 cercles bleus. L'équation au-dessus des cadres indique : 5 plus 5 égal 3 plus 6 plus
un.
Une fois l’égalité rétablie, les élèves constateront que même s’il n’y a pas la même quantité de chaque couleur de jetons, les deux cadres à dix cases contiennent, en fin de compte, la même quantité de jetons, d’où l’égalité. Par ailleurs, la phrase mathématique leur permettra de confirmer l’égalité des deux expressions numériques.
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 44-46.
Les élèves peuvent aussi utiliser des bonds sur une droite numérique pour montrer ce qui doit être ajouté afin que les deux expressions soient équivalentes.
Image
Une droite numérique représentant 2 équations équilibrées. L'une au-dessus et l'autre au-dessous. À côté se trouve une
équation à résoudre qui dit que 5 plus 3 est égal au point d'interrogation plus 2.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Si un modèle de balance est utilisé, la représentation des additions et des soustractions est manipulée jusqu’à ce qu’il y ait équivalence.
Si une vraie balance à plateaux est utilisée, la représentation est manipulée jusqu’à l’obtention de l’équilibre des plateaux.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Connaissance : expression numérique
Expression qui ne contient que des nombres liés entre eux par des opérations. Tous les nombres sont, par définition, des expressions numériques.
Exemples
3 + 9 – 2
5 × 4
10
Source : Guide d’enseignement efficace des mathématiques de la maternelle à la 3e année, p. 32.
Connaissance : paire d’expressions numériques équivalentes
Deux expressions numériques sont équivalentes lorsqu’elles représentent la même quantité.
Source : Curriculum de l’Ontario, Programme-cadre de mathématiques de la 1re à la 8e année, 2020, Ministère de l’Éducation de l’Ontario.
Par exemple, en observant deux bonds de 5 et de 20 sur une droite numérique et deux bonds de 20 et de 5 sur une autre droite numérique, l’élève constate que l’expression 5 + 20 est équivalente à l’expression 20 + 5, puisque la somme des deux expressions représente une quantité de 25.